2021-2022學年四川省廣安市高一下學期期末考試數(shù)學試題(理科)(解析版)

四川省廣安市2021-2022學年高一下學期期末考試數(shù)學試題（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的。a0，則下列不等式正確的是(1．已知b)A．b2a2B．11baC．baD．a(chǎn)bab〖解析〗當a2，b3時，滿足b0a，但b2a2，ba，abab，A，C，D錯誤，ba0，10，10，11，B正確．baba〖答案〗B2．cos40sin70sin40sin160()A．1B．133D．C．2222〖解析〗cos40sin70sin40sin160cos40sin70sin40cos70sin(4070)sin(30)1．2〖答案〗B3．設(shè)m，n是不同的直線，是平面，則下列說法正確的是()mnA．若m//，//，則n//mnB．若m//，n//，則//n//D．若mn，，則nm，，則m//nC．若m〖解析〗如圖所示，在正方體ABCDABCD1中：111對于A選項，取m為直線AD，為平面ABCD，n為直線AD，11mn滿足m//，//，但是不滿足n//，選項A錯誤；對于B選項，取m為直線AD，為平面ABCD，n為直線AB，1111mn滿足m//，n//，但是不滿足//，選項B錯誤；1C選項，取為直線，為平面ABCD，為直線，AAmnAD對于1滿足m，nm，但是不滿足n//，選項C錯誤；對于選項，由面面垂直性質(zhì)定理的推論可知選項的結(jié)論成立．DD〖答案〗D4．2022北京冬奧會開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計時，盡顯中國人之浪漫，倒計時依次、小寒、冬至、大秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長等量減少，若冬至、小雪、霜降三個節(jié)氣的日影長之和為34.5寸，冬至到秋分日影長之和為73.5寸，問立秋的日影長為B．2.5寸C．3.5寸所以日影長可構(gòu)成等差數(shù)列{a}，為：大寒雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立等七個節(jié)氣的()A．1.5寸D．4.5寸〖解析〗因為從冬至到夏至的日影長等量減少，n由題意可知34.5，則3a34.5，故a11.5，aaa13533又S7()7a73.5，解得a10.5，aa127744所以數(shù)列的公差為1，3d10.5313.5，daaaa1434所以立秋的日影長為a9d13.594.5．a(chǎn)101〖答案〗D5．如是圖一個正方體的平面展開，圖則在正方體中直線與的位置關(guān)系為()ABCDA．相交B．平行C．異面并且垂直D．異面但不垂直〖解析〗將展開圖還原成正方體，由下圖可知，直線與的位置關(guān)系是：異面．ABCD2連接BE，則BE//DC，EBA或其補角即為直線AB與CD的夾角，EBA60，所以直線AB與CD不垂直．〖答案〗D，則sin2的值為(6．若(，，)cos2sin()0)44A．1233D．1B．C．222〖解析〗(，)，cos2sin()0，44即cos2sin2sin()2cos2sin，422又(，)，則cossin0，即cossin2，42故12sincos1；即sin21．22〖答案〗D7．如圖，在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CC的中點，過點A，E，F(xiàn)11111作一截面，該截面將正方體分成上下兩部分，則下部分幾何體的正視圖為()A．C．B．D．〖解析〗由題意可知，幾何體的圖形如圖，幾何體的正視圖為平面DCFD．1〖答案〗A38．已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosCbcosAb，則ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形〖解析〗由acosCbcosAb及正弦定理得，sinAcosCsinBcosAsinBsin(AC)sinAcosCsinCcosA，所以sinBcosAsinCcosA，所以sinBsinC或cosA0，所以BC或A90，故ABC是等腰三角形或直角三角形．〖答案〗D9．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是92m，則河流的寬度BC約等于()m．（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73)A．120mB．10mC．60mD．50m〖解析〗如圖所示，ADCB，垂足為D，AD92在RtABD中，ABD67，AD92，所以AB，sinABDsin67在ABC中，BAC673037，ACB30，BCABsinBACsinACB根據(jù)正弦定理，492920.60ABsinBACsin67sin370.92得BC120(m)，sinACBsin3012所以河流的寬度BC約等于120m．〖答案〗A10．設(shè)等差數(shù)列{}的前項和為，，公差為，0，a0．則下列結(jié)anSa0daann191010論不正確的是()A．d0B．當n9時，取得最小值SnC．0aaa4518D．使得0成立的最大自然是是17Snn〖解析〗對于，因為等差數(shù)列A{}中，0，0，aaaa10n910所以0，0，所以公差a0，所以正確；daaaA910109對于，由于0，0，d0，0，所以前9項均為負數(shù)，所以當n9時，Ba9a10a1Sn取得最小值，所以正確；B對于，a3da4da17d3(a8d)3a0，所以正確；CaaaC451811119對于，因為0，0，Daa91017(aa)18(aa)18(aa)1189100，22所以11717a0,SS17291819(aa)192aS191019a0,d010，所以使得0成立的最大自然是是S18，所119n22n以錯誤．D〖答案〗D11．若正三棱柱ABCABC既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半111徑分別為R、R，則R1()12R25A．B．5C．5D．35〖解析〗由于三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心相同，所以設(shè)內(nèi)切球的半徑為，如圖所示：r5設(shè)內(nèi)切球的半徑為，即，故2R，rBDrAD15R1R5R2(2R)所以外接球的半徑R225R，所以．1112〖答案〗A2n12．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，，若bacos，則數(shù)列S{a}na3S253nn25nnn的前30項和()T30C．