3連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題

PAGEPAGE16第三講連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題一、預(yù)備知識(shí)動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題歷來(lái)是數(shù)學(xué)家們關(guān)注的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。從17世紀(jì)末的伯努利，到20世紀(jì)50年代的貝爾曼和龐特里亞金，中間經(jīng)過(guò)拉格朗日、歐拉等一大批數(shù)學(xué)家的努力，才使動(dòng)態(tài)最優(yōu)化理論日臻完善。20世紀(jì)初，在拉姆齊（1928）的工作之后，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技巧才被廣泛地引入到經(jīng)濟(jì)學(xué)中來(lái)，目前，這些技巧已是大多數(shù)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)家不可或缺的工具。上一節(jié)，我們探討了離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，介紹了古典的拉格朗日乘數(shù)法和比較現(xiàn)代的貝爾曼方程法。本節(jié)我們將在連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題中，也介紹兩種方法，他們是古典的變分法和比較現(xiàn)代的漢密爾頓最大值原理。下面分別介紹這兩種方法。二、連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題的描述例1．索羅（Solow）新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的一個(gè)明顯缺陷是把儲(chǔ)蓄率看成是外生給定的。事實(shí)表明，儲(chǔ)蓄率不是常數(shù)。為了將儲(chǔ)蓄率內(nèi)生化，堪斯(Cass，1965)和庫(kù)普曼斯(Koopmans，1965)利用拉姆齊(Ramsey,1928)倡導(dǎo)的最優(yōu)化方法，將儲(chǔ)蓄率看作是由家庭和企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)上追求自身利益最大化的結(jié)果，以此證明儲(chǔ)蓄率是由模型決定的內(nèi)生變量。假設(shè)經(jīng)濟(jì)包含兩個(gè)部門(mén)，家庭和企業(yè)，家庭通過(guò)提供勞動(dòng)服務(wù)從企業(yè)取得工資，通過(guò)提供資產(chǎn)獲得利息。家庭收入分成消費(fèi)和儲(chǔ)蓄兩部分。家庭在預(yù)算約束條件下按照消費(fèi)效用最大化的原則進(jìn)行消費(fèi)和投資決策。家庭生命是無(wú)限期的。家庭大小與成年人口數(shù)量對(duì)應(yīng)，成年人口按給定（外生）不變的速度增長(zhǎng)，為方便其見(jiàn)，人口的變化規(guī)律由下式確定：這里，假設(shè)初期人口數(shù)量為1，然后按等比級(jí)數(shù)遞增，n為人口增長(zhǎng)率。C(t)表示t時(shí)刻的消費(fèi)，c(t)=C(t)/L(t)表示人均消費(fèi)。消費(fèi)者問(wèn)題是：(1)此處，u(c)是c的增函數(shù)并滿(mǎn)足邊際效用遞減規(guī)律，u(c)滿(mǎn)足稻田條件：,即當(dāng)c趨于零時(shí)，邊際效用趨于無(wú)窮大，當(dāng)c趨于無(wú)窮大時(shí)，邊際效用趨于零。U[c(t)]表示家庭的總效用;a(t)=A(t)/L(t)表示人均凈資產(chǎn);r(t)表示資產(chǎn)收益率;w(t)表示工資率;>0表示時(shí)間偏好率,其含義是，時(shí)間越久遠(yuǎn)，效用的貼現(xiàn)值越少，也叫做主觀貼現(xiàn)率。通常假設(shè)>n以保證家庭總效用在消費(fèi)給定時(shí)是有界的注：,因此，貼現(xiàn)因子可以寫(xiě)成以為底的指數(shù)形式，目的是為了便于計(jì)算。。