高中數(shù)學(xué)選修45知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)/高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)選修4--5知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)①（對(duì)稱(chēng)性）abba②（傳達(dá)性）ab,bcac

v1.0可編寫(xiě)可更正（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）.③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（異向可減性）ab,cdacbd④（可積性）ab,c0acbcab,c0acbc

⑥若ab0,則若ab0,則⑦bbmaam

ba2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）bbaab2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）1ana，（其中bnb⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0acbd（異向正數(shù)可除性）ab0,0cdabcd⑥（平方法規(guī)）ab0anbn(nN,且n1)⑦（開(kāi)方法規(guī)）ab0nanb(nN,且n1)⑧（倒數(shù)法規(guī)）ab011;ab011abab2、幾個(gè)重要不等式①a2b22aba，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取""號(hào)）.變形公式：aba2b2.2②（基本不等式）ababa，bR,（當(dāng)2且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)）.a2變形公式：ab2ababb.2用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿(mǎn)足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式）abc3abc(a、b、cR)（當(dāng)且僅當(dāng)3bc時(shí)取到等號(hào)）.a2b2c2abbccaa，bR

ab0，m0，n0)規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧當(dāng)a0時(shí)，xax2a2xa或xa;xax2a2axa.⑨絕對(duì)值三角不等式ababab.3、幾個(gè)出名不等式①平均不等式：2ababa2b2，a,bR，a1b122（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取""號(hào)）.（即調(diào)停平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）.變形公式：ab2a2b2ab;22a2b2(ab)2.2②冪平均不等式：a12a22...an21(a1a2...an)2.n③二維形式的三角不等式：x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).④二維形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.1第1頁(yè)共4頁(yè)⑤三維形式的柯西不等式：(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.⑦向量形式的柯西不等式：設(shè),是兩個(gè)向量，則,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立.⑧排序不等式（排序原理）：設(shè)a1a2...an,b1b2...bn為兩組實(shí)數(shù).c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，則a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和亂序和序次和），當(dāng)且僅當(dāng)a1a2...an或b1b2...bn時(shí)，反序和等于序次和.⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有f(x1x2)f(x1)f(x2)或f(x1x2)f(x1)f(x2).2222則稱(chēng)f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、解析法；其他方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常有不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，如(a1)23(a1)2;242②將分子或分母放大（減小），

v1.0可編寫(xiě)可更正如11,11,k2k(k1)k2k(k1)22122kkkkk,k11k21(kN*,k1)等.kk5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：依照?qǐng)D象寫(xiě)出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫(xiě)出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x)0f(x)g(x)0g(x)“或”f(x)f(x)g(x)0（時(shí)同理）0g(x)g(x)0規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)變成整式不等式求解.8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)變成有理不等式求解f(x)0⑴f(x)a(a0)a2f(x)f(x)0⑵f(x)a(a0)f(x)a22第2頁(yè)共4頁(yè)⑶f(x)g(x)f(x)g(x)⑸f(x)g(x)

f(x)0或f(x)0g(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)0f(x)g(x)

v1.0可編寫(xiě)可更正③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)規(guī)律：要點(diǎn)是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段談?wù)撊ソ^對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)變成有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊解析求解.9、指數(shù)不等式的解法：⑴當(dāng)a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x)規(guī)律：依照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變.10、對(duì)數(shù)不等式的解法⑴當(dāng)a1時(shí),f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時(shí),f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)規(guī)律：依照對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變.11、含絕對(duì)值不等式的解法：a(a0)⑴定義法：a(a.a0)⑵平方法：f(x)g(x)f2(x)g2(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2bxc0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)談?wù)?，分?lèi)談?wù)摰臉?biāo)準(zhǔn)有：⑴談?wù)揳與0的大??；⑵談?wù)撆c0的大小；⑶談?wù)搩筛拇笮?14、恒成立問(wèn)題⑴不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;②當(dāng)a0時(shí)a00.⑵不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;②當(dāng)a0時(shí)a00.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;⑷f(wàn)(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.3第3頁(yè)共4頁(yè)15、線性規(guī)劃問(wèn)題⑴二元一次不等式所表示的平面地域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線AxByC0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入AxByC后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)質(zhì)判斷時(shí)，經(jīng)常只需在直線某一側(cè)任取一特別點(diǎn)(x0,y0)（如原點(diǎn)），由Ax0By0C的正負(fù)即可判斷出AxByC0(或0)表示直線哪一側(cè)的平面地域.即：直線定界線，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定地域，常選原點(diǎn).法二：依照AxByC0(或0)，觀察B的符號(hào)與不等式張口的符號(hào)，若同號(hào)，AxByC0(或0)表示直線上方的地域；若異號(hào)，則表示直線上方的地域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面地域：不等式組表示的平面地域是各個(gè)不等式所表示的平面地域的公共部分.⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)zAxBy(A,B為常數(shù)）的最值：法一：角點(diǎn)法：若是目標(biāo)函數(shù)zAxBy（x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共地域的界線角點(diǎn)處獲取，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，獲取一組對(duì)應(yīng)z值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值法二：畫(huà)——移——定——求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域；第二步，作直線l0:AxBy0，平移直線l0（據(jù)可行

v1.0可編寫(xiě)可更正域，將直線l0平行搬動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標(biāo)函數(shù)zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用z的幾何意義：yAxz,z為直線BBB的縱截距.①若B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z獲取最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z獲取最小值；②若B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy