2020版高中數學第二章數列222等差數列前n項和(第2課時)等差數列前n項和性質學案

第2課時等差數列前n項和的性質學習目標1.會利用等差數列性質簡化乞降運算.2.會利用等差數列前n項和的函數特點求最值．知識點一等差數列{an}的前n項和Sn的性質等差數列中挨次k項之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，構成公性質1差為k2d的等差數列若等差數列的項數為2n(n∈N＋)，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶性質2性質3

S偶an＋1S奇＝nd，S奇＝an(S奇≠0)；若等差數列的項數為2－1(∈N＋)，則2n－1＝(2n－nnSS偶n－11)an(an是數列的中間項)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)Sn奇{an}為等差數列?n為等差數列Sn思慮若{an}是公差為d的等差數列，那么1＋2＋3，4＋5＋6，7＋8＋9能否也是等差aaaaaaaaa數列？假如是，公差是多少？答案(a4＋5＋6)－(a1＋a2＋3)＝(a4－1)＋(5－2)＋(6－3)＝3d＋3＋3＝9d，aaaaaaaadd(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差為9d的等差數列．知識點二等差數列{an}的前n項和公式的函數特點n－dd21－dn1nnn1．公式S＝na＋2可化成對于n的表達式：S＝2n＋a2n.當d≠0時，S對于n的表達式是一個常數項為零的二次式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前n項和公式是對于n的二次函數，它的圖象是拋物線d21－dy＝2x＋a2x上橫坐標為正整數的一系列孤立的點．2．等差數列前n項和的最值n(1)在等差數列{a}中，當a>0，d<0時，S有最大值，使an≥0，S獲得最值的n可由不等式組確立；1nnan＋1≤0a≤0，當a<0，d>0時，S有最小值，使n確立．S取到最值的n可由不等式組1nnan＋1≥0(2)S＝d2d當d>0時，S有最小值；當d<0時，n1nSn有最大值．當n取最靠近對稱軸的自然數時，Sn取到最值．1．等差數列的前n項和必定是常數項為0的對于n的二次函數．(×)2．等差數列{an}的前n項和n＝2＋.即{an}的公差為2.(√)SAnbnASnd3．若等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn.則n的公差為2.(√)4．數列{n}的前n項和n＝n2＋1，則{n}不是等差數列．(√)aSa題型一等差數列前n項和的性質的應用例1(1)等差數列{a}的前項和為30，前2項和為100，求數列{a}的前3項的和3；nnmSn7n＋2，求a5(2)兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝n＋3b的值．T5n解(1)方法一在等差數列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，∴30,70，S3m－100成等差數列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.Sm

S2m

S3m方法二

在等差數列中，

，，成等差數列，m2m3m2S2mSmS3m∴＝＋.2mm3m即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.1a＋a92a1＋a915297×9＋265a＝＝S(2)19＝＝9＋3＝.b1bb9T125b＋b1922反省感悟等差數列前n項和Sn的相關性質在解題過程中，假如運用適當能夠達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的成效．追蹤訓練1一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項之和．解設Sn＝an2＋bn.S10＝100，S100＝10，11102a＋10b＝100，a＝－100，∴2a＋100b＝10，解得111100b＝10.111Sn＝－100n＋10n.S110＝－11×1102＋111×110＝－110.1110010題型二求等差數列前n項和的最值問題例2在等差數列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．解方法一∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋－－d，2d＝17×25＋2解得d＝－2.∴Sn＝25n＋nn－×(－2)＝－n2＋26n2＝－(n－13)2＋169.∴當n＝13時，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d＝－2.an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.a1＝25>0，nn≤131，a＝－2n＋27≥0，由n＋＋27≤0，得1an＋1＝－n≥122，又∵n∈N＋，∴當n＝13時，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d＝－2.∵9＝17，SSa10＋a11＋＋a17＝0.由等差數列的性質得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.∴當n＝13時，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差n2d＝－2.設S＝An＋Bn.S9＝S17，29＋17∴二次函數f(x)＝Ax＋Bx的對稱軸為x＝＝13，且張口方向向下，∴當n＝13時，Sn獲得最大值169.反省感悟(1)等差數列前n項和Sn最大(小)值的情況：①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即全部非負項之和．②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即全部非正項之和．(2)求等差數列前n項和Sn最值的方法an≥0，an≤0，①找尋正、負項的分界點，可利用等差數列性質或利用或來找尋．an＋1≤0an＋1≥0②運用二次函數求最值．追蹤訓練2已知等差數列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數列{n}的通項公式；a(2)當n為什么值時，數列{n}的前n項和獲得最大值？a解147(1)由a＝9，a＋a＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)．(2)方法一由(1)知，a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋nn－·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，2∴當n＝5時，Sn獲得最大值．方法二由(1)知，a＝9，d＝－2<0，∴{a}是遞減數列．1n11令an≥0，則11－2n≥0，解得n≤2.∵n∈N＋，∴n≤5時，an>0，n≥6時，an<0.∴當n＝5時，Sn獲得最大值．題型三求數列{|an|}的前n項和例3若等差數列{an}的首項a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋＋|an|，求Tn.解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當n≤4時，Tn＝|a1|＋|a2|＋＋|an|＝a1＋a2＋＋

