中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2023屆高三下學(xué)期3月測(cè)試數(shù)學(xué)試題及參考答案

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2023年3月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)z是純虛數(shù)，若是實(shí)數(shù)，則z的虛部為（）A.－3 B.－1 C.1 D.33.已知函數(shù)，則“函數(shù)是偶函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.5.若是9的倍數(shù)，則自然數(shù)n為（）A.4的倍數(shù) B.3的倍數(shù) C.奇數(shù) D.偶數(shù)6.現(xiàn)將0－9十個(gè)數(shù)字填入下方的金字塔中，要求每個(gè)數(shù)字都使用一次，第一行的數(shù)字中最大的數(shù)字為a，第二行的數(shù)字中最大的數(shù)字為b，第三行的數(shù)字中最大的數(shù)字為c，第四行的數(shù)字中最大的數(shù)字為d，則滿足的填法的概率為（）A. B. C. D.7.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成，連接.當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知且，若集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，，滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為110.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.的前10項(xiàng)和為11.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知，，的面積S滿足，點(diǎn)O為的外心，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.12.已知，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點(diǎn)M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為_(kāi)_____..14.已知為上的偶函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為_(kāi)_____.15.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求任意兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字之間至少有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字，則符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)有______個(gè).16.若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)k的最大值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）在數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，證明：.18.（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）設(shè)的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，若，求的面積的最小值.19.（12分）如圖所示，在三棱錐中，滿足，點(diǎn)M在CD上，且，為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的三等分點(diǎn)，且.（1）求證：面ABC；（2）若二面角的平面角的大小為，求直線EM與面ABD所成角的正弦值.20.（12分）為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)造力，學(xué)校打算開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)建?！边x修課，為了解學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！钡呐d趣度是否與性別有關(guān)，學(xué)校隨機(jī)抽取該校30名高中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中認(rèn)為感興趣的人數(shù)占70%.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！边x修課的興趣度與性別有關(guān)？感興趣不感興趣合計(jì)男生12女生5合計(jì)30（2）若感興趣的女生中恰有4名是高三學(xué)生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機(jī)選出3名進(jìn)行二次訪談，記選出高三女生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.（1）求雙曲線C的方程；（2）不平行于坐標(biāo)軸的直線l過(guò)F與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，PQ的中垂線交y軸于點(diǎn)T，問(wèn)是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（12分）設(shè).（1）求的單調(diào)性，并求在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求k的取值范圍.中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2023年3月測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.12345678ADBDCCAB二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)但不全的得2分，有錯(cuò)選的得0分.9101112ACBCDABDAD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.15.10816.1四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）（1）∵，∴，即.…………2分又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.…………5分（2）∵…………6分∴，設(shè)，則，兩式相減得：.…………9分從而，故.…………10分18.（12分）（1）由已知及正弦定理得：，又在中，.…………2分∴，即，又，∴.…………4分又，∴，即角B的大小為.…………5分（2）∵.…………6分BD是的角平分線，而，∴，即，∴.…………8分∵，∴，∵，∴，即.…………10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即的面積的最小值為.…………12分19.（12分）（1）在BE上取一點(diǎn)N，使得，連接FN，NM，∵，∴，，，∵，∴，則.…………2分∵面ABC，面ABC，∴面ABC，∵，∴.…………4分∵面ABC，面ABC，∴面ABC，∵，∴面面ABC，∵面FNM，∴面ABC.…………5分（2）∵，，所以二面角的平面角為.…………6分又∵，∴面AEC，∵面ABD，∴面面AEC，∵面面，過(guò)點(diǎn)C作，則面ABD，則.∵，∴，…………8分即C到面ABD的距離為，∵，∴M到面ABD的距離為.…………9分計(jì)算EM：，在中，，，∴.…………11分∴EM與面ABD所成角的正弦值為.…………12分（其他方法酌情給分）20.（12分）（1）列聯(lián)表如下：感興趣不感興趣合計(jì)男生12416女生9514合計(jì)21930…………2分，所以沒(méi)有85%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！边x修課的興趣度與性別有關(guān).…………5分（2）由題意可知X的取值可能為0，1，2，3，則，…………6分，…………7分，…………8分.…………9分故X的分布列為X0123P.…………12分21.（12分）（1）因?yàn)殡p曲線C以為漸近線，設(shè)雙曲線方程為，即.…………1分∵，∴，即：，∴，∴，即.…………3分所以雙曲線C的方程為：.…………4分（2）設(shè)直線l：，，，，化簡(jiǎn)得：.…………6分此方程的兩根為，，則，∴.…………8分PQ中點(diǎn)M坐標(biāo)為.…………9分∴PQ中垂線方程為：，令，∴，∴，則.…………11分∴.…………12分22.（12分）（1）令.……