量子力學(xué)第四章

量子力學(xué)第四章1第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日第四章態(tài)和力學(xué)量的表象§4.1態(tài)的表示

§4.2

算符的矩陣表示

§4.3

矩陣性質(zhì)§4.4量子力學(xué)公式的矩陣表示§4.5幺正變換（表象變換）

§4.6態(tài)隨時間變化的幺正變換§4.7海森伯繪景與薛定諤繪景

§4.8狄拉克符號

§4.9線性諧振子與占有數(shù)表象

RETURN2第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日第四章態(tài)和力學(xué)量的表象表象：態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象

§4.1態(tài)的表示

量子力學(xué)中，任何一個量子態(tài)

可以看成抽象的線性空間中的一個“矢量”，體系的任一組力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)（記為，n代表一組量子數(shù)）可以構(gòu)成此態(tài)空間的一組正交歸一完備的基矢。nu3第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日任何一個態(tài)（可知量）可按該基矢展開展開系數(shù)其中是矢量

在基上的投影,這一組數(shù)就是矢量在Q表象中的表示,記為一矩陣形式nuyna共軛矩陣為4第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日討論：

①態(tài)矢量一般為復(fù)量，空間維數(shù)可以是無限維的，不可數(shù)的，這種函數(shù)空間稱希爾伯特空間。②若是歸一化的，則即5第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日③同一個態(tài)可以在不同的表象中表示，表象不同，波函數(shù)的形式也不同，但它們完全等價。

坐標(biāo)表象：

動量表象：RETURN6第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日§

4.2

算符的矩陣表示

一、算符在一般表象中的表示二、算符在自身表象中的表示

三．算符表示矩陣的性質(zhì)RETURN7第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.2

算符的矩陣表示

一、算符在一般表象中的表示設(shè)算符作用于函數(shù)后，得出另一函數(shù).在坐標(biāo)表象中：Q表象中：設(shè)Q有分立譜相應(yīng)的本征函數(shù)則8第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日用同乘上式兩邊，再對x積分是在Q表象中的表示

是在Q表象中的表示

故其中9第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日即：算符在Q表象中的表示是一矩陣。矩陣元表示Q表象中基矢在算符作用下的變化性質(zhì)。RETURN所以矩陣給定后，基矢在作用下的變化就完全確定，同時任何一個量子態(tài)在作用下的變化也就完全確定了。10第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、算符在自身表象中的表示

Q在自身表象中的矩陣元：算符在其自身表象中是一個對角矩陣。RETURN11第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日三．算符表示矩陣的性質(zhì)因為是厄米算符，則有F^

F矩陣的第m列第n行的矩陣元等于它第n列第m行矩陣元的共軛復(fù)數(shù)，稱為厄米矩陣。F的共軛矩陣滿足結(jié)論：表示厄米算符的矩陣是厄米矩陣。12第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日[例題]求一維諧振子的坐標(biāo)x，動量p及哈密頓量H在能量表象中的矩陣表示。

[解]利用厄米多項式的遞推關(guān)系在能量表象中x的矩陣表示為13第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日在能量表象中p的矩陣表示為：14第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日能量H在自身表象中的矩陣RETURN15第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.3

矩陣性質(zhì)

矩陣——表象理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.矩陣的加法

若矩陣A和B的行數(shù)與列數(shù)分別相同，則它們可以相加成另一矩陣C，其中C的元素為A和B相對應(yīng)元素之和:量子力學(xué)中，算符的表示矩陣滿足上述加法規(guī)則.16第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日設(shè)算符是算符與之和，則在任一表象中的矩陣元F^G^17第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.矩陣的乘法

兩矩陣乘法規(guī)則:若C=AB,則C的矩陣元條件：矩陣A的列數(shù)等于B的行數(shù)量子力學(xué)中表示算符的矩陣滿足上述規(guī)則設(shè),則在Q表象中的矩陣元：18第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日令其中所以注:

(1)一般AB≠BA,或(2)若AB=BA,則稱矩陣A與B對易19第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.兩矩陣A與B乘積的轉(zhuǎn)置矩陣等于B的轉(zhuǎn)置矩陣乘以A的轉(zhuǎn)置矩陣，即推之：

RETURN故有

20第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.4量子力學(xué)公式的矩陣表示

一、期望值公式

二、本征值方程三、薛定諤方程

RETURN21第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日§

4.4

量子力學(xué)公式的矩陣表示

一、期望值公式

Q表象中：22第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日即特例：力學(xué)量在自身表象中的期望值

或代表在態(tài)下測量力學(xué)量F得本征值的概率。RETURN因為所以23第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、本征值方程上式表示一個線性齊次方程組即24第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零：——久期方程F的本征值：對于每一個本征值可求出相應(yīng)的本征矢RETURN25第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、薛定諤方程

Q表象中

左乘再對x積分所以其中：26第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日矩陣表示：簡記：RETURN27第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.5幺正變換（表象變換）

一、表象變換二、表象變換矩陣S的性質(zhì)

RETURN28第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.5

幺正變換（表象變換）

一、表象變換

A表象→

B表象

基矢：態(tài)矢量：力學(xué)量：29第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日（1）態(tài)矢量從A表象到B表象的變換

A表象→

B表象即或故30第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）力學(xué)量從A表象到B表象的變換

即所以RETURN31第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、表象變換矩陣S的性質(zhì)

1.變換矩陣S是么正矩陣

S為幺正矩陣即32第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.幺正變換不改變算符的本征值因在A表象中在B表象中所以即：在B表象中力學(xué)量的本征值仍為