an＝na1＋

nn－2

d＝13n＋

nn－2

×(－4)＝15n－2n2；當n≥5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋＋|an|(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋＋an)S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×＋－(1522n.2n－2n)＝56＋2n－152＋∴T＝15n－2n，n≤4，n∈N，nnnnn反省感悟等差數列的各項取絕對值后構成數列{|n|}．若原等差數列{an}中既有正項，也a有負項，那么{|an|}不再是等差數列，乞降重點是找到數列{an}的正負項分界點處的n值，再分段乞降．追蹤訓練3已知等差數列{a}中，S為數列{a}的前n項和，若S＝16，S＝24，求數列{|a|}nnn24n的前n項和Tn.解設等差數列{n}的首項為a1，公差為，ad2a＋2×121由S＝16，S＝24，得244×34a1＋d＝24，22a1＋d＝16，a1＝9，即解得2a1＋3d＝12，d＝－2.因此等差數列{an}的通項公式為an＝11－2n(n∈N＋)．1由an≥0，解得n≤5，則22①當n≤5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋＋|an|＝a1＋a2＋＋an＝Sn＝－n＋10n.a1＋a2＋＋a5－a6－a7－－an＝2S5－Sn2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)n2－10n＋50，n2＋10n，n≤5且n∈N＋，故Tn＝n2－10n＋50，n≥6且n∈N＋.用數形聯(lián)合思想求解數列中的參數問題典例在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn獲得最大值，則d的取值范圍為________．答案－1，－78分析方法一由當且僅當n＝8時Sn最大，知a8＞0且a9＜0，7＋7d＞0，7于是7＋8d＜0，解得－1＜d＜－8，故d的取值范圍為7－1，－8.Sd2＋ad方法二n21d－a1－211a對稱軸為d＝2－d，22a1n＝8時，Sn取最大值．∴7.5＜2－d＜8.5，77即－8＜d＜－7，∴d∈－1，－8.[修養(yǎng)評析]利用數形聯(lián)合抓住事物實質，解決問題才能思路清楚，方法簡捷，等差數列{an}(a1>0，d<0或a1<0，d>0)中，an＝dn＋(a1－d)，其圖象為y＝dx＋(a1－d)上的一系列點，d2dd要求Sn的最大(小)值，只要找出距x軸近來的兩個點；Sn＝2n＋a1－2n，其圖象為y＝2x

22x上的一系列點．要求S()值，只要找出距對稱軸近來的點.＋a1－dn的最大小1．設Sn是等差數列{an}的前n項和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于( )A．13B．35C．49D．63答案C分析a1＋a7＝7·a2＋a63＋11S2222．若等差數列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7等于( )A．12B．13C．14D．15答案B分析∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.應選B.3．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于( )A．63B．45C．36D．27答案B分析∵a＋a＋a＝S－S，而由等差數列的性質可知，S，S－S，S－S構成等差數列，7899636396因此3＋(9－6)＝2(6－3)，即a7＋8＋a9＝9－6＝26－33＝2×36－3×9＝45.SSSSSaSSSS4．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，則Sn獲得最小值時n的值為()A．5B．6C．7D．8答案B分析由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，a117得d＝－3.又a9>a5，因此d>0，a1<0.d21－d1117372x的圖象的對稱軸為x＝1a＝，取最靠近的整數6，故由于函數y＝2x＋a2－d＝2＋36Sn獲得最小值時n的值為6.nn2pq5．若等差數列{a}的前n項和為S＝2n＋3n，p－q＝5，則a－a＝________.答案20分析由n＝d2＋a1－d＝22＋3n知公差＝4，S2n2nndap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.1．等差數列{an}的前n項和Sn，有下邊幾種常有變形a1＋an(1)Sn＝n·

