高等工程數(shù)學(xué) 線性空間

高等工程數(shù)學(xué)課件線性空間第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4線性空間

設(shè)F是一個(gè)域，F(xiàn)上的加法和乘法運(yùn)算用通常的“+”和“.”表示，并且F的單位元用“1”表示。第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4.1線性空間的基本概念設(shè)V是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是一個(gè)域。在V上定義了一種代數(shù)運(yùn)算，稱為加法(addition)，記為“+”；定義了F與V到V的一種代數(shù)運(yùn)算，稱為數(shù)量乘法(scalarmultiplication)（簡(jiǎn)稱數(shù)乘），記為“·”。如果V按加法構(gòu)成交換群，并且數(shù)量乘法滿足如下規(guī)則：第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日其中k，m是F中的元素，α，β是V中的任意元素，則稱V為域F上的線性空間。第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日直接由定義2.4.1，可以證明線性空間的一些基本性質(zhì)。

線性空間V中按加法運(yùn)算的單位元稱為V的零元，記為“0”。

線性空間V中任一元素a按加法運(yùn)算的逆元稱為a的負(fù)元素，記為“－a”。利用負(fù)元素，定義線性空間V中的減法：第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)V是域F上的線性空間，則(1)V中零元素是唯一的；(2)V中任一元素α的負(fù)元素是唯一的；第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V是域F上的線性空間，是V中一組向量，是域F中的元素。如果V中向量α可表示為則稱α可由線性表示，或稱α是的線性組合(linearcombination)。第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)與是線性空間V中兩個(gè)向量組。如果中每個(gè)向量都可由向量組線性表示，則稱向量組可以由向量組線性表示。如果向量組與向量組可以互相線性表示，則稱向量組與向量組是等價(jià)的(equivalent)。向量組之間的等價(jià)是向量組之間的一種等價(jià)關(guān)系第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V是域F上的線性空間，是V中一組向量，如果存在r個(gè)不全為零的元素F，使得則稱線性相關(guān)(linearlydependent)；如果向量組不線性相關(guān)，則稱為線性無(wú)關(guān)(linearlyindependent)。第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)V為域F上的線性空間.(1)V中一個(gè)向量α線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)

α=0；(2)V中一組向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)V為域F上的線性空間，與是V中兩個(gè)向量組。如果可以經(jīng)線性表示，并且，則線性相關(guān)。兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量。第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是線性空間V中一組向量，如果中存在r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，并且中任一向量都可由向量組線性表示，則稱向量組為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組(maximallinearlyindependentsubset)，數(shù)r稱為向量組的秩(rank)，記為第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4.2子空間設(shè)W是域

F上線性空間V的非空子集,如果W對(duì)于V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成域F上的線性空間，則稱W為V的一個(gè)線性子空間(linearsubspace)(簡(jiǎn)稱子空間).域F上線性空間V的非空子集W是V的一個(gè)線性子空間當(dāng)且僅當(dāng)W對(duì)于V的兩種運(yùn)算封閉，即F,第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是域F上線性空間V的一組向量，這個(gè)向量組的所有線性組合作成的集合記為W，即W是V的非空子集，并且由定理2.4.4知W是V的子空間。稱W是由向量生成(或張成)的子空間，記為。例.第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V是域F上的線性空間，V中的一個(gè)線性無(wú)關(guān)且生成V的子集稱為V的基。線性空間V的基的基數(shù)稱為V的維數(shù)(dimension),記為dim(V)。除了零空間{0}之外，域F上線性空間V一定存在一組基。第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日由子空間的交與和的定義可知，子空間的交與和適合結(jié)合律和交換律?？啥x多個(gè)子空間的交與和，并且多個(gè)子空間的交與和仍是子空間。第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例.設(shè)則第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)，是域F上線性空間V的兩個(gè)子空間，如果和中每個(gè)向量α可唯一地表示成第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)，是域F上線性空間V的兩個(gè)子空間，則下面的敘述是等價(jià)的。第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)是域F上有限維線性空間V的一個(gè)子空間，則存在V的一個(gè)子空間，使得

設(shè)是域F上線性空間V的一個(gè)子空間，如果存在V的一個(gè)子空間，使得則對(duì)任意，可唯一地表示為則稱為沿到的投影。第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)是域F上線性空間V的s個(gè)子空間，如果和中每個(gè)向量α可唯一地表示成第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)是域F