3.幺正變換S不改變矩陣的跡即：F的跡等于F′的跡。RETURN33第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.6態(tài)隨時間變化的幺正變換一、變換矩陣

二、變換矩陣為幺正矩陣

RETURN34第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.6態(tài)隨時間變化的幺正變換一、變換矩陣

設(shè)不是t的顯函數(shù)，則上述方程的解取為：H^設(shè)則因是任意波函數(shù)，得算符滿足的方程y或RETURN35第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、變換矩陣為幺正矩陣

同理有：故是幺正算符，相應(yīng)的變換為幺正變換U(t)^又因RETURN因為所以36第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.7海森伯繪景與薛定諤繪景

一、海森伯繪景與薛定諤繪景

二、兩種繪景間的關(guān)系

三、海森伯運動方程RETURN37第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日§

4.7海森伯繪景與薛定諤繪景

一、海森伯繪景與薛定諤繪景

薛定諤繪景海森伯繪景

波函數(shù)隨時間變化波函數(shù)不隨時間變化力學(xué)量不隨時間變化力學(xué)量隨時間變化

RETURN38第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、兩種繪景間的關(guān)系

1.態(tài)矢量：或2.力學(xué)量的期望值（滿足期望值不因表象的不同而不同的要求）由于故39第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日3．力學(xué)量算符

哈密頓算符：RETURN40第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、海森伯運動方程由對時間求導(dǎo)海森伯

WernerHeisenberg

(1901－1976)

因創(chuàng)建量子力學(xué)矩陣理論榮獲1932年諾貝爾物理學(xué)獎RETURN41第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.8狄拉克符號

一、狄拉克符號規(guī)定

二、量子力學(xué)理論在具體表象中的表示三、表象變換

狄拉克Dirac

Paul(1902－1984)因創(chuàng)建發(fā)現(xiàn)原子理論新的有效形式與薛定諤榮獲1933年諾貝爾物理學(xué)獎RETURN42第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.8狄拉克符號

采用狄拉克符號表述量子力學(xué)理論有兩個優(yōu)點：（1）運算簡潔（2）可毋需具體表象討論問題。一、狄拉克符號規(guī)定

1.右矢（刃矢ket）與左矢（刁矢bra）①量子態(tài)→態(tài)矢量→右矢具體的態(tài)矢量：——波函數(shù)描述的狀態(tài)——能量的本征態(tài)（本征值為En）——坐標(biāo)的本征態(tài)（本征值為x′）43第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日②量子態(tài)→態(tài)矢量→左矢具體的態(tài)矢量：③左矢與右矢的關(guān)系是的共軛矢量，即它們在同一表象中的相應(yīng)分量互為共軛復(fù)數(shù)2．左矢與右矢的標(biāo)積①定義：是的共軛矢量，即是的共軛矢量，即或44第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日③正交歸一化條件設(shè)力學(xué)量完全集的本征值為Fn，相應(yīng)的本征態(tài)為，滿足正交歸一條件：F^分立譜或連續(xù)譜如：坐標(biāo)的本征矢動量的本征矢RETURN②45第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、量子力學(xué)理論在具體表象中的表示1.態(tài)矢量的表示取Q表象：（1）Q的本征值為分立譜：基矢或?qū)θ我鈶B(tài)矢量②投影算符：令

注：①為態(tài)矢量在Q表象中的表示，稱其為態(tài)矢在基矢上的投影,又稱為態(tài)矢在Q表象中的波函數(shù)。46第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日作用矢量后得到其在基矢上的投影，故稱為投影算符。③本征矢的封閉性：（2）Q的本征值為連續(xù)譜：基或組成完全系注：①②本征矢的封閉性47第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日如：x表象：基則為態(tài)矢量在x表象中投影。2.力學(xué)量算符的表示（1）算符F^設(shè)取Q表象：

①設(shè)Q具有分立本征譜,則基矢或48第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日以左乘上式，再利用即是算符在Q表象中的表示矩陣元F^分別代表態(tài)矢和在Q表象中的表示。49第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日②設(shè)Q具有連續(xù)本征值譜,基矢力學(xué)量的矩陣元：F^如：x表象:(2)的共軛算符F^當(dāng)是厄米算符時：F^設(shè)則50第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.量子力學(xué)公式的表示

（1）薛定諤方程：取Q表象:設(shè)基矢為以左乘上式,得51第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日取x表象：設(shè)基矢為以左乘上式，對空間積分所以52第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）本征值方程取Q表象：設(shè)基矢為即53第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日（3）平均值公式如：x表象：在態(tài)下，力學(xué)量的平均值：F^取Q表象：設(shè)基矢為RETURN54第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、表象變換

設(shè)A表象：基矢為,任一量子態(tài)B表象：基矢為,同一量子態(tài)A表象→B表象量子態(tài)故因為55第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日力學(xué)量F^即因為RETURN56第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.9線性諧振子與占有數(shù)表象

一、湮沒算符和產(chǎn)生算符二、線性諧振子

三、占有數(shù)表象

RETURN57第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日§4.9線性諧振子與占有數(shù)表象

一、湮沒算符和產(chǎn)生算符1.定義2.性質(zhì)

（1）不是厄米算符（2）（3）58第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日3．，的物理含義由諧振子能量公式n份能量,每份可看作一個粒子，稱為準(zhǔn)粒子，表示體系含有n個粒子根據(jù)：即粒子數(shù)由n→n-1，減少一個，湮沒算符即粒子數(shù)由n→n+1，增加一個，產(chǎn)生算符RETURN59第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、線性諧振子

線性諧振子哈密頓量由得60第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日其中：——粒子數(shù)算符,本征值為粒子數(shù)n1.的本征矢

基態(tài)：即