2

；dSn＝2n＋a1－2n；dSnd1dSd(3)n＝2n＋a－2nn是公差為2的等差數列.2．求等差數列前n項和最值的方法(1)二次函數法：用求二次函數的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意n∈N＋，聯(lián)合二次函數圖象的對稱性來確立n的值，更為直觀．a≥0，a≤0，(2)通項法：當a>0，d<0，nn時，S獲得最大值；當a<0，d>0，時，1n1an＋1≥0an＋1≤0n獲得最小值．S3．求等差數列{an}前n項的絕對值之和，重點是找到數列{an}的正負項的分界點.一、選擇題1．已知數列{a}知足a＝26－2n，則使其前n項和S取最大值的n的值為( )nnnA．11或12B．12C．13D．12或13答案D分析∵a＝26－2n，∴a－an－＝－2，nn1∴數列{an}為等差數列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋n－×(－2)＝－n2＋25nn2－252625＝－n2＋4.∵n∈N＋，∴當n＝12或13時，Sn最大，應選D.2．等差數列

{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此數列前

20項的和為

(

)A．160B．180C．200D．220答案B分析由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S＝10(a＋a)＝10(a＋a)＝10×(－8＋26)＝180.201202193．數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1答案B分析∵等差數列前nnn2項和S的形式為S＝An＋Bn，∴λ＝－1.4．在等差數列{an}中，Sn是其前n項和，且S2011＝S2016，Sk＝S2008，則正整數k為()A．2017B．2018C．2019D．2020答案C分析由于等差數列的前n項和S是對于n的二次函數，因此由二次函數的對稱性及S2011nk，可得2011＋20162008＋k＝S2016，S＝S20082＝2，解得k＝2019.應選C.5．若數列{an}知足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，則數列{an}的前n項和數值最大時，n的值為( )A．6B．7C．8D．9答案B分析由于an＋1－an＝－3，因此數列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數列，因此n＝a19＋(－1)×(－3)＝22－3.設前kak≥0，項和最大，則有nnak＋1≤0，因此22－3k≥0，192222－k＋即≤k≤.，33由于∈N，因此k＝7.故知足條件的n的值為7.＋6．已知{a}為項數為2n＋1的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為( )n2n＋1n＋1n－1n＋1nB.nC.nD.2n答案B分析n＋a1＋a2n＋1，S偶＝na2＋a2nS奇＝2，2S奇n＋1a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S偶＝n.7．已知等差數列{an}中，a1009＝4，S2018＝2018，則S2019等于( )A．－2019B．2019C．－4038D．4038答案C分析由于{an}是等差數列，因此S2018＝1009(a1＋a2018)＝1009(a1009＋a1010)＝2018，則a1009＋a1010＝2.又a1009＝4，因此a1010＝－2，則S2019＝a1＋a2019＝2019a10102＝－4038.8．設數列{a}為等差數列，其前n項和為S，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若對任nn意n∈N，都有S≤S建立，則k的值為()＋nkA．22B．21C．20D．19答案C分析對隨意n∈N＋，都有Sn≤Sk建立，即Sk為Sn的最大值．由于a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，因此a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2，nn≥0，11當n獲得最大值時，知足解得19≤≤20.an＋1≤0，22即知足對隨意n∈N，都有S≤S建立的k的值為20.＋nk二、填空題9．數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，則它的通項公式是______________________．答案a＝2，n＝1，nnnn分析當≥2時，n＝n－n－1＝32－2＋1－[3(n－1)2－2(－1)＋1]＝6－5，naSSnnnn當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不切合上式，2，n＝1，an＝6n－5，n≥2，n∈N＋.10．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a4＝1，S5＝10，則當Sn獲得最大值時，n的值為________．答案4或5a4＝1＋3＝1，ada1＝4，分析由5×4解得51d＝－1，S＝5a＋2d＝10，∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同時最大．∴n＝4或5.nnnnA7n＋45aa11．已知兩個等差數列{a}和的前n項和分別為A和B，且n(n∈N＋)，則79＝n＋3b7＋b11Bn＝________.答案463分析設A＝kn(7n＋45)，B＝kn(n＋3)，則n≥2，n∈N時，a＝A－A＝k(14n＋38)，nn＋nnn－1nak＋17a9k＋41a7a91741b＝k(2n＋2)7＝，＝，因此＋，則＝k＋2b＝k＋6b＋b＝26711711b46.3三、解答題12．設等差數列{an}知足a3＝5，a10＝－9.求{an}的通項公式；(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的自然數n的值．解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，a＋2d＝5，a＝9，11得解得d＝－2，a＋9d＝－9，1因此數列{a}的通項公式為a＝11－2n，n∈N＋.nnnnn－22由于Sn＝－(n－5)2＋25，因此當＝5時，S獲得最大值．n13．數列{a}中，a＝8，a＝2，