函數(shù)模型及應(yīng)用

函數(shù)模型及應(yīng)用第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三基礎(chǔ)自查1．三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而不同函數(shù)性質(zhì)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三2.常用的幾類函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)；

(2)反比例函數(shù)模型f(x)＝＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)；

(3)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)；

(4)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝a·bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)；

(5)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數(shù)，m≠0，a＞0，a≠1)；

(6)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠1)．第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三聯(lián)動思考議一議：以上三種函數(shù)都是單調(diào)增函數(shù)，它們的增長速度相同嗎？在(0，＋∞)上隨著x的增大，三種函數(shù)的函數(shù)值間有什么關(guān)系？答案：三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，＋∞)上，總會存在一個x0，使x＞x0時有ax＞xn＞logax.第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三聯(lián)動體驗1．一等腰三角形的周長是20，底邊y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，它的解析式為(

)A．y＝20－20x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)

答案：D第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三3．在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y噸與單價x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如果購買1000噸，每噸為800元；購買2000噸，每噸為700元；一客戶購買

400噸，單價應(yīng)該是(

)A．820元 B．840元 C．860元 D．880元解析：依題意，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，由x＝800，y＝1000及x＝700，y＝2000，可得k＝－10，b＝9000，即y＝－10x＋9000，將y＝400代入得x＝860.

答案：C第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三4．(2010·泰安模擬)設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a＞0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為(

)解析：注意到y(tǒng)為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為D.答案：D第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三考向一一次、二次函數(shù)模型應(yīng)用【例1】

某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①所示，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②所示(注：利潤與投資單位：萬元)．第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1．比例關(guān)系：變量y與x成正比例，可表示為y＝kx(k≠0)．2．換元法：本例第2問通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，使問題簡化，但應(yīng)注意新的變元的取值范圍，即注意轉(zhuǎn)化的等價性．第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三遷移發(fā)散第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三考向二分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】

某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完，公司對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②

(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系．第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．2．構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理不重不漏．第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三考向三指數(shù)函數(shù)模型與冪函數(shù)模型

【例3】

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：

(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)計算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)；

(4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年自然增長率應(yīng)該控制在多少？

(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.1