線代第一節(jié)線性方程組行列式解法

第三 列第一節(jié)線性方程組的行列式第二節(jié)行列式的定義第三節(jié)行列式的性質(zhì)第四節(jié)行列式的展第六節(jié) 線性方程組的行列式用消元法解二元a11x1a12x2

aa21

a22

1a222a12

a11a22x1a12a22x2b1a22a12a21x1a12a22x2b2a12兩式相減消去x21a22 a11a22x1a12a22x2b1a222a12 a12a21x1a12a22x2b2a12（a11a22a12a21）x1b1a22類似地，消去x1（a11a22a12a21）x2a11b2

a12a210方程組的a a a2 a a

b1a22

，

a11b2

由方程組的四個(gè)系數(shù)確定a11x1a12x2aa21

a22

x b1a22

，

a11b2

aa a

a11a2222

D

a11a22a12a21xD1

D1 D D1

ab xD2

2D 2

二階行列式的計(jì) 對(duì) 副對(duì)角

a11a22a12a21其中aij(i,j12)稱為行列式的第i行第ji稱為行標(biāo)，j練習(xí)D

13解按對(duì) 則，D2331例1求解二元線性方3x1–2x2=2x1 x2=解 -D -

D1

=12–(– D2

=3–24=– =

=

=

=解三元線性方

a11x1a12x2a13x3 x x xb 3a31x1a32x2a33x3b3三階行列

對(duì)

D

a12a21a33a11a23a32解三元線性方a11x1a12x2a13x3 x x x

a31x1a32x2a33

D1

a23

D2

a23

xD1

xD2

xD3 法法例2計(jì)算三階行 - - - -解：D1×2(-2)+2×1×(-3)+(-4×(-21×1×42×(-2)×(-2)(-4)×=-4-6+32-4-8-24=-例3求解

= 解：方程左端的三階行D=3x2+4x+189x2x2=x25x+x25x60x2x說明對(duì) 則只適用于二階與三階行列式 行列式 ,2,",n}n個(gè)數(shù)的任一個(gè)有序數(shù)組,2,n)如(2,1,", 共n!種不同的排列,記為(i1i2,,in).140101420023140101420023(3421)23 n n2n

12"(nn(n2

1401014200140101420023

(3421)23結(jié)論:,2,n}n個(gè)數(shù)的全排列共有n!2

a11a22a12

a11a12a13a21a22a23a31a32

a11a23a32

說 2每項(xiàng)都是位于 不同列的三個(gè)元素的乘． 例如

列標(biāo)排列的逆序31211

偶排列 列標(biāo)排列的逆序13210

奇排列負(fù)號(hào)(( jja1(( jja1a2aj1j213

j1j2j3的逆

(jj

1 a1ja2

j1n階行列式的定定義由n2個(gè)數(shù)組成的n階行列式等于所有 不同列的n個(gè)元素的乘積的代

(

1pa2

a. a.記作D

"" "" an

# 數(shù)aij稱為行列式det(aij)的元素p1

"nτ為這個(gè)排列 D

""""""

1 1p1p2"pn1

a2

"a p1p2"說2n階行列n項(xiàng)的代數(shù)和3、n階行列式的每項(xiàng)都是位于不 列n個(gè)元素的乘積;4、一階行列式aa不要與絕對(duì)值記號(hào) 5a1

a2p"

的符號(hào)為1p1p2pn) 例1計(jì)算對(duì)角行0001002003004000解分 展開式中項(xiàng)的一般形式 a1pa2pa3

4a1

p1只能等于1從而這個(gè)項(xiàng)為同理可1

p23,p32,p4即行列式中不為零的項(xiàng)為a14a23a32 00010020030040001432110001002003004000例2計(jì)算上三角 a11a22"ann""""""

例 D

1 10004168aaa210004168aaa23420500

1458同理可得下三角

0"000"00"0""""""" an an a11a22"ann

例 證明對(duì)角行列1 " n12

nn1" 1 $nx1121x1121x132x1111已知f(x解:含x3項(xiàng)的有兩

求x3的系數(shù)

a11a22a33a44

xxx1xx1x32x3 行列式記""D#"%##"%#""性質(zhì)

D#

%

#

DT

#

%

#

DD說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列ri cic例 2 8

2 2 推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則證明互換相同的兩D D性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以k，等于用數(shù)k乘此行列式. """""" """""" kai

k

ai

""""""

""""""

ri ci

注意與矩陣數(shù)乘 證""""""""""""""ai"ai"""""""""""""kai"ai"""""""""""""""4 4

)1)11511(2)(2)

(2)(2)5 55 55 20

20(2)數(shù)之

a 例 D

(a2ia2i)

#

(aniani

則D等于下列兩 D

注意與矩陣加法的區(qū)aAcd a cb C aAcCcC

cdC

見P37例 c d c 性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以"" """" """"""aj2 """""" """"""""""aj1 aj2"ajn"""""a2a2#ani"""a21 ##

a1a2a1a2#anj# anna1ja1ja2j#anj cikc

""

a2

""

1j

"

2

"

0

兩行（列），為rirj i行（列）提出公因ki（列）乘k，記rik(cik)將行列式的i行（列）乘加到第j（列）上，記rikrj(或cikcj．021022020210220211002102102102120200220 D021022002102202

