沖刺985優(yōu)等生拔高系列講義

來自QQ群高中數(shù)學(xué)解題研究會339444963更多經(jīng)典內(nèi)容歡迎關(guān)注：高中數(shù)學(xué)解題研究會339444963微信公眾號類似本文的有些資料關(guān)注后可以留言獲取，或加QQ群獲取《沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義》——（教師版本）專治學(xué)霸各種不服不等式版快目錄問題一：含參數(shù)的不等式的恒成立、恰成立、能成立問題 1問題二:線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 25問題三:利用基本不等式處理最值、證明不等式和實際問題 49問題一：含參數(shù)的不等式的恒成立、恰成立、能成立問題縱觀近幾年高考對于不等式綜合問題的考查，主要有三類問題：恒成立問題、能成立問題以及恰成立問題，要求學(xué)生有較強的推理能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答．從實際教學(xué)來看，這部分知識能力要求高、難度大，是學(xué)生掌握最為薄弱，看到就頭疼的題目．分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理．本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討．1不等式恒成立問題新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分．解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②主參換位法；③分離參數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤消元轉(zhuǎn)化法．下面我就以近幾年高考試題為例加以剖析．1．1函數(shù)性質(zhì)法一、一次函數(shù)——單調(diào)性法給定一次函數(shù)，若在內(nèi)恒有，則根據(jù)函數(shù)的圖像（線段）（如右下圖）可得上述結(jié)論等價于（1）或（2）可合并定成同理，若在內(nèi)恒有，則有圖1（1）圖1（1）例1．若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍．【分析】我們可以用改變主元的辦法，將視為主變元，即將元不等式化為：來求解．【解析】我們可以用改變主元的辦法，將視為主變元，即將元不等式化為：，令，則時，恒成立，∴只需，即，解這個不等式組得的范圍是．【點評】有些問題，如果采取反客為主（即改變主元）的策略，可產(chǎn)生意想不到的效果．二、二次函數(shù)——利用判別式、韋達(dá)定理及根的分布求解有以下幾種基本類型：類型1：設(shè)（1）上恒成立；（2）上恒成立．類型2：設(shè)（1）當(dāng)時，上恒成立上恒成立（2）當(dāng)時，上恒成立上恒成立例2．已知不等式對任意實數(shù)恒成立．則取值范圍是（）A．B．C．D．【分析】由不等式對任意實數(shù)恒成立，知或由此能求出的取值范圍．【解析】∵不等式對任意實數(shù)，或解得．【點評】本題考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．例3．已知函數(shù)，若對于任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【分析】與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，∴首先要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題．【解析】當(dāng)時，在上恒成立，而在上恒成立，顯然不滿足題意（如圖2）；當(dāng)時，在上遞減且只在上恒成立，而是一個開口向下且恒過定點的二次函數(shù)，顯然不滿足題意（如圖3）；當(dāng)時，在上遞增且在上恒成立，而是一個開口向上且恒過定點的二次函數(shù)，要使對任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則只需在上恒成立（如圖4），則有或，解得或．綜上可得即．故選B．圖21x圖21xyO1xyO圖3圖41Oxy【點評】該題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的求解，考查分類討論思想．三、其它函數(shù)：恒成立（注：若的最小值不存在，則恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，則恒成立的上界小于0）．例4．（07年重慶卷理20)已知函數(shù)在處取得極值，其中，為常數(shù)．（1）試確定，的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【分析】恒成立，即，要解決此題關(guān)鍵是求，．【解析】（1）（2）略．（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值．要使恒成立，只需．即，從而．解得或，的取值范圍為．例5.（08天津文21）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．（節(jié)選）【分析】，即，，，要解決此題關(guān)鍵是求．例6.（09年全國卷=2\*ROMANII文21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)．（=2\*ROMANII）若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．（節(jié)選）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍．【解析】（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，當(dāng)時，在或處取得最小值．，，則由題意得即解得，．【點評】以上三題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的增減，要注意極值點一定是導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，但是導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根不一定是極值點．1．2分離參數(shù)法——極端化原則若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍．利用分離參數(shù)法來確定不等式（，為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟：（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范圍．適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出．例7.（2013新課標(biāo)卷Ⅰ理11）已知函數(shù)，若||≥，則的取值范圍是...[-2,1].