上線性空間V的s個(gè)子空間，則下面的敘述是等價(jià)的。第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V與都是域F上的線性空間，如果存在V到的映射，滿足如下條件則稱為V到的同態(tài)映射或線性映射。2.4.3線性空間的同態(tài)與同構(gòu)如果存在線性空間V到的同態(tài)滿映射(雙映射)，則稱線性空間V與同態(tài)(同構(gòu))。第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是線性空間V到的線性映射,則(4)如果是V的一組線性相關(guān)向量，則是中線性相關(guān)的向量組；并且當(dāng)且僅當(dāng)是單映射時(shí)，V中線性無(wú)關(guān)向量組的像是中的線性無(wú)關(guān)向量組。第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V與是域F上的兩個(gè)線性空間，第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是線性空間V到的線性映射,則第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是域F上線性空間V到的同構(gòu)映射，則第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

域F上的n維線性空間V與同構(gòu)。設(shè)都是域F上的線性空間，如果

為V到的同構(gòu)映射，為

到的同構(gòu)映射，則

域F上的兩個(gè)有限維線性空間V與同構(gòu)的充分必要條件是它們的維數(shù)相同。第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V是域F上的線性空間，W是V的子空間。在V上定義一個(gè)關(guān)系“～”：則～是V中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。通常稱為一個(gè)W型的線性流形。2.4.4商空間第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日若域F上的線性方程組有解，則其解集合是一個(gè)線性流形，其中是Ax=b的一個(gè)解，Ker(A)是A的核。設(shè)W是域F上線性空間V的子空間，對(duì)定義則V/W按上面定義的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成域F上的線性空間。第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日定理2.4.21設(shè)是域F上線性空間V到的同態(tài)映射，則

與同構(gòu)。設(shè)是域F上線性空間V到的同態(tài)滿映射，則

與同構(gòu)。設(shè)W是域F上有限維線性空間V的子空間，則第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.5模

設(shè)R是一個(gè)具有單位元的環(huán)，R上的加法和乘法運(yùn)算用通常的“+”和“.”表示，并且R的單位元用“1”表示。第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.5.1模的基本概念設(shè)M是一個(gè)非空集合，R是一個(gè)具有單位元的環(huán)。在M上定義了一種代數(shù)運(yùn)算，稱為加法(addition)，記為“+”；定義了R與M到M的一種代數(shù)運(yùn)算，稱為數(shù)乘(scalarmultiplication)（簡(jiǎn)稱數(shù)乘），記為“·”。如果M按加法構(gòu)成交換群，并且數(shù)量乘法滿足如下規(guī)則：第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日其中k，m是R中的元素，α，β是M中的任意元素，則稱M為環(huán)R上的模(amoduleover

R)。第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

模M中按加法運(yùn)算的單位元稱為M的零元，記為“0”。

模M中任一元素a按加法運(yùn)算的逆元稱為a的負(fù)元素，記為“－a”。利用負(fù)元素，定義模M中的減法：第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)M是環(huán)R上的模，則(1)M中零元素是唯一的；(2)M中任一元素α的負(fù)元素是唯一的；直接由定義2.5.1，可證明模的一些基本性質(zhì)。第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)M是環(huán)R上的模，S是M的子集，如果對(duì)S中任意元素及R中元素，由可導(dǎo)出，則稱S是線性無(wú)關(guān)；如果子集S不是線性無(wú)關(guān)的，則稱子集S為線性相關(guān)。

類似地，可定義模M中元素的線性組合。第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.5.2子模設(shè)S是環(huán)R上模M的非空子集,如果S對(duì)于M的兩種運(yùn)算也構(gòu)成環(huán)R上的模，則稱S為M的一個(gè)子模.環(huán)R上模M的非空子集S是M的一個(gè)子模當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R上模R的一個(gè)子模就是環(huán)R的理想。第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)，是環(huán)R上模M的兩個(gè)子模，如果和中每個(gè)向量α可唯一地表示成第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)，是環(huán)R上模M的兩個(gè)子模，則下面的敘述是等價(jià)的。設(shè)S是環(huán)R上模M的子模，如果存在M的一個(gè)子模，使得，則稱為S在M中的補(bǔ)。第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)S是環(huán)R上模M的一個(gè)非空子集，S中元素的所有線性組合作成的集合記為span(S)

，即由定理2.5.2知，span(S)是M的子模。稱span(S)

為S生成的子模。設(shè)S是環(huán)R上模M的一個(gè)非空子集，如果M=span(S),則稱M是由S生成的。若環(huán)R上的模M由有限集生成,則稱M為有限生成模。第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)M是環(huán)R上的模，M中的一個(gè)線性無(wú)關(guān)且生成M的子集B稱為M的基。模M的基的基數(shù)稱為M的維數(shù)或M的秩,記為dim(M)或rank(M)。模M的子集B是一組基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)非零元素，B有唯一的子集及非零元素，使得第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日