正弦定理和余弦定理專題試題及答案

正弦定理和余弦定理專題試題及答案1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是()A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定3．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為ɑ，b，c，若ɑ2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(3)D．24．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為ɑ，b，c，且bsinA＝eq\r(3)ɑcosB．則B＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a＝2b，則eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值為()A．－eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1D.eq\f(7,2)6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．37.在△ABC中,若A=π3,B=π4,BC=32,則AC=(A.32B.3C.23D.48.在△ABC中,若a2+b2<c2,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c-bc-a=sinAsinC+sinB,則B=A.π6B.π4C.π10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若C=120°,c=2a,則()A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b的大小關(guān)系不能確定11．在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC＝的面積為_(kāi)_______．12．若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________．13.△ABC中,點(diǎn)D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinB(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BA→·BC15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.(1)求∠ACP；(2)若△APB的面積是eq\f(3\r(3),2)，求sin∠BAP.16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是ɑ，b，c，且b2＝ɑc＝ɑ2－c2＋bc.(1)求eq\f(bsinB,c)的值；(2)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．正弦定理和余弦定理專題試題及答案1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形答案：C2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是()A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定解析：由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)＞1.∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為ɑ，b，c，若ɑ2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(3)D．2解析：∵ɑ2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(π,3)，又bc＝4，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故選C.答案：C4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為ɑ，b，c，且bsinA＝eq\r(3)ɑcosB．則B＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理，得sinBsinA＝eq\r(3)sinAcosB.因?yàn)閟inA≠0，所以sinB＝eq\r(3)cosB，即eq\f(sinB,cosB)＝tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).答案：C5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a＝2b，則eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值為()A．－eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1D.eq\f(7,2)解析：由正弦定理可得eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinB,sinA)))2－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－1，因?yàn)?a＝2b，所以eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－1＝eq\f(7,2)。答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．3即B＝eq\f(π,3)時(shí)，sinA＋sinB的最大值為eq\r(3).故選C。答案：C7.在△ABC中,若A=π3,B=π4,BC=32,則AC=(A.32B.3C.23D.4【答案】C?！窘馕觥坑烧叶ɡ砜傻?BCsinA=即有AC=BC·sinBsinA=328.在△ABC中,若a2+b2<c2,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定【答案】C【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,因?yàn)閍2+b2<c2,所以2abcosC<0,所以C為鈍角,△ABC是鈍角三角形.9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c-bc-a=sinAsinC+sinB,則B=A.π6B.π4C.π3【答案】C.【解析】將已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得:c-bc-a=ac+b,即c2-b2所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=a2+c因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,所以B=π310.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若C=120°,c=2a,則()A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b的大小關(guān)系不能確定【答案】A【解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,ba11．在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC＝的面積為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,6)12．若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________．解析：由sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC及正弦定理可得ɑ＋eq\r(2)b＝2c.故cosC＝eq\f(ɑ2＋b2－c2,2ɑb)＝eq\f(ɑ2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ɑ＋\r(2)b,2)))\s\up12(2),2ab)＝eq\f(3ɑ2＋2b2－2\r(2)ɑb,8ɑb)≥eq\f(2\r(6)ɑb－2\r(2)ɑb,8ɑb)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)3ɑ2＝2b2，即eq\f(ɑ,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))時(shí)等號(hào)成立．所以cosC的最小值為eq\f(\r(6)－\r(2),4).答案：eq\f(\r(6)－\r(2),4)13.△ABC中,點(diǎn)D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinB(2)若∠BAC=60°,求B.【解析】(1)如圖,由正弦定理得:14.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BA→·BC(2)由BA→·又cosB=13由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.(1)求∠ACP；(2)若△APB的面積是eq\f(3\r(3),2)，求sin∠BAP.解析：(1)在△APC中，因?yàn)椤螾AC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos∠PAC，所以22＝AP2＋(4－AP)2－2·AP·(4－AP)·cos60°，整理得AP2－4AP＋4＝0，解得AP＝2.所以AC＝2，所以△APC是等邊三角形．所以∠ACP＝60°.(2)由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120°.因?yàn)椤鰽PB的面積是eq\f(3\r(3),2)，所以eq\f(1,2)，AP·PB·sin∠APB＝eq\f(3\r(3),2).所以PB＝3.在△APB中，A