不等式-2019年高考數(shù)學(xué)（文）之高頻含解析

解密12不等式

解解高考命題分析三年高考探源考查頻率

高考考點

不等式的性質(zhì)與一元二次不等

選擇題、填空題中的考查2016課標(biāo)全國111★★

式

以簡單的線性規(guī)劃與不等式

的性質(zhì)為主，重點求目標(biāo)函數(shù)

的最值，有時也與其他知識交2018課標(biāo)全國I14

匯考查.2018課標(biāo)全國1114

基本不等式求最值及應(yīng)2018課標(biāo)全國mi5

線性規(guī)劃★★★★★

用在課標(biāo)卷考試中是低頻點，2017課標(biāo)全國I7

但基本不等式作為求最值的2017課標(biāo)全國H7

一種方法要牢記.2016課標(biāo)全國I16

不等式的解法多與集合、

函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)相交匯

2018天津13

基本不等式考杳.★★

2017山東12

舂對點解噂

考點1不等式的性質(zhì)與一元二次不等式

題組一不等式的性質(zhì)

調(diào)研1若非零實數(shù)a,b,c滿足a〉8>c,則下列一定成立的不等式是

A.ac>hcB.ah>ac

c。-卜|>6-卜|D1<!<1

abc

【答案】C

【解析】A.若。>力，c不一定為正，則〃c>Z?c不一定成立，故A錯；

B.同A,當(dāng)a不一定為正時，aZ?>ac不一定成立，故B錯；

C由。源=。一心6-卜|,故C正確；

,11,

1=—>一=-1

D.舉反例：?=1,/?=-1,c=-2,ab,故D錯誤，

綜上可知選C.

【名師點睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查簡單推理能力.根據(jù)不等式性質(zhì)判斷，注意乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)、

零對不等號的影響是不同的.

調(diào)研2已知非零實數(shù)。，人滿足。時>百小則下列不等式一定成立的是

A.ce'>b5B.a2>b2

11logi|a|<logj5|

C.—<一D.??

ah

【答案】A

【解析】利用排除法：a=-Lb=-2時,企與log1同<log陰都不成立，可排除選項B,D；

。=1力=-2時，不成立，可排除選項C.

ab

故選A

【名師點睛】特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法,

這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型：

（1）求值問題（可將選項逐個驗證）；（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題

（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點排除）；（4）解方程、求解析式、求通項、求前〃項和公式問題等等.

I*?><?.????運(yùn).7.培：：運(yùn)?

☆技巧點撥☆

不等式的一些常用性質(zhì)：

（1）有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)

?a>b,ab>On；<靜.

②a<O<bn*\.

@a>b>O,O<c<d=>^>j.

?0<a<x<h或6r<x</?<0=>!<-<~.

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

rcbb+tnbb~ma+maa-m

右〃>b>0,機(jī)>0,則①"，->----(/?—m>0)；?p>T,T<-----(b—〃>0).

aa-r-maa-nv7bb-vmbb—nv7

::穹6.-<***€*'?<-.N運(yùn)”??巨J。*J■??

題組二一元二次不等式

調(diào)研3已知函數(shù)""I="'+"+儀eR）的值域為?+肛若關(guān)于％的不等式/（x）<c的解集為

（加,777+6）,則實數(shù)C的值為.

【答案】9

【解析】因為“X）的值域為［0,+◎，所以/=0,即a1=4b,所以/+ar+土一c<0的解集為（根,加+6）,

1m+6=-a

易得?/,,77+6是方程X2+ac+￡—c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得《

a1，解得c=9.

4w(w+6)=——c

調(diào)研4若不等式（/+4.5*-431）/3>0恒成立,則a的取值范圍是.

【答案】［1,19）

【解析】①當(dāng)/+4止5=0時，有“=-5或”=1.若。=-5,不等式可化為24x+3>0,不滿足題意;若“=1,不等式可化為

3>0,滿足題意.

a2+4a-5>0

②當(dāng)?2+4a-5#0時,不等式恒成立，需滿足<,解得lead9.

16(a-l)2-12(o2+4o-5)<0

綜上，可得。的取值范圍是

☆技巧點撥☆

1.一元二次不等式af+/?x+c>0（或<0）（存0,1=Z?2—4ac>0）,如果。與辦2+法+。同號，則其解集在兩根

之外；如果”與《?+法+。異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

2.解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為整式不等式（一般為一元二次不等式）

求解.