[-2,0]【解析】∵∴由||≥得，且，由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ，當(dāng)=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.【點評】本題主要考查函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解法，是難題．例8.（07年山東卷文15)當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是．【解析】當(dāng)時，由得．令，則易知在上是減函數(shù)，∴時，則∴．例9.（09年山東卷文21）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)滿足什么條件時，取得極值?（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍．【分析】此題雖有三個變量，，，而的范圍已知，最終要用表示出的取值范圍，∴可以將看成一個已知數(shù)，對和進(jìn)行離參．例10．（2010天津高考理16）設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】依據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立．當(dāng)時函數(shù)取得最小值，∴，即，解得或．1．3主參換位——反客為主法某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度“反客為主”，即把習(xí)慣上的主元變與參數(shù)變量的“地位”交換一下，變個視角重新審查恒成立問題，往往可避免不必要的分類討論或使問題降次、簡化，起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的出奇制勝的效果．例11.（07遼寧卷文科22)已知函數(shù)，，且對任意的實數(shù)均有，．(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)若對任意的，恒有，求的取值范圍．【解析】(Ⅰ)，，而，恒成立．則由二次函數(shù)性質(zhì)得，解得，，．（Ⅱ）．令，則即．由于，則有．解得．∴的取值范圍為．例12．(08安徽文科20)已知函數(shù)，其中為實數(shù)．（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．（節(jié)選）【分析】已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解．【解析】由題設(shè)知“對都成立，即對都成立．設(shè)（），則是一個以為自變量的一次函數(shù)．恒成立，則對，為上的單調(diào)遞增函數(shù)．∴對，恒成立的充分必要條件是，，，于是的取值范圍是．1．4數(shù)形結(jié)合——直觀求解法若所給不等式進(jìn)行合理的變形化為（或）后，能非常容易地畫出不等號兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果．尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷．例13.(07安徽理科3)若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）(A)(B)(C)（D）【解析】對，不等式恒成立，則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即．例14.若不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和的圖像，觀察兩函數(shù)圖像，當(dāng)時，若函數(shù)的圖像顯然在函數(shù)圖像的下方，∴不成立；當(dāng)時，由圖可知，的圖像必須過點或在這個點的上方，則，，．綜上得：．例15．若不等式對于任意∈都成立，求的取值范圍．【解析】作出函數(shù)的圖像，由題意知在∈(0，］上，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的上方，．作直線=，與和的圖像分別交于A、B兩點，為保證在區(qū)間（0，］上的圖像在圖像的上方，不難從圖中得到其條件是點A在點B的上方，當(dāng)=時，，又，得<<1．1．5消元轉(zhuǎn)化法例16．已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若，若對于所有的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．【解析】本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，故f(x)在[-1，1]上的最大值為f(1)=1，則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所有的恒成立，令，只要，．【點評】對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題，可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決．上述例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)的不同，但其實質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”．2不等式能成立問題的處理方法若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間上的．注意不等式能成立問題（即不等式有解問題）與恒成立問題的區(qū)別．從集合觀點看，含參不等式在區(qū)間上恒成立，而含參不等式在區(qū)間上能成立至少存在一個實數(shù)使不等式成立．例17．若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】設(shè)．則關(guān)于的不等式的解集不是空集在R上能成立，即解得或例18．已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍3不等式恰好成立問題的處理方法例19．已知當(dāng)?shù)闹涤蚴牵嚽髮崝?shù)的值．例20．已知，，⑴若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；⑵若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；⑶若對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍；⑷若對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍；⑸若對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；⑹若對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；⑺若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；⑻若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.