高一數(shù)學(xué)必修二課件第六章 第二節(jié)一元二次不等式及其解法

第二節(jié)一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定義只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是__的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表

2判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)數(shù)根有兩相等實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0(a>0)的解集______________________________ax2+bx+c<0(a>0)的解集_______________R{x|x1<x<x2}??在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a<0，則可先根據(jù)不等式的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再對(duì)照上表求解.{x|x>x2或x<x1}R3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解過(guò)程用程序框圖表示為判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2)，則必有a>0.()(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.()(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.()(5)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下，則不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.()【解析】(1)正確.由不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2)可知函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向上，因此必有a>0.(2)正確.由一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程的根的關(guān)系可知結(jié)論是正確的.(3)錯(cuò)誤.只有當(dāng)a>0時(shí)才成立，當(dāng)a<0時(shí)，若方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為空集.(4)錯(cuò)誤.還要考慮a=0的情況，不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a=0,b=0,c≤0或a<0且Δ=b2-4ac≤0.(5)正確.當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，在x軸下方一定存在圖象，因此ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.答案:(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集為()(A)(-∞,-2)∪(3,+∞)(B)(-∞,-3)∪(2,+∞)(C)(-2,3)(D)(-3,2)【解析】選B.原不等式可化為x2+x-6>0，即(x+3)(x-2)>0，所以x>2或x<-3，即解集為(-∞,-3)∪(2,+∞).2.函數(shù)的定義域?yàn)?)(A)［0,3］(B)(0,3)(C)(-∞,0］∪［3,+∞)(D)(-∞,0)∪(3,+∞)【解析】選A.依題意有3x-x2≥0，解得0≤x≤3，即定義域?yàn)椋?,3］.3.關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是則a+b=()(A)10(B)-10(C)14(D)-14【解析】選D.由題意是方程ax2+bx+2=0的兩個(gè)根，所以解得a=-12，b=-2,故a+b=-14，選D.4.不等式4x2-mx+1≥0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.【解析】依題意，應(yīng)有Δ=(-m)2-4×4×1≤0,即m2-16≤0，解得-4≤m≤4.答案:［-4,4］5.某種產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是_________.【解析】要使生產(chǎn)者不虧本，則應(yīng)滿足25x≥3000+20x-0.1x2，整理得x2+50x-30000≥0，解得x≥150或x≤-200(舍去)，故最低產(chǎn)量是150臺(tái).答案:150臺(tái)考向

