現(xiàn)代信號處理第5章課件

現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽張西寧

西

安

交

通

大

學

4/2/20231第五章非平穩(wěn)信號處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號及其組合，但不能恰當?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號的特征。

許多隨機過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號、沖擊響應信號、機組啟、停機信號等。必須尋找既能夠反映時域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號分析方法的原理、特點及其在工程中的應用。4/2/20232機械工程學院機自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應用

4/2/20233機械工程學院機自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)，通過內(nèi)積運算去變換信號，得到其頻譜。(5.1.1)這一變換建立了一個從時域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f)顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t)中任一正弦頻率f的總強度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f有關(guān)，而與時間t無關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機過程是平穩(wěn)的.

1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱為短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform,STFT）。

4/2/20235機械工程學院機自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換由加窗信號的傅里葉變換產(chǎn)生短時傅里葉變換。(5.1.2)

是中心位于，高度為

1、寬度有限的時窗函數(shù)，通過所觀察到的信號的部分是。是

STFT的基函數(shù)。

tx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ014/2/20236機械工程學院機自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換

窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。

(5.1.3)

高斯窗函數(shù)的形狀是：

1，1/4，1/16

4/2/20237機械工程學院機自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換時間分辨率和頻率分辨率不可能同時任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當且僅當采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個時頻平面上的時頻分辨率保持不變。短時傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動態(tài)信號，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準平穩(wěn)(quasi-stationary)信號。反映信號高頻成份需要用窄時窗，而反映信號低頻成份需要用寬時窗。短時傅里葉變換不能同時滿足這些要求。4/2/20239機械工程學院機自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換

5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應用

4/2/202310機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號分析展示了美好的前景。“小波”就是小的波形。所謂“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。

1910年A.Haar提出的規(guī)范正交系

1984年，J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時引進了小波概念。

1986年，Y.Meyer構(gòu)造出二進伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。

1987年，S.G.Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。

1988年，I.Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。

1989到1991年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。

1997年，W.Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個世紀，特別是近二十年來，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進。為信號處理領(lǐng)域里各自獨立開發(fā)的方法建立了一個統(tǒng)一的框架4/2/202311機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換對信號進行小波變換相當于通過小波的尺度因子和時移因子變化去觀察信號。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應窗的性質(zhì)。

尺度時寬減小（頻寬增大）時寬增大（頻寬減小）t平移bcc′d′da4/2/202313機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)通過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子的改變，通過一個恒定的濾波器觀察到被伸展或壓縮了的信號波形。尺度因子解釋了信號在變換過程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號的總體，用小尺度可觀察信號的細節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S.G.Mallat的小波信號分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。4/2/202314機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：(5.2.4)優(yōu)點是在不同尺度下可以保持各的頻譜中幅頻特性大小一致。因為

設(shè)的傅里葉變換是，則的傅里葉變換是與相比，只有頻率坐標比例變化，幅度沒有變化。

參見p48性質(zhì)(4)

4/2/202315機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換當機器發(fā)生故障時，信號所包含機器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實現(xiàn)故障的早期診斷問題，往往使傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)無能為力。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號在不同頻帶、不同時刻的合理分離。這種分離相當于同時使用一個低通濾波器和若干個帶通濾波器而不丟失任何原始信息。為機器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強調(diào)，這些優(yōu)點來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。4/2/202317機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義在平方可積實數(shù)空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間，（代表分辨率為的多分辨分析子空間）是在中的正交補空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1)一致單調(diào)性：

(5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為的子空間中的逼近信號包含了分辨率為的子空間的信息以及分辨率低于的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。2)漸近完全性：(5.2.8)性質(zhì)2)表明所有子空間組成函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號就更接近原始信號；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號所包含的信息就越來越少。因此，在以分辨率為時得到的逼近信號與原始信號相比較，將會丟失部分信息。4/2/202318機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義3)伸縮規(guī)則性：

(5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個基本空間通過尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時，逼近運算相同。4)平移不變性：(5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號在時間上平移，信號仍在該子空間，分辨率不變。5)正交補全性：(5.2.11)

符號表示“正交和”。是尺度函數(shù)空間，是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即⊥。，尺度函數(shù)與小波函數(shù)正交,內(nèi)積(5.2.13)反復使用式(5.2.11)和關(guān)系⊥，得到小波逼近空間表達式(5.2.13)4/2/202319機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間和細節(jié)空間的頻帶范圍。設(shè)空間中信號屬于子空間，的頻譜區(qū)間為,則…

…

…

…

…

…

小波變換的多分辨分析將信號分解到互相銜接的頻帶和中。選定或子空間中的分解信號，相當于獲得了濃縮的故障診斷信息，具有理想的工程實用價值。

4/2/202321機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取在機械動態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨立，即希望小波函數(shù)是一個Riesz基。由于正交性能夠保證獨立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)是正交基。定義5.2.1（正交小波）定理5.2.1（標準正交基和尺度函數(shù)）定理5.2.2

