高中數(shù)學(xué) 立體幾何中的向量方法

高中數(shù)學(xué)立體幾何中的向量方法第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日2014高考導(dǎo)航考綱展示備考指南1.理解直線的方向向量與平面的法向量．2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系．3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)．4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的作用.從近幾年的高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點(diǎn)，題型主要為解答題，難度屬于中等偏高，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問題等，同時注重考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力.第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日本節(jié)目錄教材回顧夯實(shí)雙基考點(diǎn)探究

講練互動名師講壇精彩呈現(xiàn)知能演練輕松闖關(guān)第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日教材回顧夯實(shí)雙基1．直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一________向量作為它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向非零第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日思考探究直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎？提示：不唯一，凡是在直線l上的非零向量或與l平行的非零向量都可以作為直線的方向向量，凡是與平面垂直的非零向量都可以作為平面的法向量．第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日課前熱身答案：B第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，則平面MNP的一個法向量是(

)A．(1,0,0) B．(0,1,0)C．(0,0,1) D．(1,1,1)第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．已知直線l的方向向量為v，平面α的法向量是μ，且v·μ＝0，則l與α的位置關(guān)系是__________．答案：l?α或l∥α4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1與平面A1BD所成的角為θ(0°≤θ≤90°)，則cosθ＝__________.第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日考點(diǎn)探究講練互動例1第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日【證明】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日【名師點(diǎn)評】

(1)利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的證明問題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空間想象，為解決立體幾何問題帶來了簡捷的方法.(2)用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并準(zhǔn)確地確定點(diǎn)的坐標(biāo)，另外運(yùn)算錯誤也是解題中常出現(xiàn)的問題．第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日跟蹤訓(xùn)練第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例2(2011·高考大綱全國改編卷)如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)證明：SD⊥平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值．第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日【解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)．又設(shè)S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0.第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日【名師點(diǎn)評】利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日跟蹤訓(xùn)練第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：(1)證明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)知，AA1⊥平面ABC.又DE?平面ABC，所以DE⊥AA1.又DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE?平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1.第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3(2012·高考天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)證明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日【名師點(diǎn)評】

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，因?yàn)槿庵鵄BC－A′B′C′為直三棱柱，所以四邊形ABB′A′為矩形，又M為A′B的中點(diǎn)，所以M為AB′的中點(diǎn)．又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn)，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日1．用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題．第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．空間向量在求空間角中的價值體現(xiàn)(1)求兩異面直線a、b的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角，即cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求直線l與平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角．則sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日名師講壇精彩呈現(xiàn)例(本題滿分12分)如圖，已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)．(1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF與平面AA1B1B所成二面角(銳角)的余弦值．第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日1第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日2第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日3第四十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日信息提煉層層剖析建系時，要說明詳細(xì)，屬易失分點(diǎn)．找準(zhǔn)向量，求角或求角的三角函數(shù)值時，若為鈍角或負(fù)值，直接轉(zhuǎn)化為銳角或正值．絕對值符號的加與不加，要看所求角為銳角或鈍角而定．123第四十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日【名師點(diǎn)評】利用向量法求兩異面直線a，b的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cosθ＝|cos〈a，b〉|；求二面角α－l－β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2