2023年四川省高考數(shù)學(xué)試卷-理科-解析

2023年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為（）A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix43．（5分）（2023?自貢校級(jí)模擬）為了得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度4．（5分）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）（2023?四川）某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2023年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2023年 B．2023年 C．2023年 D．2023年6．（5分）秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：實(shí)數(shù)x，y滿足，則p是q的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）A． B． C． D．19．（5分）（2023?四川）設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）=圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）10．（5分）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==，?=?=?=﹣2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則||2的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）（2023秋?南開(kāi)區(qū)期末）﹣=．12．（5分）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是．13．（5分）已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是．14．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=4x，則f（﹣）+f（1）=．15．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′（，）；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)“為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”．現(xiàn)有下列命題：①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．其中的真命題是（寫出所有真命題的序列）．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（12分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中a的值；（Ⅱ）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由．17．（12分）（2023?四川）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且+=．（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°．（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線x2﹣=1的離心率為en，且e2=，證明：e1+e2+???+en＞．20．（13分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．21．（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．2023年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合思想；定義法；集合．【分析】由A與Z，求出兩集合的交集，即可作出判斷．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，則A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為（）A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix4【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理．【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為x4?i2=﹣15x4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，深刻理解二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是迅速作答的關(guān)鍵，屬于中檔題．3．（5分）（2023?自貢校級(jí)模擬）為了得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的圖象，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．24 B．48 C．60 D．72【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；方程思想；綜合法；排列組合．【分析】用1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，可以看作是填5個(gè)空，要求個(gè)位是奇數(shù)，其它位置無(wú)條件限制，因此先從3個(gè)奇數(shù)中任選1個(gè)填入，其它4個(gè)數(shù)在4個(gè)位置上全排列即可．【解答】解：要組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位只能排1，3，5中的一個(gè)數(shù)，共有3種排法，然后還剩4個(gè)數(shù)，剩余的4個(gè)數(shù)可以在十位到萬(wàn)位4個(gè)位置上全排列，共有=24種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，由1、2、3、4、5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有3×24=72個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，此題是有條件限制排列，解答的關(guān)鍵是做到合理的分布，是基礎(chǔ)題．5．（5分）（2023?四川）某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2023年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2023年 B．2023年 C．2023年 D．2023年【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】設(shè)第n年開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，可得130×（1+12%）n﹣2023＞200，兩邊取對(duì)數(shù)即可得出．【解答】解：設(shè)第n年開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，則130×（1+12%）n﹣2023＞200，化為：（n﹣2023）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2023＞=3.8．取n=2023．因此開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2023年．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6．（5分）秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（）A．9 B．18 C．20 D．35【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】計(jì)算題；圖表型；試驗(yàn)法；算法和程序框圖．【分析】由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的i，v的值，當(dāng)i=﹣1時(shí)，不滿足條件i≥0，跳出循環(huán)，輸出v的值為18．【解答】解：初始值n=3，x=2，程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示：v=1i=2v=1×2+2=4i=1v=4×2+1=9i=0v=9×2+0=18i=﹣1跳出循環(huán)，輸出v的值為18．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的i，v的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：實(shí)數(shù)x，y滿足，則p是q的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】畫出p，q表示的平面區(qū)域，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）為圓心，以為半徑的圓內(nèi)區(qū)域（包括邊界）；滿足的可行域如圖有陰影部分所示，故p是q的必要不充分條件，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)是線性規(guī)劃的應(yīng)用，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，充要條件，難度中檔．8．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）A． B． C． D．1【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】方程思想；分析法；不等式的解法及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意可得F（，0），設(shè)P（，y0），要求kOM的最大值，設(shè)y0＞0，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算可得=+=（+，），再由直線的斜率公式，結(jié)合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由題意可得F（，0），設(shè)P（，y0），顯然當(dāng)y0＜0，kOM＜0；當(dāng)y0＞0，kOM＞0．要求kOM的最大值，設(shè)y0＞0，則=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得kOM==≤=，當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2，取得等號(hào)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程及運(yùn)用，考查直線的斜率的最大值，注意運(yùn)用基本不等式和向量的加減運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．（5分）（2023?四川）設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）=圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】設(shè)出點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)，求出原分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到直線l1與l2的斜率，由兩直線垂直求得P1，P2的橫坐標(biāo)的乘積為1，再分別寫出兩直線的點(diǎn)斜式方程，求得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到|AB|，聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標(biāo)，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍．【解答】解：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=，∴l(xiāng)1的斜率，l2的斜率，∵l1與l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直線l1：，l2：．取x=0分別得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=，∴|AB|?|xP|==．∵函數(shù)y=x+在（0，1）上為減函數(shù)，且0＜x1＜1，∴，則，∴．∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．10．（5分）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==，?=?=?=﹣2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則||2的最大值是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由==，可得D為△ABC的外心，又?=?=?，可得可得D為△ABC的垂心，則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．運(yùn)用向量的數(shù)量積定義可得△ABC的邊長(zhǎng)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，求得B，C的坐標(biāo)，再設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可得BM的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D為△ABC的外心，又?