高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形課下層級(jí)訓(xùn)練23應(yīng)用舉例含解析文新人教A

課基層級(jí)訓(xùn)練(二十三)應(yīng)用舉例[A級(jí)基礎(chǔ)加強(qiáng)訓(xùn)練]1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸察看站C的距離相等，燈塔A在察看站南偏西40°，燈塔B在察看站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°[由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，所以燈塔A在燈塔B南偏西80°.]2．(2019·湖北十堰調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為()A．10kmB．103kmC．105kmD．107kmD[如下圖，由余弦定理可得，2°＝700，∴AC＝AC＝100＋400－2×10×20×cos120107.]3.(2019·河南鄭州月考)如下圖，丈量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)能夠選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于( )A．56B．153C．52D．156D[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝CDsin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.]14．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40nmile的速度沿南偏東40°的方向直線(xiàn)航行，30分鐘后抵達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處察看燈塔，其方向是南偏東70°，在B處察看燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是( )A．102nmileB．103nmileC．203nmileD．202nmile[畫(huà)出表示圖如下圖，易知，在△中，＝20nmile，∠＝30°，∠＝45°，依據(jù)正弦定理得BCABCABCABACBsin30°ABsin45°，解得BC＝102nmile.]如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A．30°B．45°C．60°D．75°B[依題意可得＝2010，＝305，ADAC又＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠AC2＋AD2－CD2＝＝CDCAD2AC·AD5＋10－502＝6000＝2，又0°<∠<180°，所以∠＝45°，2×305×2010600022CADCAD所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.]6．輪船A和輪船B在正午12時(shí)同時(shí)走開(kāi)海港，兩船航行方向的夾角為120°，兩船C的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是__________nmile.70[設(shè)兩船之間的距離為d，則d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即兩船相距70nmile.]27．一船以每小時(shí)15km的速度向正東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)_________km.302[如下圖，依題意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60BMsin45°＝sin30°，解得BM＝302(km)．]8．(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀(guān)察到，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線(xiàn)勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車(chē)從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，則這輛汽車(chē)的速度為_(kāi)_________m/s(精準(zhǔn)到0.1)．參照數(shù)據(jù)：2≈1.414，5≈2.236.22．6[由題意可得AB＝200，AC＝1002，在△ABC中，由余弦定理可得22BC＝AB＋2510≈141.4×2.236，又歷時(shí)14s，所以速度為AC－2AB·AC·cos∠BAC＝10，則BC＝100BC14≈22.6m/s.]9．(2019·山西監(jiān)測(cè))如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個(gè)觀(guān)察站，點(diǎn)D在頂端．CD(1)原計(jì)劃CD為鉛垂線(xiàn)方向，α＝45°，求CD的長(zhǎng)；2(2)搭建達(dá)成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線(xiàn)方向有誤差，并測(cè)得β＝30°，α＝53°，求CD.(結(jié)3果精準(zhǔn)到1)(此題參照數(shù)據(jù)：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解(1)∵CD為鉛垂線(xiàn)方向，點(diǎn)D在頂端，∴CD⊥AB．又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°83°＝97°，∴由AD＝ABsinβ得sin∠ADB＝ABsinβ＝10sin30°＝5≈5.ADsin∠ADBsin97°sin97°222在△ACD中，CD＝AD＋AC－2AD·ACcosα52＋42－2×5×4×cos53°≈17.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100m和BN＝200m，一丈量車(chē)在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該丈量車(chē)向北偏西60°方向行駛了1003m后抵達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)丈量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．解在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，∴△PQM為等邊三角形，∴QM＝1003.222在Rt△AMQ中，由AQ＝AM＋QM，得AQ＝200.在Rt△中，tanθ＝2，＝200，∴＝1005，cosθ＝5.BNQBNBQ5222θ在△BQA中，BA＝BQ＋AQ－2BQ·AQcos＝(1005)2，∴＝1005.BA即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是1005m.4[B級(jí)能力提高訓(xùn)練]11．(2019·廣東廣州調(diào)研)如下圖長(zhǎng)為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tanα等于( )2315A．B．51623111C．16D．5[由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝2222＝1.422.82π.由余弦定理，可得AB＝AC＋BC－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.5＋－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝5α＝231sinα，所以sin，所以tanα＝cosα16162315.]12.(2019·湖北武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門(mén)預(yù)告，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向挪動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km之內(nèi)的地域都將遇到影響，則該碼頭將遇到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為( )A．14hB．15hC．16hD．17hB[記此刻熱帶風(fēng)暴中心的地點(diǎn)為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心抵達(dá)B點(diǎn)地點(diǎn)，在△OAB2222中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，依據(jù)余弦定理得OB＝600＋400t－2×20t×600×2，22，即4t22＋1575≤0，解得302－15t302＋15令≤450－120≤≤，所以該碼頭將OBt22遇到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為302＋15302－152－2＝15(h)．]13.(2018·福建泉州模擬)如圖，某住所小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)進(jìn)出口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小道CD．已知某人從O沿OD走到D5用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若這人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為_(kāi)_________m.7[如圖，連結(jié)OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得22＋1502°＝17500，OC＝100－2×100×150×cos60解得OC＝507.]14．如圖，航空丈量組的飛機(jī)航線(xiàn)和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛翔高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開(kāi)_________m.(取2＝1.4，3＝1.7)2650[如圖，作CD垂直于AB的延伸線(xiàn)于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．BCAB又在△ABC中，sinA＝sin∠ACB，21000BC12CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC2＝10500(6－2)×2＝10500(3－1)＝7350.6故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10000－7350＝2650(m)．]如下圖，在一條海防戒備線(xiàn)上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離分別為20km和50km.某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8s后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的流傳速度是1.5km/s.設(shè)A到P的距離為xkm，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；求靜止目標(biāo)P到海防戒備線(xiàn)AC的距離．解(1)依題意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△中，＝20，cos∠＝PA2＋AB2－PB2x2＋202－x－1223x＋32＝＝.PABABPAB2PA·AB2x·205x同理，在△PAC中，AC＝50，PA2＋AC2－PC2x2＋502－x225cos∠PAC＝＝＝.2PA·AC2x·50x由于cos∠PAB＝cos∠PAC，3x＋3225所以5x＝x，解得x＝31.25作PD⊥AC于點(diǎn)D，在△ADP中，由cos∠PAD＝31，21得sin∠PAD＝1－cos2∠PAD＝31，421所以PD＝PAsin∠PAD＝31×31＝421(km)．故靜止目標(biāo)P到海防戒備線(xiàn)AC的距離為421km.16．某高速公路旁邊B處有一棟樓房，某人在距地面100m的32樓露臺(tái)A處，用望遠(yuǎn)鏡觀(guān)察路上的車(chē)輛，上午11時(shí)測(cè)得一客車(chē)位于樓房北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，10s后測(cè)得該客車(chē)位于樓房北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處．(假定客車(chē)勻速行駛)7假如此高速路段限速80km/h，試問(wèn)該客車(chē)能否超速？又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，客車(chē)抵達(dá)樓房的正西方向E處，問(wèn)此時(shí)客車(chē)距離樓房多遠(yuǎn)？解(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝10