橋梁設(shè)計理論第九講

《橋梁設(shè)計理論》蔡金標(biāo)第九講曲線梁橋計算理論第-頁第九講曲線梁橋計算理論第一節(jié)概述隨著高等級公路和城市高架路的大量興建，作為道路的一部分，橋梁的位置多由平面布局控制，特別是現(xiàn)代城市道路網(wǎng)，立交設(shè)施成為分流交匯的主要手段，曲線梁橋的建造就日益增多。曲線梁橋有別于直線橋的主要特性是：（1）曲線橋外邊緣彎曲應(yīng)力大于內(nèi)邊緣，而在直線橋中無此特征；（2）曲線橋外邊緣撓度大于內(nèi)邊緣撓度；（3）曲線橋中無論恒載還是可變荷載都會產(chǎn)生扭矩，“彎、扭耦合”現(xiàn)象在曲線橋中占重要地位。第二節(jié)曲線梁基本微分方程及其解答一、基本假定由于曲線梁橋中存在著較大的扭矩和扭轉(zhuǎn)角變形，欲把曲線梁按桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法作為純扭轉(zhuǎn)理論分析，則必須符合下列基本假定：（1）橫截面各項尺寸與跨長相比很小，這樣才容許將實際結(jié)構(gòu)作為集中在梁軸線上的曲線形彈性桿件來處理。（2）曲線梁的橫截面在變形后仍然保持為平面；（3）曲線梁變形后，橫截面的周邊形狀保持不變，即截面不發(fā)生畸變；（4）截面的剪切中心軸線與截面形心軸心相重合。一般情況下，只要跨長達(dá)到橫截面尺寸的3～4倍以上時，第一項假定即能滿足，橫截面寬度可用邊梁或邊側(cè)腹板之間的距離計算。嚴(yán)格地說，曲線梁除圓形或正方形的截面以外，變形后橫截面不可能仍然保持為平面，但對于混凝土結(jié)構(gòu)來說，由于薄壁效應(yīng)不顯著，且一般箱梁的形狀接近于正方形時，如果，則橫截面的翹曲變形不大，故第二項假定所引起的誤差在工程實際中可以忽略。鑒于曲線梁橋的半徑相對來說一般均較大，因而，截面剪切中心與截面的偏離值相對于曲率半徑而言是很小的，所以在實用中分析內(nèi)力和變形時，作出此項假定也是可以容許的。二、符拉索夫（Vlasov）方程對于如圖9-1所示彎梁，截面形心為G.C.，截面剪切中心為S.C.，通常采用沿剪切中心軸的切線方向為軸，曲線向心方向為軸，垂直于曲線平面向下為軸所組成的三維流動直角坐標(biāo)系。從彎梁上截取一微段，一般地，彎梁有六種可能作用的荷載，其正方向（符合右手螺旋法則）如圖9-1b。在上述荷載作用下，截面上一般會有六種截面內(nèi)力，即軸力、剪力和、彎矩和及扭矩。正號內(nèi)力如圖9-2a、b所示。圖9-1流動直角坐標(biāo)系與荷載分量圖9-1流動直角坐標(biāo)系與荷載分量a)b)圖9-2彎梁微段的截面內(nèi)力圖9-2彎梁微段的截面內(nèi)力a)b)利用彎梁六個空間平衡條件，可以導(dǎo)得彎梁的六個靜力平衡方程如下：：（9-1）：（9-2）：（9-3）：（9-4）：（9-5）：（9-6）上述六個平衡方程消去剪力項、和軸力后，可以簡化為如下三個方程：（9-7）（9-8）（9-9）圖9-3彎梁的位移與扭角彎梁相對于剪切中心軸（軸）的一般位移有四個，如圖9-3這位移的正方向，其中、、分別為、、方向的位移，為截面扭角。有關(guān)彎梁的幾何方程已由鐵木辛柯（S.Timoshenko）導(dǎo)出如下：圖9-3彎梁的位移與扭角（9-10）（9-11）（9-12）（9-13）式中：為軸向應(yīng)變；、分別梁段繞、軸的曲率；為梁段繞軸的扭曲率（即單位長度上的扭角）。應(yīng)用彈性體材料的基本方程，可以建立起截面內(nèi)力與變形之間的關(guān)系式，再將幾何方程（9-10）～（9-13）代入此關(guān)系式，可得：（9-14）（9-15）（9-16）（9-17）式中為彎梁截面積；、分別為彈性模量和剪切模量；、分別為繞、軸的抗彎慣矩；為繞軸的抗扭慣矩；為彎梁截面的扇性慣矩（或稱翹曲常數(shù)）。將式（9-14）～（9-17）及其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式代入簡化后的平衡方程（9-7）～（9-9）即可導(dǎo)得描述位移、扭角與外荷載關(guān)系的彎梁基本微分方程，即符拉索夫方程：（9-18）（9-19）（9-20）從上述三個方程及有關(guān)的平衡方程、幾何方程可以看出，彎梁平面內(nèi)的荷載（、、）、內(nèi)力（、、）及變形（、）與垂直于彎梁平面的荷載（、、）、內(nèi)力（、、）及變形（、）互不影響，因此，一般可以將荷載分成平面內(nèi)荷載與垂直于彎梁平面的荷載兩大類分別進(jìn)行分析計算。