立體幾何中的最值問(wèn)題-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之大題考點(diǎn)專練

第三篇立體幾何專題07立體幾何中的最值問(wèn)題常見(jiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)一最大值問(wèn)題典例1.如圖，在△ABC中，AC=BC=1,ZACB=120°,O為'ABC的外心，PO±平面ABC，且PO=互2(1)求證：BO//平面PAC；⑵設(shè)平面PAO「面PBC=l,若點(diǎn)M在線段PC(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線1與平面ABM所成角取最大值時(shí)，求二面角A-BM-O的正弦值.變式1-1.如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2,點(diǎn)D在邊BC上，E為BC111 1 11的中點(diǎn).(1)如果D為BC的中點(diǎn)，求證：平面BA1E//平面C1DA；⑵設(shè)銳二面角B-AC-D/的平面角為a,CDCB，九j1」［，當(dāng)九取何值時(shí)，1 1 2cosa取得最大值?

變式1-2.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA1底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中點(diǎn).(1)求證：AM//平面SCD；⑵求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；⑶設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為9，求sin9的最大值.變式1-3.如圖，在正四棱錐S-ABCD中，點(diǎn)O,E分別是BD,BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是SE上的一點(diǎn).(1)證明：OF±BC；(2)若四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)為2無(wú)，求直線OF與平面SDE所成角的正弦值的最大值.考點(diǎn)二最小值問(wèn)題

典例2.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120。，四邊形BFED為矩形，BF=1，平面BFED1平面ABCD.⑴求證：AD1平面BDEF；⑵點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為0，試求0的最小值.變式2-1?如圖,在Aabc中，AB=1，BC=2五，B=7,將△ABC繞邊AB翻轉(zhuǎn)至^ABP，使面XABP1面?ABC,D是BC的中點(diǎn).(1)求二面角P-BC-A的平面角的余弦值；⑵設(shè)。是線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC與D。所成角取得最小值時(shí)，求線段A。的長(zhǎng)度.變式2-2.如圖，四棱錐s-ABCD的底面為矩形，SD1底面ABCD，設(shè)平面SAD與平面SBC的交線為m.

(1)證明：m//BC,且m±平面SDC；(2)已知SD=AD=DC=2,R為m上的點(diǎn)求SB與平面RCD所成角的余弦值的最小值.變式2-3.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,/BCD=120。，四邊形BFED為矩形，平面BFED±平面ABCD,BF=1.A 8(1)求證：BD±平面AED,AD1平面BDEF;(2)點(diǎn)p在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為9,試求。的最小值.練習(xí)練習(xí)一最大值問(wèn)題.如圖所示，在三棱柱ABC-A/G中，AB=3。，點(diǎn)A1在平面ABC的射影為線段AC的中點(diǎn)，側(cè)面AACC是菱形，過(guò)點(diǎn)B,B,D的平面a與棱AC交于點(diǎn)E.11 1 11Ai CiB(1)證明：四邊形BBED為矩形；1⑵求CB］與平面ABB1A1所成角的正弦值的最大值..如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，AD=2,AB=4,將△ADM沿DM翻折，在翻折過(guò)程中A點(diǎn)記為P點(diǎn).(1)從4ADM翻折至XNDM的過(guò)程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度；⑵翻折過(guò)程中，二面角P-BC-D的平面角為仇求tan9的最大值..在四棱錐P-ABCD中，PA±平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC,1AB±AD，AB=AD=—BC=2,E為棱BC上的點(diǎn)'且BE=—CC.4

p(1)求證：DE1平面PAC;(2)若二面角A-PC-D的平面角的正切值為1，求PA的長(zhǎng)；2(3)在(2)的條件下，若。為線段PC上一點(diǎn)，求BQ與面PCD所成角為9，求sin9的最大值..如圖，在直角三角形AOB中，/OAB=30。，斜邊AB=4，直角三角形AOC可以通過(guò)AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.(1)求證：平面COD1平面AOB；(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的正切值;(3)求CD與平面AOB所成角的正切值的最大值.練習(xí)二最小值問(wèn)題.如圖，ABCD為正方形，PDCE為直角梯形，/PDC=90°，平面ABCD1平面PDCE,

且PD=AD=2EC=2.（1）若PE和DC延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，求證：BF//平面PAC;（2）若Q為EC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求直線BQ與平面PDB所成角正弦值的最小值..如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=BC=1，ZABC=60。，四邊形ACFE為矩形，平面ACFEI平面ABCD，CF=1，設(shè)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng).（1）證明：BC1AM；（2）設(shè)平面MAB與平面FCB所成銳二面角為0，求0的最小值..如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,AD=DC=CB=1,/BCD=120°,四邊形BFED為矩形，平面BFED，平面ABCD,BF=1.

E(1)求證：/。，平面BFED；⑵點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為仇試求。的最小值..如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為