靜電場邊值問題的唯一性定理

靜電場邊值問題的唯一性定理第一頁，共十六頁，2022年，8月28日唯一性定理邊界條件可將空間里電場的分布唯一地確定下來即給定邊界條件后，不可能存在不同的靜電場分布該定理對包括靜電屏蔽在內的許多靜電問題的正確解釋至關重要理論證明在電動力學中給出，p59

給出物理上的論證第二頁，共十六頁，2022年，8月28日幾個引理引理一在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值證明（反證）若有極大，則極大極小若有極小，同樣證明第三頁，共十六頁，2022年，8月28日引理二若所有導體的電勢為0，則導體以外空間的電勢處處為0即意味著空間電勢有極大值，違背引理一證明（反證）在無電荷空間里電勢分布連續(xù)變化，若空間有電勢大于0（或小于0）的點，而邊界上電勢又處處等于零——必出現(xiàn)極大值或極小值推廣：若完全由導體所包圍的空間里各導體的電勢都相等（設為U0），則空間電勢等于常量U0第四頁，共十六頁，2022年，8月28日引理三若所有導體都不帶電，則各導體的電勢都相等證明（反證）若不相等，必有一個最高，如圖設U1>U2、U3，——導體1是電場線的起點——其表面只有正電荷——導體1上的總電量不為0——與前提矛盾引理二(＋)引理三推論：所有導體都不帶電的情況下空間各處的電勢也和導體一樣，等于同一常量第五頁，共十六頁，2022年，8月28日疊加原理在給定各帶電導體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：1：給定每個導體的電勢UⅠk（或總電量QⅠk）2：給定每個導體的電勢UⅡk（或總電量QⅡk)設UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=a

UⅠ+bUⅡ必滿足條件3:3:給定每個導體的電勢Uk=a

UⅠk+bUⅡk

（或總電量Qk=QⅠk

a

k+bQⅡk）特例：取UⅠk＝

UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足4：給定每個導體的電勢為0

第六頁，共十六頁，2022年，8月28日唯一性定理給定每個導體電勢的情形第七頁，共十六頁，2022年，8月28日與電勢參考點有關給定每個導體上總電量的情形

第k個導體上的電量電量與場強、電勢的關系第八頁，共十六頁，2022年，8月28日解釋靜電屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導體平衡特性，又是物理實在，則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

圖中是根據導體內場強處處為零判斷存在兩種實在的電荷分布的迭加就是唯一的分布

第九頁，共十六頁，2022年，8月28日電像法——解靜電問題的一種特殊方法在一接地的無窮大平面導體前有一點電荷q求空間的電場分布和導體表面上的電荷分布基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解像電荷第十頁，共十六頁，2022年，8月28日真空中有一半徑為R的接地導體球，距球心為a(a>R)處有一點電荷Q,求空間各點電勢尋找像電荷對稱性分析，確定像電荷位置使球面上電勢＝0任取P點，利用疊加原理求出像電荷位置對所有都成立，即要求第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日求p點電勢討論：由Gaoss定理收斂于球面上的電通量為－Q’，Q’=球面上的總感應電荷，它受電荷Q產生的電場吸引從接地處傳至導體球上，|Q’|<Q,Q發(fā)出的電力線只有一部分收斂于導體球，剩下的伸展至無窮第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日電偶極層設想一厚度均勻的曲面薄殼，兩面帶有符號相反的面電荷——電偶極層，如圖，求P點的電勢和場強第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日面元dS在垂直于矢徑r方向的投影定義電偶極層強度：——單位面積上的電偶極矩

第十四頁，共十六頁，2022年，8月28日P點的電場強度

電偶極層的電勢和場強只與對場點所張的立體角有關幾何上決定，電偶極層兩側立體角有的躍變負電荷一側：

曲面S對場點P所張的立體角正電荷一側：第十五頁，共十六頁，202