1一元二次不等式的解法【典例1】(1)(2013·大連模擬)已知函數(shù)f(x)=(ax-1)·(x+b)，如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3)，則不等式f(-2x)<0的解集是()(A)(-∞,)∪(+∞)(B)(C)(-∞,)∪(+∞)(D)(2)(2012·湖南高考)不等式x2-5x+6≤0的解集為_(kāi)_______.(3)解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)不等式解集的端點(diǎn)與相應(yīng)方程的兩根之間的關(guān)系，建立方程組求得a,b的值，再解不等式f(-2x)<0.(2)按照一元二次不等式的解法步驟進(jìn)行求解.(3)首先對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，在每一種情況中，如果有必要再按照根的大小進(jìn)行討論.【規(guī)范解答】(1)選A.不等式f(x)>0，即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即為(2x-1)(-2x-3)<0，解得(2)不等式可化為(x-2)(x-3)≤0，因此2≤x≤3，即不等式的解集為{x|2≤x≤3}.答案:{x|2≤x≤3}(3)①當(dāng)a=0時(shí)，原不等式變?yōu)?x+1<0，此時(shí)不等式的解集為{x|x>1}.②當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式可化為若a<0，則上式即為又因?yàn)樗源藭r(shí)不等式的解集為{x|x>1或若a>0，則上式即為(ⅰ)當(dāng)<1，即a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|<x<1}；(ⅱ)當(dāng)=1，即a=1時(shí)，原不等式的解集為?；(ⅲ)當(dāng)>1，即0<a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|1<x<}.綜上所述，原不等式解集為：當(dāng)a<0時(shí)，{x|x<或x>1}；當(dāng)a=0時(shí)，{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時(shí)，{x|1<x<}；當(dāng)a=1時(shí)，?；當(dāng)a>1時(shí)，{x|<x<1}.【拓展提升】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類(lèi)討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系.(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.【提醒】當(dāng)不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，不要忘記討論其等于0的情況.【變式訓(xùn)練】(1)(2012·西城模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+1是R上的偶函數(shù)，不等式f(x-1)<x的解集為_(kāi)_______.【解析】由于函數(shù)是偶函數(shù)，可得b=0，此時(shí)f(x)=x2+1，于是不等式f(x-1)<x可化為x2-3x+2<0，解得1<x<2.答案:{x|1<x<2}(2)解關(guān)于x的不等式(1－ax)2＜1.【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，當(dāng)a＝0時(shí)，x∈?；當(dāng)a＞0時(shí)，由ax(ax－2)＜0，得即當(dāng)a＜0時(shí)，綜上所述：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式解集為空集；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式解集為{x|0＜x＜}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式解集為{x|＜x＜0}.考向2一元二次不等式的恒成立問(wèn)題【典例2】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3.(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的范圍.(2)當(dāng)x∈［-2,2］時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的范圍.【思路點(diǎn)撥】(1)可直接利用判別式Δ≤0求解.(2)可轉(zhuǎn)化為求f(x)-a在［-2,2］上的最小值，令其最小值大于或等于0即可.【規(guī)范解答】(1)f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0，要使x∈R時(shí)，x2+ax+3-a≥0恒成立，應(yīng)有Δ=a2-4(3-a)≤0，即a2+4a-12≤0，解得-6≤a≤2.(2)當(dāng)x∈［-2,2］時(shí)，設(shè)g(x)=x2+ax+3-a.分以下三種情況討論：①當(dāng)≤-2，即a≥4時(shí)，g(x)在［-2,2］上單調(diào)遞增，g(x)在［-2,2］上的最小值為g(-2)=7-3a，因此a無(wú)解；②當(dāng)≥2，即a≤-4時(shí)，g(x)在［-2,2］上單調(diào)遞減，g(x)在［-2,2］上的最小值為g(2)=7+a，因此解得-7≤a≤-4；③即-4<a<4時(shí)，g(x)在［-2,2］上的最小值為因此解得-4<a≤2.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-7≤a≤2.【互動(dòng)探究】本例中，若對(duì)一切a∈［-3，3］，不等式f(x)≥a恒成立，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是什么？【解析】不等式f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0.令g(a)=(x-1)a+x2+3，要使g(a)≥0在［-3,3］上恒成立，只需即解得x≥0或x≤-3.【拓展提升】恒成立問(wèn)題的兩種解法(1)更換主元法如果不等式中含有多個(gè)變量，這時(shí)選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵.即需要確定合適的變量或參數(shù)，能使函數(shù)關(guān)系更加清晰明朗.一般思路為：將已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量看作是參數(shù)，然后借助函數(shù)的單調(diào)性或其他方法進(jìn)行求解.(2)分離參數(shù)法如果欲求范圍的參數(shù)能夠分離到不等式的一邊，那么這時(shí)可以通過(guò)求出不等式另一邊式子的最值(或范圍)來(lái)得到不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍.一般地，a≥f(x)恒成立時(shí)，應(yīng)有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立時(shí)，應(yīng)有a≤f(x)min.【變式備選】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)【解析】選B.依題意mx2+4mx+3≠0對(duì)一切x∈R恒成立.當(dāng)m=0時(shí)顯然成立；當(dāng)m≠0時(shí)應(yīng)有Δ=16m2-12m<0，解得綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是考向3一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【典例3】汽車(chē)在行駛中,由于慣性的作用，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,我們稱這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析事故的一個(gè)重要因素.

在一個(gè)限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì),同時(shí)剎車(chē),但還是相撞了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)12m,乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m.又知甲、乙兩種車(chē)型的剎車(chē)距離s(m)與車(chē)速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.問(wèn)：甲、乙兩車(chē)有無(wú)超速現(xiàn)象？【思路點(diǎn)撥】由甲、乙兩車(chē)的實(shí)際剎車(chē)距離建立關(guān)于甲、乙兩車(chē)車(chē)速的不等式，求出兩車(chē)的實(shí)際車(chē)速然后判斷是否超速.【規(guī)范解答】由題意知,對(duì)于甲車(chē),有0.1x+0.01x2＞12,即x2+10x-1200＞0,解得x＞30或x＜-40(不符合實(shí)際意義,舍去).這表明甲車(chē)的車(chē)速超過(guò)30km/h.但根據(jù)題意剎車(chē)距離略超過(guò)12m,由此估計(jì)甲車(chē)車(chē)速不會(huì)超過(guò)限速40km/h.對(duì)于乙車(chē),有0.05x+0.005x2＞10,即x2+10x-2000＞0,解得x＞40或x＜-50(不符合實(shí)際意義,舍去).這表明乙車(chē)的車(chē)速超過(guò)40km/h,超過(guò)規(guī)定限速.【拓展提升】構(gòu)建不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題不等式的應(yīng)用問(wèn)題常常以函數(shù)為背景，多是解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問(wèn)題等，解題時(shí)，要仔細(xì)審題，認(rèn)清題目的條件以及要解決的問(wèn)題，理清題目中各量之間的關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)牟坏仁侥Ｐ瓦M(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)已往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為G(x)萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)，銷(xiāo)售收入R(x)滿足假定該產(chǎn)品銷(xiāo)售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律：(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？求此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？【解析】(1)設(shè)廠家純收入為y萬(wàn)元，由題意G(x)＝x＋2，令y＞0得解得1＜x＜8.2，故當(dāng)1＜x＜8.2時(shí)工廠有盈利.(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y＝－0.4x2＋3.2x－2.8＝-0.4(x－4)2＋3.6，∴當(dāng)x＝4時(shí)，ymax＝3.6;當(dāng)x＞5時(shí)，y＜8.2－5＝3.2，∴當(dāng)生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大，此時(shí)R(4)＝-0.4×42＋4.2×4－0.8＝9.6，故每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為＝240(元).【創(chuàng)新體驗(yàn)】不等式、函數(shù)、方程的交匯【典例】(2012·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)椋?,+∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)_______.找準(zhǔn)創(chuàng)新點(diǎn)將二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式交匯在一起考查它們之間的關(guān)系尋找突破口1.由二次函數(shù)的值域可知其最小值，從而獲得a,b的關(guān)系式2.由不等式f(x)<c的解集可知一元二次方程f(x)-c=0的兩根是m和m+63.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)c，m的等式，消去m即得c的值4.另一種思路是：將a,b的關(guān)系式代入原不等式，直接求解不等式，得到其解集，解集的端點(diǎn)與m,m+6對(duì)應(yīng)，消去m即得c的值