3.解含參數(shù)不等式要正確分類討論.

且T/￡?一.。?：：：運(yùn)?€.第;??旦?％培?.????1

考點2線性規(guī)劃

題組一線性目標(biāo)函數(shù)的最值及范圍問題

x-v+l<0

x+y<5

x>l

調(diào)研1若變量x,y滿足約束條件，則z=-2x-y的最小值是

A.-8B.—7

C.—6D.-4

【答案】B

x—y+1<0

?x+y<5

【解析】畫出不等式組lx2】表示的可行域（如圖陰影部分所示）.

由z=-2x—y得y=—2x—z.平移直線y=—2x—z,結(jié)合圖形可得，當(dāng)直線y=-2x—z經(jīng)過可行域內(nèi)

的點A時，直線在y軸上的截距最大，此時z取得最小值.

'x-y+l=0

由［x+j-5=0解得故點4（2,3）.

=-2x2-3=-7

故選B.

【名師點睛】畫出可行域，將z=—2x—y變形為y=-2x—z,然后平移直線y=—2x-z找到最優(yōu)解后可

求得z的最小值.求目標(biāo)函數(shù)的最值時，將函數(shù)z=or+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式的形

az

y———x+_z7

式："b,，通過求直線的截距一的最值間接求出z的最值，解題時要分清z與截距一間是正比還

bb

是反比的關(guān)系.

'2x-y+4>0

調(diào)研2已知不等式組<x+y-3<0表示的平面區(qū)域為。(其中是變量).若目標(biāo)函數(shù)

y>0

z=ax+6y(a>0)的最小值為-6,則實數(shù)。的值為

3

A.-B.6

2

1

C.3D.-

2

【答案】C

【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由z=ox+6y(a>0)得j=-岑+：,則

66

直線斜率一9<0,平移直線卜=一號+；,由圖象可知，當(dāng)直線J=一號+：經(jīng)過點月時，直線的截距

06666

2x—1，+4=0x——2

最小，此時z最小，為-6,由｛，得｛,即川-2⑼，此時-2a+0=-6,解得

I>'=°1>'=°

a=3,故選C.

，Y亳ZW.?拿?，■J?■:"二?算"a運(yùn)..瑞：：”.q

☆技巧點撥☆

求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求

出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參

數(shù)的式子，通過觀察確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).

?尸嗯.?。谷..富一.?噬Y1.?。運(yùn)..德。.?.4/

題組二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值及范圍問題

x+y-7<0

x-3y+l<0,

調(diào)研3設(shè)》》滿足約束條件〔3"一｝'-520,則z=3的最大值是

53

A.-B.一

24

42

C.-D.一

35

【答案】C

【解析】作出已知不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(三角形A8C及其內(nèi)部)，可得A(2,l),

y244

8(3,4),C(5,2).」可看作區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與原點。連線的斜率，則==%曰必0折彳.可得z的最大值為；.

x533

故選C.

y>x

調(diào)研4設(shè)變量x、y滿足約束條件<x+2y<2,則z=V+；/的最大值是

x2—2

【答案】8

y>x

【解析】作出約束:條件+所對應(yīng)的可行域(如圖△43C),

x2—2

x=-2

而Z=/+y2表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，數(shù)形結(jié)合可得最大距離為。?；騋A=20，所以

Z=/+y2的最大值為g,故答案為8.

se.*='.??:::7?穹?產(chǎn)鬻?名.袁:?富::?

☆技巧點撥☆

常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

(1)收+y?表示點(x,y)與原點(0,0)的距離；

⑵木工一口十“一與一表示點⑴y)與點⑷勾的距離；

(3)2表示點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率：

X

v—h

(4)--表示點(x,y)與點色，加連線的斜率.

x-a

題組三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用

調(diào)研5某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗4原料2千克，B原料3千克；生產(chǎn)乙

產(chǎn)品1桶需耗4原料2千克，B原料1千克，每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元，公

司在要求每天消耗4B原料都不超過12千克的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品甲、產(chǎn)品乙的利潤之和的最大值為

A.1800元B.2100元

C.2400元D.2700元

【答案】C

r2x+2y<12

?3x+y<12

【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品為％桶，y桶，利潤為z元，則根據(jù)題意可得目

標(biāo)函數(shù)為z=300x+400y,作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示,

z=300x-HUXh,

作直線‘：300》+400卜=°,然后把直線向可行域平移，可得x=0,y=6時，z最大，最大值為z=2400.