（由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)）

4/2/202322機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取從包容關(guān)系，有，所以可以利用子空間的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為。由于，小波基函數(shù)，這一包容關(guān)系表明可以用中的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)4/2/202323機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取序列,稱為正交鏡像濾波器(Quadrature

Mirror

Filters，QMF)，有,。和是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時濾波器和必須滿足以上三個條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。4/2/202325機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取小波系數(shù)與尺度系數(shù)之間的關(guān)系由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到

(5.2.30)

由上式及(5.2.26)可得到兩個濾波器系數(shù)之間的關(guān)系

(5.2.31)比較最后兩個等式兩邊的系數(shù)，可以得到(5.2.32)

若是實序列，共軛符號省略。

4/2/202326機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取有了低通、帶通濾波序列和，就能方便地通過小波變換進行信息獨立化提取。設(shè)是多分辨向量空間中的線性投影算子，以分辨率逼近能量有限可測信號。與最相似。由于，得到唯一的表達式(5.2.36)

稱為逼近信號，是分辨率為的細節(jié)信號，它包含和之間的信息差。重復式(5.2.36)過程，可得(5.2.37)4/2/202329機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取設(shè)離散采樣信號為，，數(shù)據(jù)長度為，其分辨率是，將信號表示為。得到相應的分解表達式(5.2.43)

Mallat在文獻[13]里給出的實系數(shù)值，式(5.2.43)可寫成

(5.2.44)

和是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長度分別是信號的數(shù)據(jù)之半。信號重構(gòu)表達式為(5.2.45)4/2/202330機械工程學院機自所動態(tài)室1.1內(nèi)積變換原理

函數(shù)，的內(nèi)積定義

信號的傅里葉變換信號的小波變換1信號處理的內(nèi)積與基函數(shù)

4/2/202331機械工程學院機自所動態(tài)室小波變換的逼近信號和細節(jié)信號為

為尺度函數(shù)；為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系:

和分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2小波變換的內(nèi)積運算

4/2/202332機械工程學院機自所動態(tài)室小波變換的分解表達式

基函數(shù)分解關(guān)系小波變換的重構(gòu)表達式4/2/202333機械工程學院機自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù)和小波函數(shù),直接運用和參與運算，運算量正比于。每次分解所得到的逼近信號和細節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號數(shù)據(jù)長度的一半。當次分解后，逼近信號和細節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號數(shù)據(jù)長度的。在重構(gòu)計算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號分解到各自獨立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測診斷信息。4/2/202334機械工程學院機自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應用

4/2/202335機械工程學院機自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號的分解都是對低頻逼近信號進行再分解，不再對高頻細節(jié)信號進行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號的時間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號的時間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(waveletpacket)提高高頻頻帶信號的頻率分辨率。信號的小波分解信號的小波包分解

4/2/202336機械工程學院機自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測設(shè)序列滿足(5.3.1)

現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù),n=1,

，它們由尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生，有關(guān)系

和(5.3.2)式中，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當時，上式的和分別對應于和。定義5.3.1

由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列稱為由基函數(shù)確定的小波包。4/2/202337機械工程學院機自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測根據(jù)多分辨分析關(guān)系，用代替，得到小波包子空間中的分解關(guān)系(5.3.13)

小波包對小波子空間進行逐步分解，令n=1,2,…；j=1,2,…，得到如下的分解表示

………(5.3.14)………

的分解可用來表示，分解信號為

，

m=0,1,2,4/2/202338機械工程學院機自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解是正交分解，能量守衡，有如下關(guān)系(5.3.18)這里表示信號的能量。數(shù)據(jù)為，能量為(5.3.19)歸一化相對能量表示。第

m頻帶分解信號相對能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理，顯然有(5.3.21)4/2/202339機械工程學院機自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應用

4/2/202340機械工程學院機自所動態(tài)室5.4工程應用5.4.1軋鋼機振動分析

鋼廠熱軋機電機功率1MW，轉(zhuǎn)速591r/min。用加速度傳感器測試電機滑動軸承座的垂直振動。

圖5.4.1軋制過程電機測點的振動波形

圖5.4.2軋制過程振動信號的小波分解

鋼坯進入軋機的沖擊引起的寬帶響應。具有明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象。高頻細節(jié)信號波形雜亂、密集隨機脈沖。電機軸瓦中因潤滑不良造成的干摩擦及碰摩現(xiàn)象。4/2/202341機械工程學院機自所動態(tài)室5.4工程應用5.4.2大型礦山電鏟提升系統(tǒng)振動分析

WK3B-4電鏟提升系統(tǒng)工況分析。

圖5.4.3電鏟提升系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和測點

圖5.4.4測點5在下降-停止-再啟動過程的振動波形