高中數(shù)學(xué)教師解題研究QQ群545423319一題多問⑴解析：由可得，存在，使得,即方程在上有解.設(shè)，則方程在上有解的條件是為值域中的元素，所以的取值范圍就是的值域.因為時=>0,所以在上是增函數(shù)，由此可求得的值域是[0，]，所以實數(shù)的取值范圍是[0，].⑵解析：據(jù)題意：若存在，使得,即有解，故h(x)>，由⑴知h（x）=，于是得<⑶解析：對任意，恒有，即時恒成立，即，由⑵可知0.⑷解析：由題中條件可得的值域的值域，若對任意，恒有，即，即，所以.⑸解析：對任意，若存在，使得，即，由⑷可知即，所以.⑹解析：對任意，若存在，使得，則，所以即⑺解析：若存在，使得，則,即4，所以.⑻解析：若存在使得，則，∴，∴實數(shù)的取值圍是高中數(shù)學(xué)教師解題研究QQ群545423319一題多問突破強化訓(xùn)練選擇題1．【2016屆山東省棗莊市三中高三12月月考】若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即，即存在正數(shù)使成立即可，，所以只要，，因為為增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以，即的取值范圍是，故選D．2．【2016屆浙江省余姚中學(xué)高三上學(xué)期期中】設(shè)，在上恒成立，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A3.設(shè)集合，集合.若中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B． C．D．【答案】B．【解析】，因為函數(shù)的對稱軸為，，根據(jù)對稱性可知要使中恰含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)解為2，所以有且，即，選B.4.設(shè)函數(shù)，若對任意給定的，都存在唯一的，滿足，則正實數(shù)的最小值是（）A．B．C．2D．4【答案】A．【解析】首先寫出f(f(x))表達(dá)式，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，考慮到題目說的要求x的唯一性，即當(dāng)取某個y值時，f(f(x))的值只能落在三段區(qū)間的一段，而不能落在其中的兩段或者三段內(nèi)．因此我們要先求出f(f(x))在每段區(qū)間的值域．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時,．從中可發(fā)現(xiàn)，上面兩段區(qū)間的值包含在最后一段區(qū)間內(nèi)，換一句話就是說假如f(f(x))取在小于等于1的范圍內(nèi)的任何一個值，則必有兩個x與之對應(yīng)．因此，考慮到x的唯一性，則只有使得f(f(x))>1,因此題目轉(zhuǎn)化為當(dāng)y>2時，恒有．因此令,題目轉(zhuǎn)化為y>2時，恒有g(shù)(y)>0,又g(y)=(2ay-1)（ay+1），為了要使其大于0，則或，考慮到題目要求a的正實數(shù)，則ay<-1不考慮．因此，在y大于2的情況下恒成立．因此，所以a的最小正實數(shù)為(因為y本身取不到2，因此a可以取）．5.函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則的最大值是（）A．3B．C．4D．【答案】B．6.集合，且、、恰有一個成立，若且,則下列選項正確的是()（A）, （B）,（C）, （D）,【解析】7．【湖南湘中名校2014屆高三上學(xué)期第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)8】已知，若對任意的，存在，使，則實數(shù)m的取值范圍是()A． B． C． D．填空題8．【2016屆湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】因為，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”），所以，即，解得；故填．9．【2016屆浙江省富陽市二中高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測】若正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由已知可得，即恒成立，即恒成立，又解得即，所以解得或10.若函數(shù)對任意的恒成立，則．【答案】．11.若函數(shù)，滿足對任意實數(shù)、，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】．【解析】由對任意實數(shù)，當(dāng)時，，得到在上是增函數(shù)，而在上是增函數(shù)，所以有：12若對滿足條件的正實數(shù)都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】．【解析】設(shè)，則，∴，∴或（舍），不等式化為：（），∴.13對于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個函數(shù)，如果對于區(qū)間[a，b]中的任意x均有，則稱在[a，b]上是“密切函數(shù)”，[a，b]稱為“密切區(qū)間”，若函數(shù)與在區(qū)間[a，b]上是“密切函數(shù)”，則的最大值為．【答案】1．【解析】由得，，這個不等式的解集為，由題意得，所以的最大值為解答題14已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.(3)求證:對一切x∈(0,+∞),都有xlnx>.【解析】(1)f'(x)=lnx+1,當(dāng)x∈(0,1e)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1e,+∞)時,f'(x)>0,f(x)①0<t<t+2<1e,t無解;②0<t<1e<t+2,即0<t<1e時,f(x)min=f(1e)=-1e;③1e≤t<t+2,即t≥1e時所以f(x)min=-(3)由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-1e,當(dāng)且僅當(dāng)x=1e時取到.設(shè)m(x)=xex-2e(x∈(0,+∞)),則易得m(x)max=m(1)=-1e,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到15已知二次函數(shù)若對于任意,恒有成立，不等式的解集為A.(1)求集合A；(2)設(shè)集合，若集合B是集合A的子集，求的取值范圍.[來源:Z.xx.k.Com]【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，然后解含參數(shù)的二次不等式；（2）將集合計算出來，然后在數(shù)軸上表示兩個集合的相對位置，研究當(dāng)時，兩個集合端點的位置關(guān)系（注意考慮端點是否能重合）.16．