實際上，第一類荷載作用下的彎梁拱的作用，可按拱的理論進(jìn)行分析。第二類荷載作用下的內(nèi)力分析與計算方法是本講的重點。式（9-19）和式（9-20）均為、兩個位移量與外荷載的關(guān)系。兩個方程均不是獨立的。因此必須聯(lián)立求解。這充分反映了彎梁中彎扭耦合的受力特點。在上面介紹彎梁的約束扭轉(zhuǎn)時，考慮了截面翹曲引起的翹曲扭矩。實際上，截面上還有一個表征法向應(yīng)力大小的特征函數(shù)即雙力矩的存在，彎梁中雙力矩的表達(dá)為：（9-21）利用基本微分方程求解位移和扭角時，必須確定由彎曲和扭轉(zhuǎn)兩種模式表示的邊界條件。常見的支承型式的邊界條件列于表9-1，其他型式的邊界條件也可以通過分析得出。常見的支承型式的邊界條件表9-1位移或內(nèi)內(nèi)力支承類型彎曲模式扭轉(zhuǎn)模式固端支承0000固定鉸支承0000點鉸支承0000自由端0000三、簡支超靜定彎梁的閉合解由于式（9-19）和式（9-20）相互耦合，故為了求解方便，可在上述兩式中通過一系列數(shù)學(xué)推演消去其中一個位移量（如），這樣可得到一個不完整的獨立的六階微分方程：（9-22）上式是一個六階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其解為相應(yīng)齊次方程的通解和對應(yīng)于荷載情況的特解之和。當(dāng)簡支梁上作用均布扭矩和豎向荷載（一般）時，漢斯（C.P.Heins）等得出了式（9-22）的閉合解為：（9-23）式中：由上式可見，只要采用六個適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，就可求出式中六個常數(shù)（）。然而，邊界條件及相應(yīng)的各項內(nèi)力表達(dá)式中均包含另一個變量，故必須先求出豎向撓度才能求解。這時可應(yīng)用符拉索夫方程（9-19）、（9-20）中的任何一個方程（如式（9-19）），并將有關(guān)的項看作已知的荷載項，這樣即可求出相應(yīng)四階常系數(shù)非齊次線性微分方程的閉合解，將和代入另一方程（9-20）中驗證后，可得豎向撓度的閉合解的最終形式為：（9-24）式中：。圖9-4作用集中荷載的簡支彎梁利用簡支超靜定彎梁兩端各四個邊界條件（表9-1），聯(lián)立求解式（9-23）、（9-24）即可得到兩式中共八個任意常數(shù)（）。簡支超靜定彎梁位移（）的表達(dá)式確定后，再得用式（9-16）、（9-17）、（9-4）和式（9-21）就可球出相應(yīng)的內(nèi)力、、、的表達(dá)式。圖9-4作用集中荷載的簡支彎梁如果簡支超靜定彎梁上作用有集中荷載和，分析時則需將彎梁沿荷載作用點分成兩個單元（如圖9-4）。此時分界面上的非連續(xù)性應(yīng)用如下所示的內(nèi)力及位移間的連續(xù)條件代入：式中，下標(biāo)分別表示荷載作用點（分界面）的左截面和右截面。由于公式比較復(fù)雜，上述閉合解也宜編成計算機(jī)程序進(jìn)行計算。第三節(jié)曲線梁橋縱向分析前一節(jié)討論了彎梁的基本微分方程及其解法，可以用來分析某些彎橋的結(jié)構(gòu)問題。但實際工程中的彎梁橋結(jié)構(gòu)型式是多種多樣的，對于寬跨比較小且橫向聯(lián)結(jié)剛性較強(qiáng)的窄彎梁橋按整體截面彎梁進(jìn)行分析在工程上尚屬容許，但對于多主梁彎橋或?qū)捒绫容^大的寬彎梁橋如按單根彎梁計算，則會導(dǎo)致過大的誤差。因此，對于后一類彎梁橋應(yīng)尋求相應(yīng)的合理分析方法。有限單元法、有限差分法等，不失為分析彎梁橋時較精確的數(shù)值方法，但由于需要計算機(jī)解大型聯(lián)立方程組，計算費(fèi)用較昂貴，結(jié)構(gòu)的總體性能較難把握，以及難以確定活載的最不利位置等問題，使其在實用上尤其是韌步設(shè)計時極為不便，因此，廣大橋梁工作者均設(shè)法提出了許多實用計算方法。一個極其自然的想法是采用類似于直梁橋的荷載橫向分配的方法，即把彎梁橋的空間分析近似地分解為橫橋向（徑向）和縱橋向（橋軸向）來分別處理，這樣可使分析工作大為簡化。理論和實驗也均己證明，許多情況下采用上述的實用分析法一般已能滿足工程設(shè)計的要求。因此下一節(jié)將較詳細(xì)地介紹這種基于橫向分布原理的彎梁橋?qū)嵱糜嬎惴?。利用橫向分布方法求出橫向分布系數(shù)之后，彎梁橋恒、活載內(nèi)力的計算方法就同單根彎梁完全一樣，即對彎梁進(jìn)行縱向分析。