故選C.

V—4x

p:-——<0

3.(2018年普通高校招生全國卷一(A)【衡水金卷】高三信息卷(四)數(shù)學(xué)試題)設(shè)2x,

q：X^-(2m+l]x+m^+m<0若p是〃的必要不充分條件，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為

A.[-2,1]B.[-3,1]

C.12⑼U((M]D[-2s-l)U(0:l]

【答案】D

—4x

【解析】設(shè)p：------<0的解集為A,所以A={x|-2SrV0或0V爛2},

2x

設(shè)4：*-(2w+l)x+w+加《0的解集為&所以8={m彷爛〃叫,

由題知〃是4的必要不充分條件，即得8是A的真子集,

m>Q-w+1<0

<=0vzwK1或<=-2工加<-L

所以有舊+142w>-2

綜合得故選D

4.(貴州省銅仁市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題)已知關(guān)于%的不等式x2-4ar

+6〃，0(4>0)的解集為則兩+必+1的最小值是

X\X2

A邁B,弓也

33

C.-y/6D.->/3

33

【答案】C

【解析】由題意可知，xix：是方程x：7ov+6W=0的兩個根:則毛+毛=4q再毛=6a\

所以X1+工+/一=4a+g2］點:當(dāng)且僅當(dāng)a=粵時等號成立.

西電6a312

故選c.

【名師點睛】在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項均

為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相

等，取得最值.

5.（廣東省汕頭市達(dá)濠華僑中學(xué)、東廈中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若變量x,y滿足約束

x+y>0

<x-y>0

條件［3x+y-4W0,則3x+2y的最大值是

A.0B.2

C.5D.6

【答案】C

x+y>0

<x-y>0

【解析】畫出不等式組13x+y-4'°表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.

3z3z

i'=——x-y———x4~一

令z=3x+2y,則22,平移直線22,結(jié)合圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點

A時，直線在y軸上的截距最大，此時z取得最大值.

x-y=0

z-

由［3x+y-4=0,得.二；，.?.點A的坐標(biāo)為

.z31al=3xl+2xl=5

故選c.

3z3z

y———x4~-y———x4~一

【名師點睛】畫出不等式組表示的可行域，令z=3x+2y,則22,平移直線22到

可行域，根據(jù)z的幾何意義確定出最優(yōu)解，然后可得z=3x+2y的最大值.

（1）利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟

①作圖：畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線/；

②平移：將/平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置.有時需要進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)/和可行域邊界的斜率

的大小比較；

③求值：解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

（2）用線性規(guī)劃解題時要注意z的幾何意義，分清z與直線在y軸上的截距成正比例還是反比例.

x-v+l>0:

<x+y-l>0;

6.（天津市十二校2018年高三二模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知x,y滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)

z=2x-y+3的最小值為

A.1B.2

C.4D.5

【答案】B

X—y+l>0:

.x+y-l>Os

【解析】畫出不等式組-3表示的可行域，如圖，

平移直線Z=2X-N+3,設(shè)可行域內(nèi)一點（不》）,由圖可知，直線Z=2X-J+3經(jīng)過^^點時取到最小

值，

x-y+l=O

V

聯(lián)立（x+yT=O,解得c（o,l）,「.z的最小值為-1+3=2.

故選B.

【名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般

步驟是“一畫、二移、三求”：

（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；

（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解的對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，最先通過或

最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；

（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

7.（山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2019屆高三12月月考數(shù)學(xué)試題）正項等比數(shù)列｛4｝中，存在兩項”使得

且％=。5+2。4,則+4的最小值是

mn

3

A.-B.2

2

【答案】A

【解析】設(shè)正項等比數(shù)列｛q,｝的公比為4.山牝=%+2。4可得4'+解得g=2.

由曲次=叼,可得2f“=16q二得2"'+"-2=i6,解得m+〃=6.

當(dāng)且僅當(dāng)」n=4—/27,即加=2,幾=4時.，1一+4—取得最小值士3.

mnmn2

故選A.

【名師點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量運(yùn)算及基本不等式求最值，利用基本不等式求最值時,

要滿足條件“一正，二定，三相等”，屬于中檔題.利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算可得g，進(jìn)而可得機(jī)+〃=6,

141

----F-=—(W+w)

由加n6,展開利用基本不等式求最值即可.