注：,因此，貼現(xiàn)因子可以寫(xiě)成以為底的指數(shù)形式，目的是為了便于計(jì)算。最優(yōu)化問(wèn)題(1)的另一種表達(dá)形式可以將由第二方程求得的消費(fèi)c代入到第一個(gè)方程獲得：(2)這就是目標(biāo)函數(shù)的泛函表示最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：例2．喬根森（利潤(rùn)最大化）模型在喬根森的新古典投資理論中，假設(shè)企業(yè)利用資本K和勞動(dòng)L進(jìn)行生產(chǎn)，其生產(chǎn)函數(shù)具有新古典生產(chǎn)函數(shù)形式。新古典生產(chǎn)函數(shù)遵循三個(gè)假設(shè)，即：（1）邊際生產(chǎn)力大于零；（2）邊際生產(chǎn)力遞減；（3）規(guī)模報(bào)酬不變。P表示產(chǎn)品價(jià)格；M表示資本品價(jià)格；W表示勞動(dòng)力的工資；表示資本折舊率。則企業(yè)的投資與資本的關(guān)系為在任意時(shí)刻企業(yè)的凈收益為：如果企業(yè)貼現(xiàn)率r,未來(lái)凈收益的貼現(xiàn)值可表示為：(3)是目標(biāo)泛函F的廣義積分。該最優(yōu)化問(wèn)題還可以寫(xiě)成：(4)一般來(lái)說(shuō)，泛函積分可以表示為兩種方式：一種是將泛函積分表示，如（2）和（3）的表示的最優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)是路徑及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。另一種表示，如（1）和（4）所示，目標(biāo)函數(shù)是控制變量和狀態(tài)變量的函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)受轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)方程的約束。三、變分法3．1變分問(wèn)題的一般形式前面所述的最優(yōu)化問(wèn)題可以用目標(biāo)泛函來(lái)表示：(5)且滿(mǎn)足初始條件：目標(biāo)函數(shù)是路徑的函數(shù)。我們的目的是選擇一條路徑使積分表達(dá)式（5）達(dá)到最大。由于變分法是利用微積分的工具發(fā)展而來(lái)，泛函極值問(wèn)題是函數(shù)極值問(wèn)題的發(fā)展和推廣，所以，我們要求被積函數(shù)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)。我們知道，使函數(shù)達(dá)到最大值的點(diǎn)是極值點(diǎn)，所以，使泛函達(dá)到極值的曲線(xiàn)或者路徑為極值曲線(xiàn)或極值路徑。3．2預(yù)備知識(shí)對(duì)含參變量x積分：I如果a,b也看作是參變量，則分步積分公式：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：對(duì)于，有由于函數(shù)是的函數(shù)，而都是t的函數(shù)，所以，F(xiàn)和都是t的復(fù)合函數(shù)。因此，我們有3．3．歐拉方程的推導(dǎo)第一步，將求極值曲線(xiàn)的問(wèn)題變換為求極值點(diǎn)的問(wèn)題。假設(shè)是已知的極值曲線(xiàn)，我們的目的是找到這條曲線(xiàn)所滿(mǎn)足的必要條件。任意選取連接（0，A）和（0，Z）點(diǎn)的擾動(dòng)曲線(xiàn),則可以構(gòu)造極值曲線(xiàn)的鄰近路徑：其中，是一個(gè)任意小的數(shù)，當(dāng)它趨于0時(shí)，對(duì)于給定的和，每一個(gè)對(duì)應(yīng)于一條鄰近路徑y(tǒng)，從而確定泛函的特定值。于是，泛函就成了的函數(shù)，其表達(dá)式為：由于極值曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)＝0，所以，函數(shù)在＝0點(diǎn)達(dá)到最大值，根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，必有：或者第二步：進(jìn)行分步積分根據(jù)分步積分法，上式的第二個(gè)積分可以簡(jiǎn)化為：代入（）式，可得：第三步：求歐拉方程上式包含附加任意函數(shù)p(t)，泛函積分達(dá)到最優(yōu)的條件應(yīng)該不依賴(lài)于附加函數(shù)p(t)，事實(shí)上，我們可以證明.