2018版高中數(shù)學第三章三角恒等變換312兩角和與差正弦學案蘇教版

兩角和與差的正弦學習目標1.認識兩角和與差的正弦和兩角和與差的余弦間的關系.2.正弦公式，掌握公式的特點.3.能運用公式進行三角函數(shù)的有關化簡求值．

會推導兩角和與差的知識點兩角和與差的正弦思慮1怎樣利用兩角差的余弦公式和引誘公式獲得兩角和的正弦公式？思慮2怎樣推導兩角差的正弦呢？梳理(1)兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦Ssin(α＋β)＝________________α，β∈R(α＋β)兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosα，β∈Rαsinβ記憶口訣：“正余余正，符號同樣”．協(xié)助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2ab2cosx，22sinx＋2a＋ba＋b令cosφ＝a2，sinφ＝b2，則有asinx＋bcosx＝22(cosφsinx＋sinφcos22a＋ba＋ba＋bx)＝a2＋b2sin(x＋φ)，此中tanφ＝b，φ為協(xié)助角．a種類一給角求值例1(1)化簡求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．(2)sin50°－sin20°cos30°＝________.cos20°反省與感悟(1)解答此類題目一般先要用引誘公式把角化正化小，化切為弦一致函數(shù)名稱，而后依據(jù)角的關系和式子的構造選擇公式．(2)解題時應注意察看各角之間的關系，

適合運用拆角、拼角技巧，以達到正負抵消或能夠約分的目的，進而使問題得解．追蹤訓練(2)sin(54

1計算：(1)sin14°－x)cos(36°＋

°cos16°＋sin76°cos74°；x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．種類二給值求值3π5π3π3π例2已知sin4＋α＝13，cos4－β＝5，且0<α<4<β<4，求cos(α＋β)．反省與感悟(1)給值(式)求值的策略：①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，而后應用引誘公式把“所求角”變?yōu)椤耙阎恰保?2)給值求角實質上為給值求值問題，解題時應注意對角的范圍加以議論，免得產生增解或漏解．追蹤訓練2π3π123已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α與cos2β24135的值．種類三協(xié)助角公式命題角度1用協(xié)助公式化簡例3將以下各式寫成Asin(ωx＋φ)的形式：3sinx－cosx；2π6π－x)．(2)sin(4－x)＋cos(444反省與感悟一般地關于asinα＋bcosα形式的代數(shù)式，能夠提取a2＋b2，化為Asin(ωx＋φ)的形式，公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝a2＋b2cos(α－φ))稱為協(xié)助角公式.利用協(xié)助角公式可對代數(shù)式進行化簡或求值.ππ追蹤訓練3sin12－3cos12＝________.命題角度2求函數(shù)值域最值例4已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋π－，∈π，π，求函數(shù)f(x)的值域．62cosxx2反省與感悟(1)用協(xié)助角公式化成一角一函數(shù)，即asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x±φ)的形式．依據(jù)三角函數(shù)的單一性求其值域．追蹤訓練4(1)當函數(shù)y＝sinx－3cosx(0≤x≤2π)獲得最大值時，x＝________；π(2)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx＋6的值域為________．1．計算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結果等于________．ππ2．化簡：cos3＋α＋sin6＋α＝________.3．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.ππ4．計算2cos12＋6sin12的值是________．ππππ5．化簡：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x·sin4＋3x.1．公式的推導和記憶理順公式間的邏輯關系以－β代換β引誘公式C(α－β)―――――→C(α＋β)――――→S(α＋β)(2)注意公式的構造特點和符號規(guī)律

以－β代換β―――――→

S(

α－β).關于公式C(α－β)，C(α＋β)可記為“同名相乘，符號反”；關于公式S(α－β)，S(α＋β)可記為“異名相乘，符號同”．(3)符號變化是公式應用中易錯的地方，特別是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(

α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，角α，β的“地位”不一樣也要特別注意．2．應用公式需注意的三點要注意公式的正用、逆用，特別是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右側的異同，并踴躍創(chuàng)建條件逆用公式．注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式．(3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值取代某些常數(shù)，使之代換后能運用有關公式，此中特別要注意的是“1”的代換，如1＝sin221＝cos60°，3α＋cosα，1＝sin90°，2＝sin60°2等，再如：

10，2，

22

，

3等均可視為某個特別角的三角函數(shù)值，進而將常數(shù)換為三角函數(shù)．2答案精析問題導學知識點思慮1sin(π－α＋βα＋β)＝cos2＝cosπ－α－β＝cosπ－α·cosβ＋sinπ－αsinβ＝sinαcosβ＋cos222αsinβ.思慮2能夠由sin(α－β)＝cos[π－(α－β)]＝cos[(π－α)＋β]獲得，22也能夠由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]獲得．梳理(1)sinαcosβ＋cosαsinβ題型研究21例1(1)2(2)2追蹤訓練1解(1)原式sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)sin14°cos16°＋cos14°sin16°1sin(14°＋16°)＝sin30°＝2.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.π3π例2解∵0<α<<β<，443π3πππ∴4<4＋α<π，－2<4－β<0.3π5，又∵sin＋α＝4133cos4－β＝5，∴cos3π124＋α＝－13，π4sin4－β＝－5.∴cos(α＋β)＝sinπ＝sin3ππ2＋α＋β4＋α－4－β3ππ3ππ＝sin4＋αcos4－β－cos4＋αsin4－β531243313×5－－13×－5＝－65.追蹤訓練

2

解

π3π∵<β<α<24

，π3π0<α－β<4，π<α＋β<2.∴sin(α－β)＝1－cos21225α－β＝1－13＝13，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－3241－－＝－.55cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β)＝－4×12－－3×5＝－33，51351365cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β)4123563＝－×＋－×＝－.5135136531例3解(1)3sinx－cosx＝2(2sinx－2cosx)πππ＝2(cos6sinx－sin6cosx)＝2sin(x－6)．21π3π(2)原式＝2[2sin(4－x)＋2cos(4－x)]＝2[sinπsin(π－x)＋cosπcos(π－x)]264642ππ2π25π2cos(4－x－6)＝2cos(12－x)＝2si