213 4 4 04 000 120231120231211001 2501r2(3)10—1 501 1r200 0 r1原式 r1(2)r3

r34

0

(上三角 行列式的式與代 a a aa a11a22a33a12a23a31aa

aa

aa

a11a22a33a23a32a12a23a31a21a33a13a21a32a22a31

11

在n階行列式中，把元素aij所在的i行和j列劃去后，留下n1階行列式叫做元素aij的式，Mij.記

Mij叫做元

ij的代 式例

D

M23

123M

M23

D

24

M12

a34

112M12 M44

,

144

M44 行列式的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一 式和個(gè)代 式例Da21

D1 1 0 1 130214式及代 式

a22 式及代 式M22

(1)22

行列式按行（列）n階行列式等于它的任一(列)的各元素 乘積之和．即

a1a2a1a2""" """""""" D=ai1Ai1+ aij +…+ain

i1,2,"Da1j

a2jA2

"anj

j1,2,"例 計(jì)算行列

D 按第一行展開，D3

5

3

按第二行展D1 3 例 求行列 D

r1(1)r15

16

1

c22

2

c2

2

40.

a31A31+a32A32+a33A33

定理.行列式的某一行(列)元素與其對(duì)應(yīng)的 a11A31+a12A32+a13A33= =0. 推論.行列式的某一行(列)元素與另一行(列 對(duì)應(yīng)元素的代 式乘積之和為零代 式的重要性定理行列式的某一行(列)元素與對(duì)應(yīng)行(列)的 推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列） ai1

Aj1

ai2Aj2"ain

i iaAa "aA i 1 2 iai1Aj1ai2Aj

"ain ija11a12 "ai1ai2 " ai1 ij"

第j

an1an2 Aj1ai Aj

ajnAjn見書P44例例4.設(shè)四階行列式D

a 求

A44.1 1 1 1 44解

1b

0

例

第四行各元 式之和為 分析以Mij表示D中元素aij 式，則M41M42M43 A41A42A43

27

214

128

行列式基本方法對(duì) 則（二階、三階行列式按某一行（或列）轉(zhuǎn)化為三角行列式計(jì)算；見書P37例abb"b例n階行Dbbabba""bb"""""bbb"a解將第23n列都加到第一anan1bb"ban1an1abba""bb"an1b"b"aan1bbb"ban1bab"ban1bba" 1bb"b1ab"b1"b"a"b1bb"aa1bb"b1ab"b1"b"a"b1bb"aa(na(n

r1(1)

i2,3,"0ab a(na(n

0ab " a(a

書P37例100"例100"例計(jì)11"110"0Dn10"0(ai0,i1,2,,n)"""""11"1 11"1 Dn

0

0,i1,2,",n)分析

n1第j列乘(-1)分別加到第n1a1

a Dn

i na1ni0Dn "

ai 0"

(a )a

a3 ii in(a1n

1) i

i書P41例D

##""""##

#

D1det(aij)

,D2det(bij)

#證 D證D1作運(yùn)rikrjD1化為下三角設(shè)為D1

p11 pkk D2作運(yùn)算cikcj,D2化為下三角形設(shè)為D2

q11"qnn D的前k行作rikrjn列作運(yùn)cikcj,D化為下三角形行列式##""#%"#pk##%" Dp11 pkkq11"qnnD1D2例如計(jì)算行 D6

1110001110002340003111101114112311491110001110002340002340003101111131011111r 1491001010141123411231149

i1

322 16 用降 Dn# y"0y"00x#"0#x0#y0"0"0x0Dn0y

分析按第1列展開xy"00y0"000#x#"0#0#yx#y#"0#0#00"xy00"y000"0xn00"xynxxn1 xn(1)n1用遞書P51 例書P53例用拆例a a

ab2 D bc2c

b c

(abcdd d a2b2c2d21aa2b2c2d21a1b1c1da a

b c d 1

b

a b 1 1 1 cc ccc d

d 1a11b11c111dccc1a11b11c111dcccccc ab

b1 1 1 c c1c1 abc

da a b b c c d d 41bbb a 1bbb1ccc a2b2c2d1ccc

(abcd d d利用

Dn

x1x#xx1

x"2x" x"x"2

xnx#xxn

(xixj1ji例D3

(xixj1ji(x3x2)(x3x1)

例 D

xj

1ji(x4x3)(x42)(4x1)(x3x2)(x3x1)(x2利用 德行列式計(jì)例計(jì)11"12"3"3n""""n"

xxx2"22 xxx2"22Dn

3n

Dn

23

"

n 1ji

(xixjnn

"1 "1 " "" "[n(n1)][n(n2)] "(n[(n1)(n2)] (n2)[(n2)(n (n"

(xixj

(n(n2)!(n3)!"(2 1!n!(n1)!(n2)!"2行列式對(duì) 則（二階、三階行列式按某一行（或列） 一 法如果線性方a11x1a12x2"a1nxn " """""""""""

an2x2"annxn

的系數(shù)行列式不等于零，即D

a2n"""""" an xD1,xD2,xD3,", Dn 其中Dj是把系數(shù)行D中第j列的元素用方程a11"a1,j a1,j1"a1

""""""""""an1"an, an,j1"an法則包含著三個(gè)結(jié)方程組解是唯一解可以 給二、結(jié)論1如果線性方程組的系數(shù)行列式D1一定有解,且解是唯一的結(jié)論2如果線性方程組1無解或有兩個(gè)不同的非齊次與齊次線性方a11x1a12x2"a1nxn x x" 設(shè)線性方

"""""""""""an1x1an2x2"annxn若常數(shù)項(xiàng)b1,b2,",bn不全為零, 非齊次線性方程組;若常數(shù)項(xiàng)b1,b2,",bn全為零,齊次線性方程組的相關(guān)a11x1a12

"a1n a x x" 2 """""""""""

"ann 定 如果齊次線性方程組2的系數(shù)行列D0則齊2沒有（只有零解 系數(shù)行列式D (Da11x1a12x2"a1nxna x x" """""""""""an1x1an2x2"annxn有非零解

（只有零解書例 法則解方程 2x1