四川省成都市2021屆零診(高二下期末)理科數(shù)學(xué)模擬試題(解析卷)

四川省成都市2021屆零診（高二下期末）理科數(shù)學(xué)模擬試題簡(jiǎn)介--2020.6.30鑒于成都市今年高二下期（零診）摸底考試范圍和比例作了部分調(diào)整，除了2020屆（去年）的零診外，之前的摸底試題參考意義不大。2021屆成都市零診考試范圍和分布比例：數(shù)學(xué)理：人教A版必修1、2、3、4、5;選修2-1，選修2-2，選修4-4。數(shù)學(xué)文：人教A版必修1、2、3、4、5;選修1-1,選修1-2，選修4-4。其中高一內(nèi)容約占15%(重點(diǎn)考查函數(shù)等)，高二上期內(nèi)容約占35%，高二下期內(nèi)容約占50%。本套卷按新課標(biāo)（全國(guó)卷）的試題類型編寫。（12道選擇，4道填空，6道解答題）試卷根據(jù)成都市最新的考試范圍和分布比例編寫，希望能給廣大師生朋友在備考零診提供一點(diǎn)微薄之力。如有不足之處，望大家多多指正！四川省成都市2021屆零診（高二下期末）理科數(shù)學(xué)模擬試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，，則（）【答案】A【解析】由題意得：，，所以.【方法總結(jié)】集合中的元素有關(guān)問題的求解策略：(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．2．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意,得.則,其在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.3．隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力的不斷提升，居民收入也在不斷增加．某家庭2019年全年的收入與2015年全年的收入相比增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．同時(shí)該家庭的消費(fèi)結(jié)構(gòu)隨之也發(fā)生了變化，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該家庭這兩年不同品類的消費(fèi)額占全年總收入的比例，得到了如下折線圖：則下列結(jié)論中正確的是()A．該家庭2019年食品的消費(fèi)額是2015年食品的消費(fèi)額的一半B．該家庭2019年教育醫(yī)療的消費(fèi)額與2015年教育醫(yī)療的消費(fèi)額相當(dāng)C．該家庭2019年休閑旅游的消費(fèi)額是2015年休閑旅游的消費(fèi)額的五倍D．該家庭2019年生活用品的消費(fèi)額是2015年生活用品的消費(fèi)額的兩倍4．解析：選C.設(shè)該家庭2015年全年收入為a，則2019年全年收入為2a.對(duì)于A，2019年食品消費(fèi)額為0.2×2a＝0.4a，2015年食品消費(fèi)額為0.4a，故兩者相等，A不正確．對(duì)于B，2019年教育醫(yī)療消費(fèi)額為0.2×2a＝0.4a，2015年教育醫(yī)療消費(fèi)額為0.2a，故B不正確．對(duì)于C，2019年休閑旅游消費(fèi)額為0.25×2a＝0.5a，2015年休閑旅游消費(fèi)額為0.1a，故C正確．對(duì)于D，2019年生活用品的消費(fèi)額為0.3×2a＝0.6a，2015年生活用品的消費(fèi)額為0.15a，故D不正確．故選C.4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知該三棱錐底面是邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形,高為2.故外接球直徑為.故外接球表面積.故選：A5.下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性均相同的是().A． B．C． D．【答案】D解析由已知，，則，所以為上的奇函數(shù).設(shè)，.易判斷為上的增函數(shù)，也為上的增函數(shù)，所以為上的增函數(shù).A選項(xiàng)中的不是奇函數(shù)，排除A；B選項(xiàng)中令，則，所以為奇函數(shù).設(shè)，易判斷為增函數(shù)，而也為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知為增函數(shù)，所以B選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與的奇偶性、單調(diào)性相同；C選項(xiàng)中不是奇函數(shù)，排除C；D選項(xiàng)中在上不是單調(diào)函數(shù).排除D.故選B.5．我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了計(jì)算多項(xiàng)式的值的秦九韶算法，即將改寫成如下形式：，首先計(jì)算最內(nèi)層一次多項(xiàng)式的值，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值.這種算法至今仍是比較先進(jìn)的算法.將秦九韶算法用程序框圖表示如下圖，則在空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入（）.A.B.C.D.解析秦九韶算法的過程是.這個(gè)過程用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn),則在空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入.故選A.7．平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓O交于點(diǎn)，且，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，若，，所以不符合，所以，所?8．已知，給出下列四個(gè)命題：；；；；其中真命題的是（）.A.B.C.D.【答案】D解析畫出的可行域如圖所示.對(duì)于命題,在點(diǎn)處,,則是假命題;對(duì)于命題,在點(diǎn)處,取最大值為,,故是真命題;對(duì)于命題,點(diǎn)到的斜率最小值在點(diǎn)處取到為,,故是假命題;對(duì)于命題,在點(diǎn)處,,故是真命題.故選D.9.唐代詩(shī)人李顧的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！痹?shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)題意，為最短距離，求出即可.解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)榈膱A心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點(diǎn)為，直線的斜率為1，故直線為，由，聯(lián)立得故，，所以，故，故選：A.10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若.則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D解：根據(jù)題意可畫出以下圖像，過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn)，因?yàn)?，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的半徑，所以，因?yàn)?，所以，三角形是直角三角形，因?yàn)?，所以，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡(jiǎn)得，，，，選D.11．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，于點(diǎn)，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過作于，設(shè)直線與交點(diǎn)為，由拋物線的性質(zhì)可知，，，設(shè)，，則，即，∴．又，∴，∴，∴，∴，又，，∴，，∴，∴直角梯形的面積為，解得，∴，設(shè)，，∵，∴，設(shè)直線代入到中得，∴，，∴，由以上式子可得，由可得遞增，即有，即，又中點(diǎn)，∴直線的垂直平分線的方程為，令，可得，故選A．12．