【思路點(diǎn)撥】

【規(guī)范解答】方法一：由題意即a2-4b=0，所以不等式f(x)<c可轉(zhuǎn)化為由已知可得m,m+6為方程的兩根，則所以=m2+6m+9-m2-6m=9.方法二：由題意即a2-4b=0，所以不等式f(x)<c，即即由已知必有c>0，且即不等式解集是于是因此故c=9.答案:9【思考點(diǎn)評(píng)】1.方法感悟:本題考查了函數(shù)、方程、不等式三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了一元二次不等式與一元二次方程根的關(guān)系在解題中的應(yīng)用，即在解答中根據(jù)不等式f(x)<c的解集為(m,m+6)，可得方程f(x)=c的兩個(gè)根是m,m+6，從而可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出c的值.2.技巧提升:由于一元二次不等式的解法是通過(guò)二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)得到的，因此一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程的根有著密切的聯(lián)系，已知不等式的解集時(shí)，就可以得到方程根的情況.例如，如果不等式ax2+bx+c<0(ax2+bx+c>0)的解集是(α,β)，則必有a>0(a<0)，且α,β是方程ax2+bx+c=0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得由此可進(jìn)一步得到a,b,c之間的關(guān)系，所以利用這種關(guān)系可以解決一元二次不等式中的參數(shù)求解問(wèn)題.1.(2013·渭南模擬)函數(shù)的定義域?yàn)?)(A)(-∞,-4)∪(1,+∞)(B)(-4,1)(C)(-4,0)∪(0,1)(D)(-1,4)【解析】選B.依題意得-x2-3x+4>0，即x2+3x-4<0，解得-4<x<1，故函數(shù)的定義域?yàn)?-4,1).2.(2013·淄博模擬)若函數(shù)f(x)=x2+ax-3a-9對(duì)任意x∈R恒有f(x)≥0，則f(1)等于()(A)6(B)5(C)4(D)3【解析】選C.依題意得a2-4(-3a-9)≤0,即a2+12a+36≤0，所以(a+6)2≤0,必有a=-6,這時(shí)f(x)=x2-6x+9,故f(1)=4，故選C.3.(2013·廈門(mén)模擬)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-4，1)，則不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集為()(A)(B)(-∞,-1)∪(+∞)(C)(-1,4)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】選A.由不等式ax2+bx+c>0的解集為(-4，1)知a<0，-4和1是方程ax2+bx+c=0的兩根，∴-4+1=-4×1=即b=3a,c=-4a.故所求解的不等式即為3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0，即3x2+x-4<0，解得故選A.4.(2013·沈陽(yáng)模擬)某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷(xiāo)售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法來(lái)增加利潤(rùn).已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高1元，銷(xiāo)售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，銷(xiāo)售價(jià)每件應(yīng)定為()(A)12元(B)16元(C)12元到16元之間(D)10元到14元之間【解析】選C.設(shè)每件提高x(0≤x≤10)元，即每件獲利潤(rùn)(2+x)元，每天可銷(xiāo)售(100-10x)件.設(shè)每天獲得總利潤(rùn)為y元，由題意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200，要使每天利潤(rùn)在320元以上，則有-10x2+80x+200>320，即x2-8x+12<0，解得2<x<6.故每件定價(jià)在12元到16元之間時(shí)，能確保每天賺320元以上.5.(2013·長(zhǎng)沙模擬)對(duì)于滿足0≤a≤4的實(shí)數(shù)a，使x2+ax＞4x+a-3恒成立的