為證明上述結(jié)論，我們證明下面的引理：如果給定函數(shù)和任意函數(shù)滿(mǎn)足：,則必有.證明（反證法）：如果，不失一般性，我們假設(shè)存在一點(diǎn)使，由于是連續(xù)函數(shù)，所以必然存在一個(gè)充分小的數(shù)使在區(qū)間上，滿(mǎn)足。下面我們構(gòu)造函數(shù):1，當(dāng)0，當(dāng)，這與原假設(shè)矛盾，所以，成立。由于就相當(dāng)于，所以，。這就是泛函積分最優(yōu)的一階條件，也稱(chēng)歐拉方程。第四步，歐拉方程的另一種表達(dá)方式由于所以，被改寫(xiě)成假設(shè)消費(fèi)者的即時(shí)效用函數(shù)此表達(dá)式中的“-1”此表達(dá)式中的“-1”僅僅是為了表達(dá)方便，因?yàn)楫?dāng)趨于1時(shí)，u(c)趨于log(c)這個(gè)結(jié)果可以用洛比達(dá)法則證明。然而，由于家庭選擇關(guān)于效用函數(shù)的線(xiàn)性變換的不變性，忽略不會(huì)影響結(jié)論。對(duì)應(yīng)的泛函是：根據(jù)歐拉方程：消費(fèi)者的人均消費(fèi)路徑，由資產(chǎn)收益率和時(shí)間偏好率之差決定。四、最大值原理如上所述，企業(yè)利潤(rùn)最大化和消費(fèi)者的效用最大化也可以用另外一種形式表達(dá)。以效用最大化為例。消費(fèi)者的最優(yōu)化問(wèn)題可以寫(xiě)成：目標(biāo)函數(shù)：轉(zhuǎn)移方程：初始條件：其中V（0）是由初始時(shí)刻0看出的目標(biāo)函數(shù)值，是在0和t之間適用的平均貼現(xiàn)率，T是計(jì)劃終端時(shí)期，它可以是有限或無(wú)限的。關(guān)于有限或無(wú)限期界之間的區(qū)別，另行討論。變量k(t)是狀態(tài)變量，變量c(t)是控制變量。它們都是時(shí)間的函數(shù)。(A.55a)式中的目標(biāo)函數(shù)是瞬時(shí)幸福函數(shù)在0到T期間內(nèi)的積分。這些幸福函數(shù)依次依賴(lài)于狀態(tài)和控制變量k(t)和c(t)以及時(shí)間t.轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)是一個(gè)關(guān)于資本的k(t)的微分方程；這一約束表示了控制變量c(t)的選擇是如何影響狀態(tài)變量k(t)的運(yùn)動(dòng)模式。這一關(guān)于的表達(dá)式被稱(chēng)為轉(zhuǎn)移方程或運(yùn)動(dòng)方程。盡管我們只寫(xiě)出了一個(gè)轉(zhuǎn)移方程，但實(shí)際上有一個(gè)約束的連續(xù)統(tǒng)，0到T之間的每個(gè)時(shí)點(diǎn)上一個(gè)約束。初始條件給出了狀態(tài)變量k(t)的初始值，即狀態(tài)變量的初始狀態(tài)。最后一個(gè)約束是說(shuō)在計(jì)劃期界結(jié)束時(shí)所選擇的狀態(tài)變量k(t)，以的速度貼現(xiàn)后必須為非負(fù)。對(duì)于有限的T值，只要貼現(xiàn)率是正且有限的，這一約束就意味著。如果k(t)代表一個(gè)人的凈資產(chǎn)且T為這個(gè)人的壽命，約束就排除了負(fù)債死亡的可能性。如果計(jì)劃期界是無(wú)限的，那么該條件顯示凈資產(chǎn)可以為負(fù)而且可以在數(shù)值上永遠(yuǎn)增長(zhǎng)下去，只要其增長(zhǎng)率小于。這一條件排除了連環(huán)信貸或蓬齊負(fù)債手段。4．1.一階條件的試探性推導(dǎo)仿照非線(xiàn)性最優(yōu)化問(wèn)題的靜態(tài)解法－庫(kù)恩－塔克條件，我們構(gòu)造類(lèi)似的拉格朗日函數(shù)此處，、分別是對(duì)于于轉(zhuǎn)移方程和生命總結(jié)時(shí)的資產(chǎn)約束的拉格朗日乘數(shù)。由于時(shí)間變量是連續(xù)的，所以，在0到T期之間的每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上約束條件都成立，所以相應(yīng)就有連續(xù)統(tǒng)的拉格朗日乘子、，被稱(chēng)為共狀態(tài)變量或動(dòng)態(tài)拉格朗日乘子。