'2x+2y>l

x>y

-2x->1-1且向量

8.(吉林省四平市2018屆高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題)若乂y滿足約束條件

。=(3:2)3=(x:j),則a』的取值范圍是

A.-,4B.,5

41

C.梟D.r5

【答案】D

2x+2y>1

<x>y

【解析】向量”(32))二仇力二a"=3x+2j■，設(shè)z=3x+2y,作出不等式組［2X-JW1表

示的平面區(qū)域如圖,

y=

由z=3%+2y,得

3z

>,=-rx+Tfx=yfx=l/、

時，直線22的截距最大，此時z最大，由1，，解得《，即6（1,1）,此時

2x-y=\[y=lv7

x=

V=_3X+￡\y

z==3xl+2xl=5,經(jīng)過點A時，直線'2X5的截距最小，此時z最小，由l2x+2）'=l,

1

X--

4,即心》z*=3x-F2X—=一§r5

解得4此時j444,則'<z<5,即a6的取值范圍是3,5,

14|_4」

故選D.

【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般

步驟是“一畫、二移、三求“：（1）作出可行域（?定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的

最優(yōu)解的對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將

最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

9.（河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)試題）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)

劇時，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如

下表所示：

連線劇連.則播.放時長mtn「,當(dāng)?播放Hj長min收視人次萬人

||?70(!(>

乙Gil525

電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時長不多于600min,廣告的總播放時長不少于30min,且甲

連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍，分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)

劇的次數(shù)，要使總收視人次最多，則電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)分別為

A.6,3B.5,2

C.4,5D.2,7

【答案】A

70x+60y<600

5x+5y>30

<x<2y

x>0

【解析】依題意得〔J20，目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25匕畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)

函數(shù)在點M（6,3）處取得最大值.故選A.

10.（四川省樂山市2019屆高三第一次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)試題）已知實數(shù)x,y滿足x>0,y>0且

x+4,y+—1+—1=10]]

"J?則—?—的最大值為

xy

【答案】9

x+4y+—+—=10—+—=10-(x+4y)

【解析】由xy，得％y

ii上din(x+4j')—+—[=w(10-w)

令雪上=加,則x+4y=10f,則dy)

尤y

Q5+"“+2口=9八°、0、

xy\xy，當(dāng)且僅當(dāng)下2y時等號成立，…皿1°一”)29,二"-10加+940,

解得故，+工的最大值為9.

xy

故答案為9.

【名師點睛】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，考查了利用換元法解一元二次不等式,

需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有一定難度，需要掌握解題方法.根據(jù)題意可以令2+,=加，則得到x+4y=i0一加，

xy

根據(jù)基本不等式求出(x+4y)的最值，即可得到關(guān)于機(jī)的不等式，計算即可求得答案.

II.(江西省南康中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)試題)設(shè)正數(shù)滿足x>；x+2j=3,則

19

-----F-----

x~~工+51的最小值為.

Q

【答案】-

3

11，￡/19'

-(x-y+x+5y)=l-(x-y+x+5y),---+——=

【解析】由x+2y=3得6，故6\x-yx+5yj

_=_x+5y_9(x_y)

63,當(dāng)且僅當(dāng)x-px+5y

即x=2,y=g時等號成立.

【名師點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)

—(X—v+x+5y)=1

題.將x+2y=3轉(zhuǎn)化為6,用這個“1”去乘求最小值的式子，化簡后利用基本不等

式來求得最小值.

x+y>3

12.(四川省內(nèi)江市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題)設(shè)x,y滿足約束條件■x-yN-lJ"z=3:步

x<3

的最小值為.

【答案】4

x+y>3

【解析】由約束條件〈x-y2-l作出可行域如圖,

x<3

2x+v=0

化目標(biāo)函數(shù)z—2x+y為y=-2x+z,

由圖可知I,當(dāng)直線y=-2x+z過A（1,2）時，直線在y軸上的截距最小，z最小，最小值為2xl+2=4.

故答案為4.

【名師點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.由約束條件

作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

13.（江西省南昌市第十中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）己知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C

所對的邊分別為a,b,c,若（3+a"sin5—siiU=lc-alsinC,且6=3,則△ABC面積的最大

值為.