已知實數(shù)，且，若恒成立.（1）求實數(shù)m的最小值；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.【答案】（1）3；（2）或.【解析】（1）∴，∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）又，故，即的最小值為．5分（2）由（1）若對任意的恒成立，故只需或或解得或．10分17.已知函數(shù)，函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若對任意,均存在,使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）依題意得當(dāng)時，，∴，∴；當(dāng)時，，無解所以原不等式的解集為（2）因為所以當(dāng)；當(dāng)所以當(dāng)，當(dāng)，則當(dāng)，又因為所以①當(dāng)時，上單調(diào)增，②當(dāng)時，又因為，結(jié)合時的單調(diào)性，故，綜上，，又因為，所以①當(dāng)時，；②當(dāng)時，綜上得：1°當(dāng)時，由得，故2°當(dāng)時，由得，故3°當(dāng)時，由得，故綜上所述：的取值范圍是．18.已知函數(shù)，，.（Ⅰ）當(dāng)時，若對任意恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，1分，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立4分實數(shù)b的取值范圍是5分問題二線性規(guī)劃中的參數(shù)問題簡單的線性規(guī)劃有很強的實用性，線性規(guī)劃問題常有以下幾種類型：（1）平面區(qū)域的確定問題；（2）區(qū)域面積問題；（3）最值問題；（4）逆向求參數(shù)問題．而逆向求參數(shù)問題，是線性規(guī)劃中的難點，其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值．類型一目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會知道最值，此時要結(jié)合可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點（即最優(yōu)解），將點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得參數(shù)的值．1．目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為參數(shù)【例1】【湖北省武漢市2015屆高三9月調(diào)研測試7】，滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（）或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如圖，畫出線性約束條件所表示的可行域，坐出直線，因此要使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，直線的斜率，要與直線或的斜率相等，∴或．【點評】本題主要考查最優(yōu)解的求法以及兩直線的位置關(guān)系．通過本題應(yīng)進(jìn)一步明確兩點：（1）線性規(guī)劃問題可能沒有最優(yōu)解；（2）當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域的某一條邊界平行時，線性規(guī)劃問題可以有無數(shù)個最優(yōu)解．【牛刀小試】【2016屆湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【評注】處理簡單的線性規(guī)劃問題的基本方法是：先畫出可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，往往容易忽視的是目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)直線與可行域邊界的傾斜程度，如本題中，不僅要討論斜率的符號，還要討論斜率與邊界直線斜率的大小關(guān)系.2．目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為參數(shù)【例2】已知變量滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為1，則．【答案】3．【解析】約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)過B（4，1）點是取得最大值，∴，∴．【點評】這類問題應(yīng)根據(jù)圖形特征確定最優(yōu)解，進(jìn)而用代入法求參數(shù)的值．3．目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)均含參數(shù)【例3】設(shè)，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為2，則的最大值為．【答案】．【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，易求得，要目標(biāo)函數(shù)的最小值為2，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ实淖畲笾禐椋军c評】本題主要考查最優(yōu)解的求法以及均值不等式的應(yīng)用．應(yīng)明確若可行域是封閉的多邊形，最優(yōu)解一般在多邊形的頂點處取得．應(yīng)用均值不等式時需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小試】【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12，則的最小值為（）A．B．C．D．4【答案】A【評注】運用線性規(guī)劃求解最值時，關(guān)鍵是要搞清楚目標(biāo)函數(shù)所表示的直線的斜率與可行域便捷直線的斜率之間的大小關(guān)系，以好確定在哪個端點，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，在哪個端點，目標(biāo)函數(shù)取得最小值；（)4．目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)且含有參數(shù)【例4】設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為．若圓不經(jīng)過區(qū)域上的點，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D．【點評】本題的關(guān)鍵是給出目標(biāo)函數(shù)的實際意義，即圓與可行域無公共點的問題．對于目標(biāo)函數(shù)為平方型：，可看成可行域內(nèi)的點與定點兩點連線的距離的平方，即；也可看成是以為圓心，為半徑的圓，轉(zhuǎn)換為圓與可行域有無公共點的問題．