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)至多為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【命題意圖】主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，抽象與概括能力和創(chuàng)新意識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想，函數(shù)與方程思想．【解析】選C．令，則即，此方程有兩根．對(duì)于函數(shù)，時(shí)，，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以有極小值．當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，且時(shí)，；時(shí)，．作出的大致圖象可知，有1個(gè)實(shí)根；至多有3個(gè)實(shí)根，所以方程的實(shí)根至多有4個(gè)．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若5a2＝S5+5，則數(shù)列{an}的公差為﹣1．【答案】﹣1解析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可得出．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．∵5a2＝S5+5，∴5（a1+d）＝5a1+10d+5，則數(shù)列{an}的公差d＝﹣1．故答案為：﹣1．本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線與圓交于兩點(diǎn)，則圓夾在兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)為．【答案】解析：圓的直角坐標(biāo)方程為；圓夾在兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)為．15.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線與直線及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，圓錐的體積據(jù)此類比：將曲線與直線及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】解析：因?yàn)榍€是繞軸旋轉(zhuǎn)，故需將其方程變形為，可求旋轉(zhuǎn)體體積.16若以曲線上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，曲線上總存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為切點(diǎn)作切線滿足，則稱曲線具有“可平行性”.已知下列曲線：①；②；③；④.其中具有“可平行性”的曲線是．（寫出所有正確的編號(hào)）【答案】②③解析①有兩個(gè)相等實(shí)根，因此曲線不具有“可平行性”；②，總有兩個(gè)不同的實(shí)根與之對(duì)應(yīng)，因此曲線是具有“可平行性”的曲線；③，則至少有兩個(gè)不同的實(shí)根與之對(duì)應(yīng)，因此曲線是具有“可平行性”的曲線；④，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)根，因此曲線不具有“可平行性”.綜上，②③是具有“可平行性”的曲線.評(píng)注本題將“可平行性”這一抽象的概念轉(zhuǎn)化為曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否存在2個(gè)不同的零點(diǎn)的問題，使解答變得易于操作.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（12分）設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；解析（1）由，得.因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以.令，得，解得或.與在區(qū)間上的變化情況如下表所示.所以當(dāng)且時(shí)，存在，，，使得.由的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).19.（12分）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱平面，底面是直角梯形，，，.（1）證明：平面；（2）若四棱錐的體積為，求四棱柱的側(cè)面積.【解析】（1）因?yàn)閭?cè)棱平面，所以，，又，，所以平面，而平面，所以；又，，所以四邊形為正方形，所以，又，所以平面.（2）記與的交點(diǎn)為，所以平面，又，所以，，設(shè)，則，解得，即，所以，所以四棱柱的側(cè)面積為.18．（12分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，已求得：用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù)；,,,,,,（其中）；（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0．01），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本．參考數(shù)據(jù)：,參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，，相關(guān)系數(shù)．19．【解析】（1）令，則可轉(zhuǎn)化為， 1分因?yàn)?，所以?4分則，所以， 5分所以關(guān)于的回歸方程為； 6分（2）與的相關(guān)系數(shù)為：， 9分因?yàn)?，所以用反比例函?shù)模型擬合效果更好， 10分把代入回歸方程：，（元）， 11分所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí)，每件產(chǎn)品的非原料成本估計(jì)為21元． 12分20．（12分）已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線（與軸不重合）交軌跡于，兩點(diǎn)，求三角形面積的取值范圍.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則由，即，，化簡(jiǎn)得（2）由(1)知軌跡的方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)由得.則，，，令，則令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，綜上所述，三角形面積的取值范圍是21．（12分）已知．（1）證明在處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）∵，所以又因?yàn)椋栽谔幍那芯€方程即，所以在處的切線恒過定點(diǎn)．（2）∵，其中，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，∴至多只有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，設(shè)，，∴，∴在上單調(diào)遞減，∵，，∴，使得，即2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴在單調(diào)遞減，∴在有極大值，即若，則，∴，在單調(diào)遞減，不合題意，若，設(shè)，，∴在單調(diào)遞增，又，∴，∵，∴在單調(diào)遞增，∴，即，此時(shí)，∵，在單調(diào)遞增，，使得，當(dāng)時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞增，∴在取得極小值．又∵，∴∵在單調(diào)遞減，，又∵，∴，∴，使得，當(dāng)時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值．綜上所述，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．（注：利用當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，證明存在兩個(gè)極值點(diǎn)，得1分）22．.（10分）如圖，有一種賽車跑道類似“梨形”曲線，由圓弧,和