7-7 空間幾何的外接球（精練）（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.7空間幾何的外接球（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一漢堡模型1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得設(shè)四棱柱的高為，則，解得故選：C2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面圓的半徑為R，高為2R，所以，解得：，則球的體積為故選：A3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，平面SBC，，，，則該三棱錐外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，將三棱錐補(bǔ)成以AC為側(cè)棱的直棱柱，設(shè)△BCS外接圓圓心為，半徑為r，設(shè)△ADE外接圓圓心為，連接，，，取的中點(diǎn)O，則點(diǎn)O為三棱錐外接球球心，連接CO，設(shè)該三棱錐外接球半徑為R，在△BCS中，，所以.在中，，所以該三棱錐外接球體積為，故選：B.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面，，知三棱錐可補(bǔ)形為以，為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則，所以．故選：A5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．若一個(gè)“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形．則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下圖所示：在三棱錐中，平面，且，，因?yàn)槠矫?，、、平面，則，，，，，平面，平面，，所以，三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，且，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，因此，球的表面積為.故選：A.題組二題組二墻角模型1．（2022·沈陽(yáng)市）（多選）一棱長(zhǎng)等于1且體積為1的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設(shè)長(zhǎng)方體未知的兩棱長(zhǎng)分別為，則，，設(shè)外接球半徑為，則，球體積為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：BCD．2．（2022·黑龍江）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，1，其頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，1，所以長(zhǎng)方體的外接球的直徑，故長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：3．（2022·貴溪市）棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球體積為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖，棱長(zhǎng)為的正四面體可以嵌入到棱長(zhǎng)為的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.設(shè)立方體的外接球半徑為，則，所以立方體外接球的體積.故正四面體的外接球體積為.故答案為：4．（2022·云南）在三棱錐中，已知，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為【答案】【解析】以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體被平面ABC所截的三棱錐符合要求，如圖：長(zhǎng)方體與三棱錐有相同外接球，其外接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為，則，則所求表面積.5．（2022·吉林長(zhǎng)春市）已知正四棱柱(底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則其外接球的表面積為【答案】【解析】正四棱柱即長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為，因此其外接球的半徑為，則其表面積為，故選:B.6．（2022·河南）在四面體中，平面，三內(nèi)角，，成等差數(shù)列，，，則該四面體的外接球的表面積為【答案】【解析】由題意，內(nèi)角成等差數(shù)列，可得,因?yàn)?，可得，即，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以，所以該四面體的外接球與該長(zhǎng)方體的外接球是相同的，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于其外接球的直徑，可得，解得，所以該四面體的外接球的表面積為.題組三題組三斗笠模型1．（2022·黑龍江）某圓錐的側(cè)面展開(kāi)后，是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)為，再設(shè)圓錐的底面圓半徑為，可得，即，圓錐的高為，設(shè)圓錐外接球的半徑為，則，解得．圓錐的體積為，圓錐外接球的體積，∴該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為．故選：C．2．（2022廣西）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，則球O的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，設(shè)球半徑為，則，，所以，如圖1，，即，解得，不符合題意，當(dāng)為如圖2時(shí)，即，解得，所以球表面積為．故選：A．3．（2022·寧夏銀川市）已知一個(gè)圓錐的底面圓面積為，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，圓錐的外接球半徑為，則，可得，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則，可得，，由圓錐的幾何特征可知，圓錐的外接球心在圓錐的軸上，所以，，解得,因此，該圓錐的外接球的表面積為.故選：B.4．（2022·河南）一圓臺(tái)的兩底面半徑分別為，高為，則該圓臺(tái)外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)該圓臺(tái)的外接球的球心為，半徑為，則或，解得，所以該圓臺(tái)的外接球的表面積為.故選：C.5．（2022·浙江）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐母線為，底面半徑為，則，解得，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，設(shè)球半徑為，，，，，所以球表面積為．故選：A．題組四題組四L模型1．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)）已知三棱錐中，平面平面，且，，若，則三棱錐外接球的表面積為（

）A．64π B．128π C．40π D．80π【答案】D【解析】由題意得，平面，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，如圖，則三棱柱的外接球即為所求.設(shè)外接球的球心為，則的外心為，則，又，則外接球的半徑，表面積，故選：D2．（2022·吉林·洮南市第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：因?yàn)?，所以為的外接圓圓心，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以三棱錐的外接球球心在直線上.在上取一點(diǎn)，使得，即為三棱錐的外接球球心，設(shè)，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，O為外接圓的圓心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D為AB的中點(diǎn)，∴，∴，∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積.故答案為：.4．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則外接圓圓心在DE上，且，解得，設(shè)三棱錐外接球球心為O，連接，，過(guò)作，垂足為，由平面平面，得，故四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，且，所以，設(shè)三棱錐外接球半徑為R，有，又，所以，解得，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：D.5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，為直角三角形，故在三棱維的外接球的一個(gè)切面圓上，為該圓直徑；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面內(nèi)，又，故為等腰三角形，球心O在BD邊中線所在直線上，點(diǎn)到線段的距離為，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，則外接球的表面積為.故選：C.6．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測(cè)（理））