【牛刀小試】【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（）（A）[1，3]（B）[2，]（C）[2，9]（D）[，9]【答案】C【解析】平面區(qū)域M如圖所示，求得，由圖可知，欲滿足條件必有且圖象在過B、C兩點的圖象之間，當(dāng)圖象過B點時，，當(dāng)圖象過C點時，，所以，故的取值范圍是．【評注】巧妙地識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是研究此類問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性與非線性、非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得線性規(guī)劃問題得以深化，本題的解答中正確理解目標(biāo)函數(shù)表示指數(shù)函數(shù)的圖象與二元一次不等式組表示的平面區(qū)域有公共點這一意義是解得本題的關(guān)鍵。類型二約束條件中含參數(shù)由于約束條件中存在參數(shù)，∴可行域無法確定，此時一般是依據(jù)所提供的可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值，來確定含有參數(shù)的某不等式所表示的坐標(biāo)系中的某區(qū)域，從而確定參數(shù)的值．【例5】“QUOTEm≥3”是“關(guān)于、的不等式組QUOTEx≥02x-y≤0x-y+1≥0x+y-m≤0表示的平面區(qū)域為三角形”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖的陰影部分所示，而不等式所表示的平面區(qū)域是位于直線上及其以下的部分，直線交軸于點，直線與直線相交于點，當(dāng)直線在從原點沿著點方向運動或在點以上的區(qū)域運動時，不等式組所表示的平面區(qū)域為三角形．當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點時，；當(dāng)直線經(jīng)過點時，則有；當(dāng)直線經(jīng)過點，則有．結(jié)合圖形知實數(shù)的取值范圍是，故“QUOTEm≥3”是“關(guān)于、的不等式組QUOTEx≥02x-y≤0x-y+1≥0x+y-m≤0表示的平面區(qū)域為三角形”的充分不必要條件，故選A．【點評】約束條件中含有參數(shù)時：（1）要對可行域的各種可能情況作出判斷，特別注意特殊的線與點；（2）依據(jù)可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值準(zhǔn)確確定可行域；（3）求出參數(shù)．【牛刀小試】【2016屆貴州省貴陽市六中高三元月月考】實數(shù)滿足的最大值為13，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由約束條件作出可行域（如圖所示），要使得有最大值13，即，而，所以，解得或（舍去）．類型三目標(biāo)函數(shù)及約束條件中均含參數(shù)【例6】設(shè)在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值大于2，則的取值范圍為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，表示是斜率為，截距為的平行直線系，當(dāng)截距最大時，最大，當(dāng)過點時，截距最大，解之得．【牛刀小試】【2014新課標(biāo)Ⅰ高考】設(shè)，滿足約束條件且的最小值為7，則（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3【答案】B突破強化訓(xùn)練1.【2016屆河南省信陽高中高三上第八次大考】設(shè)滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍為A．B．C．D．【答案】B【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖所示的內(nèi)部（含邊界），其中，，，的最大值為，最小值為，說明在點處取得最大值，在點處取得最小值，則有，，，所以，即，選B．2.【2016屆河北省衡水二中高三上學(xué)期期中考試】已知，滿足約束條件若的最小值為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)，將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距，當(dāng)直線經(jīng)過點時，最小，由得：，代入直線，解得故答案選3．【2016屆甘肅省會寧縣一中高三上第四次月考】已知由不等式確定的平面區(qū)域的面積為7，則的值（）A．B．C．D．【答案】B4．【2016屆福建省廈門一中高三上學(xué)期期中】變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)等于（）A、—2B、—1C、1D、2【答案】C【解析】作出題設(shè)約束條件表示的可行域如圖內(nèi)部（含邊界），聯(lián)立，解得A（），化目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y為y=2x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為，解得：m=1．故選C．5．【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】已知，滿足約束條件，若的最大值為，則（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根據(jù)題意作出滿足約束條件下的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時取得最大值，所以，解得，故選C．6．【2016屆湖南省東部株洲二中六校高三12月聯(lián)考】實數(shù)，滿足（），且的最大值是最小值的倍，則的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在直角坐標(biāo)系中作出可行域如下圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域中的點時有最大值，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域中的點時有最小值，由得，故選B．考點：線性規(guī)劃．7.若滿足且的最小值為－2，則的值為（）．A．1B．-1C．2D．-2【答案】B．【解析】結(jié)合本題特點可用排除法解決，當(dāng)或時，目標(biāo)函數(shù)無最小值，當(dāng)時，直線過（0，2）時有，而當(dāng)時，直線過（2，0）時，故選B．8.若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是9．設(shè)點（）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，函數(shù)在區(qū)間[）上是增函數(shù)的概率為（）A．B．