單根彎梁的分析可以采用前一節(jié)介紹的基于符拉索夫方程的閉合解法及有限差分?jǐn)?shù)值解法等，但在實用上由于要解求高次微分方程或大型聯(lián)立方程組，因此國內(nèi)外許多學(xué)者從不同方面已經(jīng)提出了許多不同的分析方法，常用的或者筆者認(rèn)為有推廣價值的主要有如下幾種方法[7]。（1）結(jié)構(gòu)力學(xué)方法最先用于分析彎梁的方法是沿用桿件系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)方法。這種方法的特點是能利用公式直接計算彎梁的內(nèi)力與變形，不但簡單明了，而且能得出精確的唯一解。根據(jù)彎梁橫截面受載后是否仍保持平面，可區(qū)分為單純扭轉(zhuǎn)理論和翹曲扭轉(zhuǎn)理論兩種。翹曲扭轉(zhuǎn)理論考慮了受載后橫截面不再保持平面即發(fā)生了翹曲，增加了截面雙力矩和翹曲扭矩兩項內(nèi)力。（2）曲桿有限元法有限元法被公認(rèn)是對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析的一種通用而最強(qiáng)有力的數(shù)值方法。用于曲線梁橋分析時，較常用的是八自由度曲桿有限元法，即采用每個曲桿節(jié)點位移為、、和四個自由度。（3）能量法能量原理是從彎梁的總勢能出發(fā)，用變分原理分析彎梁橋的內(nèi)力和位移的方法。第四節(jié)曲線梁橋橫向分布對于多主梁（截面型式有板式、I形、T形或箱形等）彎梁橋采用縱、橫向分別處理的實用計算法是一種可取的方案。這時，彎梁橋的空間工作特性通常是通過內(nèi)力或荷載的橫向分布系數(shù)來體現(xiàn)，因此如何合理地計算彎梁橋的橫向分布系數(shù)則是設(shè)計這類彎梁橋時應(yīng)考慮的主要問題之一。利用橫向分布方法分析橋梁結(jié)構(gòu)，其實質(zhì)是在一定的誤差范圍內(nèi)，尋求一個近似的內(nèi)力影響面去代替精確的內(nèi)力影響面。對于彎梁橋，此近似內(nèi)力影響面通常要求在縱橋向(橋軸向)和橫橋向(徑向)均具有各自相似的影響線圖形。因此計算結(jié)果的誤差主要反映在內(nèi)力影響面的相似性、荷載的類型、組成及作用位置。理論計算和試驗結(jié)果均已證實，彎梁橋控制截面的控制內(nèi)力與變形的精確影響面一般在縱，橫向均具有各自相似的變化規(guī)律。因此如采用合適的近似影響面去代替，計算精度是能滿足一般工程設(shè)計要求的，這是我們能利用橫向分布方法計算的基本前提。不同橋梁內(nèi)力，變形影響面的形狀各不相同，其橫向分布規(guī)律也不相同。對于直梁橋，內(nèi)力與撓度橫向分布的差別一般很小，因此通常采用主梁撓度橫向分布規(guī)律來確定內(nèi)力的橫向分布，并形象地引用荷載橫向分布的概念。理論上已經(jīng)證明，當(dāng)?shù)冉孛婧喼Я簶虿捎冒氩ㄕ液奢d時，內(nèi)力，撓度的橫向分布與荷載的橫向分布存在著精確的等值關(guān)系。這里應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，荷載橫向分布的實質(zhì)應(yīng)該是內(nèi)力或變形的橫向分布，在彎梁橋中由于彎扭耦合，不存在內(nèi)力、撓度的橫向分布與荷載橫向分布之間的等效關(guān)系，因此彎梁橋中各種內(nèi)力與變形的橫向分布一般均不相同。按目前習(xí)慣，彎梁橋的橫向分布仍沿用荷載橫向分布的概念。彎梁橋中由于彎扭耦合作用，無法采用對彎、扭分別求解而后疊加的方法，更不能忽略主梁的抗扭剛度，否則會導(dǎo)致太大的誤差。因此在計算彎梁橋的橫向分布時，不僅要考慮豎向力的橫向分布，而且應(yīng)考慮扭矩的橫向分布。關(guān)于彎梁橋的橫向分布，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多方法。與直梁橋一樣，具代表性且有較大實用價值的方法有如下三類[7]：（1）梁格理論。此法是直梁橋Leonhardt—Homberg法的推廣，它假定彎梁橋結(jié)構(gòu)為彎主梁與橫梁處于彈性支承關(guān)系上的格構(gòu)，利用結(jié)點的撓度和扭角關(guān)系找出結(jié)點力，進(jìn)而求出橫向分布規(guī)律。剛性橫梁法是它的特例。（2）梁系理論。它是將彎梁橋結(jié)構(gòu)沿縱向劃分成各個彎主梁單元，橫梁的抗彎剛度均攤在橋面板上，主梁之間的連結(jié)用橋面板切口處的贅余力表示，采用力法求