［解析］由力=3,(3+G(shR_sinJ)=(c_a)sinC,即S+a)(sin5-siM=(c-a|sinC,利

用正弦定理化簡得(a+')("")=c(c-a),整理得/-『=c、ac,即a、c?-/=ac,所以

_a2+c2-b21

COSJ5=---------------------=—，2-c

2ac2,即5=60。，所以=即ac<9,當(dāng)斫c時取等

C_1.9A「

S-JDQ——ClCSitLD工----Q

號±±，所匚匚以卜1-7AmilA人而工n(Vi曰.古心'

故答案為:

【名師點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考

查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.把已知等式中的3換成〃，利用正弦定理化簡得到等式，利用

余弦定理求出cos8的值，利用基本不等式求出“c的最大值，即可確定△ABC面積的最大值.

14.(安徽省江淮十校2018屆高三第三次(4月)聯(lián)考數(shù)學(xué)文試題)己知實數(shù)X,y滿足不等式組

'2x-y+2>0

'x+2y+l>0

3x+y-2<0；若直線》=耳計i)把不等式組表示的平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則

【答案】一

3

2x-y+2>0

x+2y+l>0

【解析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域是以A(-l,0),8(l,-l),C(0,2)為頂點的三角形(如圖)，

因為y=jt(x+l)過定點A(-l,0),由題意直線y=4+l)過BC的中點所以斜率Z=(.

2x-y>0

15.(河北省武邑中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題)已知實數(shù)滿足,x+y?4,則的

”1

最小值為.

【答案】|

【解析】作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，z=—?表示可行域內(nèi)的點(x,y)與點。(-2,0)

/\1-01y1

連線的斜率，8(3,1),%=方==￡，所以由圖知上的最小值為不

【名師點睛】在線性規(guī)劃的非線性應(yīng)用中，經(jīng)常考慮待求式的幾何意義，如本題的斜率，或者是兩點

間距離、點到直線的距離，這就要根據(jù)表達(dá)式的形式來確定.

16.（衡水金卷2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)考試分科綜合卷數(shù)學(xué)（二）模擬試題）已知滿足

X*<y<x+2t則上二』的取值范圍是__________.

x—3

【答案】[1,2]

【解析】如圖，陰影部分即為不等式表示的區(qū)域，

產(chǎn)■的幾何意義是：可行域中的點與點（3,5）連線的斜率，且點（3,5）在直線y=x+2上，由圖形可

得最小值為1,最大值為過點（3,5）旦與拋物線相切的直線的斜率.

設(shè)切點為（狼〃），則豈~—=2m,把〃=代入，解得機(jī)=1或5,由圖可知加=5不合題意，舍去,

故切線斜率為2機(jī)=2,三的取值范圍為[1,2].

故答案為[1,2].

【名師點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛

線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直

線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.

17.（陜西省彬州市2018-2019學(xué)年上學(xué)期高2019屆高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)試題）如圖所示,

已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N兩點，且

AN=yAC,則3x+y的最小值為

［答案］4+2、

3

HIT1HITHITinunIlir1ULBB1IlirairiULUEiuur

AC^-AN且5=±3AG=-.lB^-ACAG=—^I+—.4N

【解析】根據(jù)條件：yX,又333x3y

又M,G,N二點共線，——h——=1；

3y3x

,1="+上，+乒=3

JX3

：x>0,y>0,.，.3x+y=(3x+y)(―+—)3y3x32V',

3x3y

，3x+y的最小值為吁2叵，當(dāng)且僅當(dāng)日時"=”成立.

3y3x

故答案為：土心叵.

3

【名師點睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與共線定理的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式在求最值

中的應(yīng)用問題.由條件通過三角形的重心與三點共線推出」-+」-=1,然后根據(jù)基本不等式即可求出

3y3x

x+y的最小值.

禽真題再現(xiàn)

1.(2016新課標(biāo)全國II文科)已知集合佳={1,2,3},?={%lx2<9},則AB=

A.{-2,-LQL2,3}B.{-2,-1,0,12}

C.{1,2,3)D.{1,2}

【答案】D

【解析】由f<9得—3<x<3,所以B={x[-3<x<3},因為A={1,2,3},所以415={1,2},故

選D.

x+3y<3,

2.（2017新課標(biāo)全國I文科）設(shè)x,y滿足約束條件，x-y>\,貝ljz=x+y的最大值為

.y>0,

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y經(jīng)過A（3,0）時z取得最大值，故

z==3+0=3,故選口.

【名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是

封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩

點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最值取法或值

域范圍.

3.（2016新課標(biāo)全國I文科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品

A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用

3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150

kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.

【答案】216000

【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B