C．D．【答案】【解析】表示的區(qū)域的面積為．函數(shù)在區(qū)間[）上是增函數(shù)，則，∴概率．選C．10.設(shè)其中實數(shù)滿足，若的最大值為，則的最小值為（）【答案】【解析】可行域如圖，易求得，目標(biāo)函數(shù)在時取最大值，即直線在軸上的截距最大，此時，，∴．∴，故目標(biāo)函數(shù)的最小值為．11.若實數(shù)滿足其中，若使得取得最小值的解有無窮多個，則等于()A．1B．2C．1．5D．3【答案】B．【解析】表達(dá)式可看成是定點與動點連線斜率（點在所給不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)），如圖，動直線過定點，為使?jié)M足題意的點有無窮多個，此時直線應(yīng)過，從而故選B．12．變量滿足約束條件，若使取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則實數(shù)的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式組表示的區(qū)域如下圖所示．由得：．當(dāng)時，平行直線的傾斜角為銳角，從第一個圖可看出，時，線段AC上的所有點都是最優(yōu)解；當(dāng)時，平行直線的傾斜角為鈍角，從第二個圖可看出，當(dāng)時，線段BC上的所有點都是最優(yōu)解．故選B．13．設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0=2，求得m的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】C【解析】要使線性約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0=2，即該平面區(qū)域和直線有交點，而直線的交點在直線上移動，由得交點坐標(biāo)為，當(dāng)即時，才會交點．14．當(dāng)實數(shù)滿足不等式時，恒有成立，則實數(shù)的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】B15三個正數(shù)a，b，c滿足，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，設(shè)，則有，其可行域如圖，其中A()，B()，∴［，］．16．函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點（1，0）對稱，滿足不等式，，為坐標(biāo)原點，則當(dāng)時，的取值范圍為（） A．B． C．D．【答案】D【解析】∵函數(shù)的圖像關(guān)于點（1，0）對稱，∴的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，由得，∴，∴，即，畫出可行域如圖，可得=x+2y∈[0，12]．故選D．17.已知函數(shù)的圖像過原點，且在原點處的切線的斜率是，則不等式組所確定的平面區(qū)域在圓內(nèi)的面積為（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】由函數(shù)的圖像過原點得：又函數(shù)在原點處的切線的斜率是，，，其對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，不等式組所確定的平面區(qū)域在圓內(nèi)的面積為：，故選B．18.已知實數(shù)x，y滿足不等式組若目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的唯一最優(yōu)解是(1，3)，則實數(shù)a的取值范圍為()(A)a<-l(B)0<a<l(C)a≥l(D)a>1【答案】D【解析】本題考查線性規(guī)劃問題．作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域BCD，由得，要使目標(biāo)函數(shù)僅在點處取最大值，則只需直線在點處的截距最大，，由圖象可知，∵，∴，即a的取值范圍為，選D．19.已知，滿足不等式組當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是()（A） （B） （C） （D）【答案】D．20．已知△ABC的頂點A（3，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）在△ABC內(nèi)部（包括邊界），若目標(biāo)函數(shù)z=（a≠0）取得最大值時的最優(yōu)解有無窮多組，則點（a，b）的軌跡可能是（）【答案】A【解析】由線性規(guī)劃問題的求解可知這三個值中有兩個相等且為最大值，∵a≠0，∴，若，則（a≠0）；若，則（a≠0），∴答案為A．21．若關(guān)于，的不等式組（是常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的邊界是一個直角三角形，則．【答案】或．【解析】作出不等式組表示的區(qū)域如下圖所示，由圖可知，要使平面區(qū)域的邊界是一個直角三角形，則0或1．22．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個銳角三角形，則實數(shù)的取值范是．【答案】【解析】不等式組所表示的區(qū)域是由直線和過定點的直線所圍成的平面區(qū)域，如下圖:由圖可知，要使陰影部分成銳角三角形，動直線與直線的交點必須位于點和點之間，此時．23.設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（）的最大值為8，則的最小值為．【答案】4【解析】約束條件所表示的區(qū)域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)在處取得最大值，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．24．【北京市西城區(qū)2014屆高三一模（理）】若不等式組表示的平面區(qū)域是一個四邊形，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】．25．【2014年浙江省嘉興市2014屆高三3月教學(xué)測試（一）】如圖，已知可行域為及其內(nèi)部，若目標(biāo)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在點處取得最大值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】根據(jù)線性規(guī)劃的知識，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解都是在可行域的端點，∴根據(jù)題意，故填．問題三利用基本不等式處理最值、證明不等式和實際問題不等式問題始終是高考數(shù)學(xué)的熱點題型之一，而基本不等式法是最為常見、應(yīng)用十分廣泛的方法之一．下面筆者以近幾年高考試題及模擬題為例，對高考中考查利用基本不等式解題的基本特征和基本類型作一些分類解析，供參考．I基礎(chǔ)知識1．