與靜態(tài)情形類(lèi)似，這些共狀態(tài)變量可被理解為影子價(jià)格：u(t)是在t時(shí)的1單位資本存量的增加，以在0時(shí)的效用單位表示的價(jià)格或價(jià)值。由于每個(gè)約束都等于0，每個(gè)乘積也等于0。因此所有約束的總和等于0：為了找到靜態(tài)問(wèn)題中的一階必要條件，我們將對(duì)0到T之間的所有t把L對(duì)c(t)和k(t)最大化。這種方法的問(wèn)題是我們并不知道如何取對(duì)k的導(dǎo)數(shù)。為了避免這個(gè)問(wèn)題，我們通過(guò)項(xiàng)分部積分可以把拉格朗日函數(shù)改寫(xiě)為第一個(gè)積分符號(hào)內(nèi)的表達(dá)式被稱(chēng)為漢密爾頓函數(shù)，記作：漢密爾頓函數(shù)有一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋(參見(jiàn)多夫曼[1969]).在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上，消費(fèi)者消費(fèi)c(t)且擁有資本存量k(t)。這樣兩個(gè)變量通過(guò)兩條渠道影響到效用。第一，消費(fèi)和資本對(duì)效用的直接貢獻(xiàn)，第二，消費(fèi)的選擇通過(guò)轉(zhuǎn)移方程，影響到資本存量的變化。而資本存量的變化的價(jià)值正是資本存量的變化與影子價(jià)格的乘積。有了漢爾密頓函數(shù)之后，拉格朗日函數(shù)可改寫(xiě)為令和分別為狀態(tài)變量和控制變量的最優(yōu)時(shí)間路徑。如果我們以一任意的擾動(dòng)函數(shù)來(lái)擾動(dòng)最優(yōu)路徑，那么我們可以生成一個(gè)對(duì)控制變量而言的相鄰路徑：當(dāng)c(t)被擾動(dòng)時(shí)，根據(jù)預(yù)算約束，就產(chǎn)生了對(duì)k(t)和k(T)的相應(yīng)擾動(dòng)：其中，是一個(gè)任意小的數(shù)，當(dāng)它趨于0時(shí)，，對(duì)于給定的和，每一個(gè)對(duì)應(yīng)于一條鄰近路徑，從而確定泛函的特定值。于是，泛函就成了的函數(shù)，其表達(dá)式為：現(xiàn)在我們可以取拉格朗日函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)并令其為0：這里利用了微積分的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即化簡(jiǎn)得由于是任意的，所以，只有當(dāng)方程中的每個(gè)分量都等于0時(shí)，才能保證方程()對(duì)所有的擾動(dòng)路徑都成立，也就是說(shuō)上述關(guān)于控制變量的一階條件表明，如果,是動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題的解，那么對(duì)于所有的t來(lái)說(shuō)漢密爾頓函數(shù)對(duì)控制變量c的導(dǎo)數(shù)都等于0。這一結(jié)果被稱(chēng)為極大值原理。漢密爾頓函數(shù)對(duì)狀態(tài)變量k的偏導(dǎo)數(shù)等于拉格朗日乘數(shù)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。這一結(jié)果與轉(zhuǎn)移方程一起常被稱(chēng)為歐拉方程。最后，期末的共狀態(tài)變量等于與k相關(guān)的非負(fù)約束的靜態(tài)拉格朗日乘子v的貼現(xiàn)值。五、橫截性條件靜態(tài)問(wèn)題的庫(kù)恩－塔克一階必要條件包括了一個(gè)與不等式約束相關(guān)的互補(bǔ)松弛性條件。在靜態(tài)問(wèn)題中，這些條件表明如果一個(gè)約束不是等式，那么與之相關(guān)的影子價(jià)格就為0。在目前的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，有一個(gè)不等式約束要求在計(jì)劃期末留下來(lái)的資本存量以速率貼現(xiàn)后不可能為負(fù)，與這一約束相關(guān)的條件要求。我們可以把這一互補(bǔ)松弛性條