2022-2023學(xué)年江蘇省南京市南師大附屬揚子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市南師大附屬揚子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)為數(shù)列的前項之和.若不等式對任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)恒成立，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

參考答案：答案:B2.已知實數(shù)2，a，8構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為A. B. C. D.參考答案：D略3.在的展開式中，項的系數(shù)為

（

）A．45 B．36 C．60 D．120參考答案：B4.為了解某校高三學(xué)生的視力情況,隨機地抽查了該校200名高三學(xué)生,得到如圖的頻率分布直方圖.由于不慎丟失部分數(shù)據(jù),但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到4.9之間的學(xué)生數(shù)為b,則a,b的值分別為

A.0.27,132

B.0.27,166

C.2.7,132

D.2.7,166參考答案：A略5.已知向量若函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，則t的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.已知集合，，則A.

B.

C.

D.參考答案：C7.下列判斷正確的是

（

）A.若命題為真命題，命題為假命題，則命題“”為真命題B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.“”是“”的充分不必要條件D.命題“”的否定是“”參考答案：D8.要得到函數(shù)y=3cos（2x一）的圖象，可以將函數(shù)y=3sin2x的圖象（

）A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C．向左平移個單位

D．向右平移個單位參考答案：A略9.從已編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號可能是A．5，10，15，20，25

B.3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5

D.2，4，6，16，32參考答案：B10.已知是函數(shù)與圖象的兩個不同的交點，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足，現(xiàn)有四個命題：①是周期函數(shù)；且周期為2；

②當；

③是偶函數(shù)；④

其中正確命題是

參考答案：答案:①②④12.規(guī)定記號“”表示一種運算，即．若，則函數(shù)的值域是

參考答案：(1,+∞)由a△b=ab+a+b，a，b∈R+，若1△k=3，則1?k+1+k=3，解得k=1，∴函數(shù)f（x）=k△x=1△x=1?x+1+x=2x+1，其中x∈R+，∴2x+1＞1，∴f（x）的值域是（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．

13.三角形ABC面積為，BC=2，C=，則邊AB長度等于______.參考答案：2略14.已知雙曲線，它的漸近線方程是y=±2x，則a的值為

．參考答案：2【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程為：y=±ax，結(jié)合題意中漸近線方程可得a=2，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，其焦點在x軸上，其漸近線方程為：y=±ax，又有其漸近線方程是y=±2x，則有a=2；故答案為：2．15.讀程序，完成下面各題(1)輸出結(jié)果是

.

(2)輸出結(jié)果是

.參考答案：（1）2,3,2

(2）616.已知直線⊥平面，直線m平面，有下面四個命題：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正確命題序號是

．參考答案：①③17.實數(shù)，滿足，目標函數(shù)的最大值為

．參考答案：-1如圖區(qū)域為開放的陰影部分，可求，函數(shù)過點時，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)證明：AC⊥平面BCDE；(2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值．

參考答案：【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．G12【答案解析】（1）證明：略；（2）.

解析：(1)證明：連接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD，與CB的延長線交于點F，連接AF，則EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直線AE與平面ABC所成的角．在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝.在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝.所以，直線AE與平面ABC所成的角的正切值是.【思路點撥】（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四邊形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC==．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．（Ⅱ）過點E作EM⊥CB交CB的延長線于點M，連接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．19.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a．b．c，且，，BC邊上中線AM的長為．（Ⅰ）求角A和角B的大??；（Ⅱ）求△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理的應(yīng)用．【分析】（1）將展開，根據(jù)余弦定理可求出cosA的值，進而得到角A的值；將角A的值代入，再運用余弦函數(shù)的二倍角公式可得到sinB=1+cosC，再由可求出角C的值，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°得到角B的值．（2）先設(shè)出AC的長，根據(jù)余弦定理可求出x，再由三角形的面積公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，由，得即sinB=1+cosC則cosC＜0，即C為鈍角，故B為銳角，且則故．（Ⅱ）設(shè)AC=x，由余弦定理得解得x=2故．【點評】本題主要考查余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用．在做這種題型時經(jīng)常要用三內(nèi)角之間的相互轉(zhuǎn)化，即用其他兩個角表示出另一個的做法．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），點A（1，）在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）是否存在斜率為2的直線l，使得當直線l與橢圓C有兩個不同交點M、N時，能在直線y=上找到一點P，在橢圓C上找到一點Q，滿足=？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）方法一、運用橢圓的定義，可得a，由a，b，c的關(guān)系，可得b=1，進而得到橢圓方程；方法二、運用A在橢圓上，代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=2x+t，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中點為D（x0，y0），聯(lián)立橢圓方程，運用判別式大于0及韋達定理和中點坐標公式，由向量相等可得四邊形為平行四邊形，D為線段MN的中點，則D為線段PQ的中點，求得y4的范圍，即可判斷．【解答】解：（Ⅰ）方法一：設(shè)橢圓C的焦距為2c，則c=1，因為A（1，）在橢圓C上，所以2a=|AF1|+|AF2|=+=2，因此a=，b2=a2﹣c2=1，故橢圓C的方程為+y2=1；方法二：設(shè)橢圓C的焦距為2c，則c=1，因為A（1，）在橢圓C上，所以c=1，a2﹣b2=c2，+=1，解得a=，b=c=1，故橢圓C的方程為+y2=1；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=2x+t，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中點為D（x0，y0），由消去x，得9y2﹣2ty+t2﹣8=0，所以y1+y2=，且△=4t2﹣36（t2﹣8）＞0故y0==且﹣3＜t＜3，由=，知四邊形PMQN為平行四邊形，而D為線段MN的中點，因此D為線段PQ的中點，所以y0==，可得y4=，又﹣3＜t＜3，可得﹣＜y4＜﹣1，因此點Q不在橢圓上，故不存在滿足題意的直線l．21.如圖，平面，，，，分別為的中點．（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：連接，

在中，分別是的中點，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD（Ⅱ）解析：在中，，所以

而DC平面ABC，，所以平面ABC

而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以

所以平面ABE，所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，

所以直線AD與平面ABE所成角是

在中，

，所以22.（本題滿分10分）如圖，底面為正三角形，面，面，，設(shè)為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考