=?=?，可得?（﹣）=0，?（﹣）=0，即?=?=0，即有⊥，⊥，可得D為△ABC的垂心，則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．由?=﹣2，即有||?||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的邊長(zhǎng)為4cos30°=2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M為PC的中點(diǎn)，即有M（，），則||2=（3﹣）2+（+）2=+==，當(dāng)sin（θ﹣）=1，即θ=時(shí)，取得最大值，且為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的定義和性質(zhì)，以及模的最值的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）（2023秋?南開(kāi)區(qū)期末）﹣=．【考點(diǎn)】二倍角的余弦．【專題】計(jì)算題．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．12．（5分）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由對(duì)立事件概率計(jì)算公式求出這次試驗(yàn)成功的概率，從而得到在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X～B（2，），由此能求出在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值E（X）．【解答】解：∵同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，∴這次試驗(yàn)成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X～B（2，），∴在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值E（X）==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．13．（5分）已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是．【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】由已知結(jié)合給定的三棱錐的正視圖，可得：三棱錐的底面是底為2，高為1，棱錐的高為1，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，結(jié)合給定的三棱錐的正視圖，可得：三棱錐的底面是底為2，高為1，棱錐的高為1，故棱錐的體積V=×（×2×1）×1=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．14．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=4x，則f（﹣）+f（1）=﹣2．【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)f（x）是周期為2的奇函數(shù)即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（），利用當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=4x，求出f（﹣），再求出f（1），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）時(shí)，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案為：﹣2【點(diǎn)評(píng)】考查周期函數(shù)的定義，奇函數(shù)的定義，學(xué)會(huì)這種將自變量的值轉(zhuǎn)化到函數(shù)解析式f（x）所在區(qū)間上的方法．15．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′（，）；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)“為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”．現(xiàn)有下列命題：①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．其中的真命題是②③（寫出所有真命題的序列）．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】利用新定義，對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①若點(diǎn)A（x，y）的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′（，），則點(diǎn)A′（，）的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)（﹣x，﹣y），故不正確；②由①可知，單位圓的“伴隨曲線”是它自身，故正確；③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，﹣y），“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′（﹣，），則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱，故正確；④設(shè)直線方程為y=kx+b（b≠0），點(diǎn)A（x，y）的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′（m，n），則∵點(diǎn)A（x，y）的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圓，故不正確．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】此題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（12分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中a的值；（Ⅱ）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；圖表型；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)各組的累積頻率為1，構(gòu)造方程，可得a值；（Ⅱ）由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進(jìn)而可估算出月均用水量不低于3噸的人數(shù)；（Ⅱ）由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進(jìn)而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)約為3.6萬(wàn)；（Ⅱ）由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率為：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3噸的頻率為：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；則x=2.5+0.5×=2.9噸【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．17．（12分）（2023?四川）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且+=．（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；解三角形．【分析】（Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可．【解答】（Ⅰ）證明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°．（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（I）延長(zhǎng)AB交直線CD于點(diǎn)M，由點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．利用線面平行的判定定理證明得直線CM∥平面PBE即可．（II）如圖所示，由∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．PA=AD．不妨設(shè)AD=2，則BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性質(zhì)、向量夾角公式、線面角計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（I）延長(zhǎng)AB交直線CD于點(diǎn)M，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M(jìn)∈AB，AB?平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB內(nèi)可以找到一點(diǎn)M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE．（II）如圖所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．∴PA=AD．不妨設(shè)AD=2，則BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），設(shè)平面PCE的法向量為=（x，y，z），則，可得：．令y=2，則x=2，z=1，∴=（2，2，1）．設(shè)直線PA與平面PCE所成角為θ，則sinθ====．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角計(jì)算公式、法向量的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19．（12分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線x2﹣=1的離心率為en，且e2=，證明：e1+e2+???+en＞．【考點(diǎn)】數(shù)列與解析幾何的綜合；數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得數(shù)列{an}為首項(xiàng)等于1、公比為q的等比數(shù)列，再根據(jù)2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列求得公比q的值，可得{an}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）利用雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)求得en=，根據(jù)e2==，求得q的值，可得{an}的解析式，再利用放縮法可得∴en=＞，從而證得不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn+1=qSn+1①，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=qSn﹣1+1②，兩式相加你可得an+1=q?an，即從第二項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q．當(dāng)n=1時(shí)，∵數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，∴a1+a2=S2=q?a1+1，∴a2=q=a1?q，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q．∵2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或q=﹣．根據(jù)q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）證明：設(shè)雙曲線x2﹣=1的離心率為en，∴en==．由于數(shù)列{an}為首項(xiàng)等于1、公比為q的等比數(shù)列，∴e2===，q=，∴an=，∴en==＞=．∴e1+e2+???+en＞1+++…+==，原不等式得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，用放縮法進(jìn)行數(shù)列求和，數(shù)曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于難題．20．（13分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的短軸端點(diǎn)C與左右焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成等腰直角三角形，結(jié)合直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，利用判別式△=0，即可求出橢圓E的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)l′∥OT寫出l′的參數(shù)方程，代人橢圓E的方程中，整理得出方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|?|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)短軸一端點(diǎn)為C（0，b），左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c＞0，則c2+b2=a2；由題意，△F1F2C為直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴橢圓E的方程為+=1；代人直線l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴橢圓E的方程為+=1；由b2=3，解得x=2，則y=﹣x+3=1，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，1）；（Ⅱ）設(shè)P（