60{}的公差為d，a30D．A．60B．30〖解析〗設(shè)數(shù)列nad31d，解得1，2，a1因為3，25，所以54d252aS5a2512n3所以1(n1)22n1，所以bacos(2n1)cos2n，a3nnn22ncos，cos4，cos6，cos8，cos10，cos12，對于cos，它是這樣的一些數(shù)：3333333，即1，1，1，1，1，1，，以3為周期循環(huán)，2222所以1(1)3(1)5155(1)57(1)591T302222(1)(13795557)511592(1)(41628112)(51159)21(4112)10(559)10()22229032030．〖答案〗B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．62xy4013．若x，y滿足約束條件x20y30，則zxy的最大值為．〖解析〗由約束條件作出可行域如圖，x2聯(lián)立，解得A(2,8)，2xy40由zxy，得yxz，由圖可知，當直線yxz過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為10．〖答案〗1014．在等比數(shù)列{a}中，n，，則a．a(chǎn)aa64a834552〖解析〗設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，n3aaaa64，得a4，4由3454又a8，得q582，所以a41．4aa4q45a422〖答案〗115．已知正實數(shù)m，n滿足mn21，則4n2的最小值為．mn〖解析〗正實數(shù)，n滿足mn21，m4n24242)(mmn8n2mmn8n2m9217，mn1(mn2n)19則mn當且僅當m2n1時，取等號．24n2則的最小值為17．mn〖答案〗1716．在ABCac8asinBcsin2A0，中，角A，B，的對邊分別為a，，c，若，CbABC面積的最大值為．則〖解析〗由正弦定理及asinBcsin2A0，知sinAsinBsinCsin2A0，7又sin2A2sinAcosA，且sinA0，AC所以sinB2sinCcosA0，即sin()2sinCcosA0，所以sinAcosCcosAsinC2sinCcosA0，即sinAcosC3sinCcosA0，由正弦定理，可得acosC3ccosA0，c23cbca20，a2再由余弦定理，可得ab2222ab2bcc2，a化簡得，2b22a2c21(a2c2)cosBa2c2ba23c223ac由余弦定理知，23，22ac2ac4ac4ac2當且僅當a3c時，等號成立，此時cosB3，212所以sin1cos，B2B所以面積S1acsinB1812，ABC222即ABC面積的最大值為2．〖答案〗2三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明或演算過程．{|1x3}．17．（10分）已知不等式(1)4x60的解集是ax2x（1）求常數(shù)a的值；（2）若關(guān)于的不等式40的解集為，求的取值范圍．a(chǎn)xmxxRm2解：（1）不等式(a1)x24x60的解集是{x|1x3}，4a121和3是方程(a1)x4x60的解，，解得，；a16a123（2）由1不等式40化為40，不等式40的解集為，aaxmxxmxxmx222R4m4則△m2160，，m的取值范圍是[4，4]．18．（12分）已知，(0,)，sin()，tan1．32452（1）求sin的值；8（2）求tan()的值．解：（1）(0,)，(,)，4424cos()1sin2()4，44524452523272sinsin[()]sin()coscos()sin．444441072（2）由（1）知，sin，10，(0,)cos1sin22，tan7，21071tantan1tantan12，tan()．tan132172a3aa8n4(n2)19．（12分）已知數(shù)列{a}滿足，．n1nn1（1）求數(shù)列{a}的通項公式；n1（2）求數(shù)列的前n項和T．nan解：（1）當n2時，a(aa)(aa)()aaa1nnn1n1n221(8n4)(8n12)123[(8n4)12](n1)34n21，2當n1時，a3，符合a4n1，所以a4nnN*1()．221nn（2）11111)，(a4n2122n12n1n111112n12n1)1(1111n2n1)2n1．所以T(n21335220．（12分）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，PAAB1，PAAD3，點F是PB的中點，點E在邊上移動．BC（1）當點為的中點時，求異面直線PD和EF所成的角的正切值；EBC（2）求證：無論點在邊的何處，都有PEAF．EBC9（1）解：因為E為BC的中點，F(xiàn)是PB的中點，所以EF//PC，DPC為異面直線PD和EF所成的角或其補角由題意可知PD2,DC1,PC5，PD2PC2DC22PDPC451，25故cosDPC2255sinDPC5，tanDPC125所以異面直線PD和EF所成的角的正切值為1；2（2）證明：因為PA底面ABCD，所以PADA，又DAAB，PAABA，所以DA平面PAB，又DA//BC，所以BC平面PAB，而AF平面PAB，所以FABC，又在等腰三角形中，中線FAPB，PBBCB，PAB所以AF平面PBC，而PE平面PBC，所以無論點E在BC邊的何處，都有PEAF21．（12分）內(nèi)角A，B，所對的邊分別為a，，c，已知bca(cosBcosC)．ABCCb（1）求A；b（2）若a，，c成等差數(shù)列，求sinBsinC．解：（1）由正弦定理及bca(cosBcosC)，得sinBsinCsinA(cosBcosC)，所以sin(AC)sin(AB)sinAcosBsinAcosC，即sinAcosCcosAsinCsinAcosBcosAsinBsinAcosBsinAcosC，所以cosAsinCcosAsinB0，即cosA(sinCsinB)0，因為sinB0，sinC0，所以cosA0，即A．2b，sinCc，（2）因為A，所以sinB2aa10c2bb，成等差數(shù)列，所以ac2b，即1①，c因為，aaabc，即()()21②，2aa在RtABC中，有ba22c2b4c3sinsinC7．B5聯(lián)立①②得，，，所以a5a522．（12分）已知數(shù)列{}中，，4．a(chǎn)a1(a1)(a3)n1n1n1a1（1）證明數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；ann（2）若22n1(a1)，求數(shù)列{}的前n項和T；bbnnnnn（3）若存在nN*，使得(a3)(a13)(a3)(a3)kn3成立，求實數(shù)k的取值范22n