（1）若，則；（2）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．2．（1）若，則；（2）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；（3）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．3．若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；若，則，即或（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．4．若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；若，則，即或（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．5．若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．II拓展1．一個重要的不等式鏈：．2.3．函數(shù)圖象及性質(zhì)（1）函數(shù)圖象如右圖所示：（2）函數(shù)性質(zhì)：①值域：；②單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：．注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”；（2）求最值的條件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用．III基本不等式的應(yīng)用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函數(shù)最值時，應(yīng)注意三個條件：“一正，二定，三相等”，這三個條件中，以定值為本．因為在一定限制條件下，某些代數(shù)式需經(jīng)過一定的變式處理，才可利用基本不等式求得最值，而怎樣變式，完全取決于定值的作用．主要有兩種類型：一類是中條件給出定值式，一類是條件中無定值式．類型一給出定值【例1】【2016屆重慶市南開中學(xué)高三12月月考】已知，且，則的最小值為（）A．B．6C．D．12【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=1時，等號成立．故選B．【牛刀小試】設(shè)是正實數(shù)，且，則的最小值是__________．【答案】．【分析一】考慮通法，消元化為單元函數(shù)，而后可用導(dǎo)數(shù)法和判別式法求解函數(shù)的最小值；【解析一】【分析二】考慮整體替換的方法，分母的和為常數(shù)．【解析二】設(shè)，，則，類型二未知定值【例2】已知二次不等式的解集為，且，則的最小值為A．B．C．D．【分析】根據(jù)已知條件求出的關(guān)系，再將變?yōu)閮蓚€正數(shù)的和（或積）為常數(shù)，用基本不等式求最值．【評析】配湊法是解決這類問題的常用方法，其目的是將代數(shù)式或函數(shù)式變形為基本不等式適用的條件，對于這種沒有明確定值式的求最大值（最小值）問題，要靈活依據(jù)條件或待求式合理構(gòu)造定值式．【牛刀小試】【2010江蘇高考第14題】將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則S的最小值是_________．技巧一：湊項【例3】已知，求函數(shù)的最大值．【分析】，∴首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，∴對要進(jìn)行拆、湊項．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，．【評注】本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．【牛刀小試】【2016屆安徽省馬鞍山二中等高三第三次聯(lián)考】已知，則的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】因為，則．所以且僅當(dāng)，即時等號成立，故選B．技巧二：湊系數(shù)【例4】當(dāng)時，求的最大值．【分析】由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可．【解析】，當(dāng)，即時取等號，∴當(dāng)時，的最大值為8．【評注】本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．【牛刀小試】設(shè)，求函數(shù)的最大值．【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．【評注】總的來說，要提高拼湊的技巧，設(shè)法拼湊出乘積或和為定值的形式．技巧三：分離【例5】求的值域．【分析一】本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有的項，再將其分離．【牛刀小試】【2016屆江西省南昌市二中高三上第四次考試】已知a，b都是負(fù)實數(shù)，則的最小值是（）A．B．2（﹣1）C．D．2（+1）【答案】B【解析】，故選B．技巧四：換元上述例5也可以用換元法求解．【分析二】本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令，化簡原式再分離求最值．【解析二】令，則．當(dāng)，即時，（當(dāng)即時取“＝”號）．【評注】分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值．即化為恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基本不等式來求最值．【牛刀小試】已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求y＝eq\f(1,ab)的最小值．【分析】這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行．點評：①本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍．技巧五：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．【例6】已知，且，求的最小值．【錯解】，且，，故．【錯因】解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是，即，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤．因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．【正解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時，．【牛刀小試】【2016屆安徽省六安一中高三上第五次月考】若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的最小值為（）A．5B．7C．D．9【答案】D【解析】圓的圓心為，由已知得直線必經(jīng)過圓心，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D為正確答案．技巧六：取平方【例7】已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值．【分析一】可以利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系．【解法一】eq\r(3x)＋eq\r(2y)≤eq\r(2)eq\r(（eq\r(3x)）2＋（eq\r(2y)）2)＝eq\r(2)eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(5)．【分析二】條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏．【解法二】W＞0，W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)＝10＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)≤10＋(eq\r(3x))2·(eq\r(2y))2＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤eq\r(20)＝2eq\r(5)．【牛刀小試】求函數(shù)的最大值．【解析】注意到與的和為定值．，又，，當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號，故．【評注】本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．技巧七：構(gòu)造要求一個目標(biāo)函數(shù)的最值，我們利用基本不等式構(gòu)造一個以為主元的不等式（一般為二次不等式），解之即可得的最值．【例8】【2010重慶理】已知，，則的最小值為（）A．3B．4C．D．【答案】B．【例9】【2011浙江高考題理16】設(shè)為實數(shù)，若，則的最大值是．【分析】利用基本不等式將已知定值式中的均轉(zhuǎn)化成含的不等式，再求的最大值．【答案】．【解析】，可解得的最大值為．【評注】本題的解法過程體現(xiàn)了“消元”的思想，所求目標(biāo)函數(shù)是和的形式，那我們就設(shè)法消去條件等式中的乘積，方法就是利用基本不等式，這里它的作用，一個是消元，還有就是把條件的等式變?yōu)榱瞬坏仁剑九５缎≡嚒俊?011浙江高考題文16】若實數(shù)滿足，則的最大值是．【分析】利用基本不等式將已知定值式中的均轉(zhuǎn)化成含的不等式，再求的最大值．【答案】．【解析】即【評析】本題的已知定值式和待求式中，都是由兩正數(shù)的和、積、平方和構(gòu)成，這正是基本不等式可以解決的問題．事實上，當(dāng)問題中出現(xiàn)諸如兩正數(shù)的和、積、平方和、倒數(shù)和等式子或者是能轉(zhuǎn)化為這些表達(dá)式時，都可以考慮利用求最值．【牛刀小試】若正數(shù)滿足，則的最小值為．【解法1】由得，得，即，所求最小值為24；【解法2】．【解法3】變形得，表示直線經(jīng)過點（3，2）與兩坐標(biāo)軸正半軸交點為A，B，當(dāng)M是AB的中點時，△ABC的面積最小，這個可以用圖形來解釋．技巧八：添加參數(shù)【例10】若已知，則的最小值為．【解析】時可取得函數(shù)的最小值，此時，此時，最小值為．【牛刀小試】設(shè)是不全為零的實數(shù)，求的最大值．【解析】顯然我們只需考慮的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我們假設(shè)可以找到相應(yīng)的正參數(shù)滿足：故依據(jù)取等號的條件得，，參數(shù)就是我們要求的最大值．消去我們得到一個方程，此方程的最大根為我們所求的最大值，得到．【評注】從這個例子我們可以看出，這種配湊是有規(guī)律的，關(guān)鍵是我們建立了一個等式，這個等式建立的依據(jù)是等號成立的條件，目的就是為了取得最值．【牛刀小試】設(shè)是正實數(shù)，求的最小值．【解析】引進(jìn)參數(shù)，使之滿足，依據(jù)取等號的條件，有：，故的最小值4．綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各項或各因式必須為正數(shù)；二可“定”：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能“等”：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值．應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，并且有很多不同的變形，如：等，所以利用基本不等式及其變式證明不等式既方便又具有很大的技巧．類型一輪換對稱型【例11】設(shè)求證：．【分析】所證不等式是關(guān)于的輪換不等式，易知，然后輪換相加即可．【證明】又三式相加，得當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．【評注】欲證明的不等式如屬輪換對稱型，通常分拆證明，用基本不等式，再用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)證明．但要注意多次用基本不等式時，必須保證每次用時等號都成立，最終等號才成立．類型二用“1”代換型【例12】已知，且，求證：．【分析】把待證式的左邊分子中的“1”用“”代換．【證明】當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．【評注】要完成“1”的代換，首先要認(rèn)真觀察已知式和待證不等式；其次是如何代，直接代入，還是用式子乘1等；再次代入后要變式，使得能用基本不等式進(jìn)行論證．【牛刀小試】已知且．求證：．【分析】不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手．【例13】若且，求證：．【解析】設(shè)．考慮到取等號的條件，有，∴應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題【例14】已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍．【解析】令，．，【牛刀小試】若對任意的正實數(shù)恒成立，求的最小值．應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用【例15】若，則的大小關(guān)系是．【分析】∵∴，（，，∴R>Q>P．應(yīng)用五：利用基本不等式處理實際問題【例16】有一邊長為（）的長方形紙板，在四個角各裁出一個大小相同的正方形，把四邊折起做成一個無蓋的盒子，要使盒子的容積最大，問裁去的正方形的邊長應(yīng)為多少？【分析】這是一個高考題，很古老了．可以利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)來解決．但我們也可以用基本不等式來處理它．【解析】設(shè)裁去的正方形的邊長為，則做成的無蓋長方體容積為．引入?yún)?shù)，則由取等號的條件得，當(dāng)時，右邊為常數(shù)，故當(dāng)二者同時成立時，函數(shù)有