直線參數(shù)方程t的幾何意義

000tt13303000x000tt13303000xat000000(000利用直參數(shù)方程的幾何義1、直線參方程的標(biāo)準(zhǔn)式過(guò)點(diǎn)P(x)，傾斜角的直l參數(shù)方程是0

xxcoysi

（t為參數(shù)）

t的何意義：t表有向線段的數(shù)量xy)0P=t∣P∣為直線上任意一若P、是直線上兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t、t，122則=t－t∣∣=∣t－t∣1212(3)若、P、P是直線上的點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、t、t1則中點(diǎn)P的參數(shù)為t＝2,∣P∣=22若P為的中點(diǎn)，則t＋t＝，·t<001212、直線參方程的一般式b過(guò)點(diǎn)(,y，斜率k的直線的參數(shù)方程是a0（t為參數(shù)）yybt0點(diǎn)擊直線參方程：一、直線的數(shù)方程問(wèn)題直線由點(diǎn)和方向確定）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,y)傾斜角的直l參數(shù)方程.0設(shè)點(diǎn)P(x,是直l上任意一點(diǎn)（規(guī)定上的

y

l

(

x,

)方向?yàn)榫€L的方向）過(guò)點(diǎn)y軸的平行線，過(guò)作x的平行線，兩條直線相交于Q.01)P與直l同方向或和合時(shí)，0|則P＝PPcosQP＝P00002)P與直l反方向時(shí)，、P、QP同時(shí)改變符號(hào)00－|PQ＝PPcosQP＝PPsin仍成立000設(shè)＝t，為參數(shù)，0又∵Qxx，x＝0＝∴y=t0xx即是所求的直l的參數(shù)方程ysin

0y

x,

Ql)

0Q

∵＝t，為參數(shù)，的幾意義是有向直l上從已知點(diǎn)(y)到點(diǎn)0P(x,的有向線段的數(shù)量，且＝|t|①當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P的上方；0②當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P重合；0③當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P的下方；0l

0ly100ly10特別地，若直l的傾斜0，直l的參數(shù)方程為y

xx0yy0④當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P的右側(cè)；0⑤當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P重合；0⑥當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P的左側(cè)；0問(wèn)題：直l的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的參數(shù)t是不是一對(duì)應(yīng)關(guān)系？

0

y

(

xyl

)

我們把直l看作是實(shí)數(shù)軸，以直l向上的方向?yàn)檎较?，以定點(diǎn)為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，這樣參數(shù)t和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

0

問(wèn)題：、P為直l上兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t、t，12則＝？，∣PP∣=？1＝PP＝－t＋t＝t－t，∣P∣=∣t－t∣122221問(wèn)題：若為直l上兩點(diǎn)、的中點(diǎn)，、P所對(duì)應(yīng)的01參數(shù)分別為、t，則t、t之間有何關(guān)系？1212根據(jù)直l數(shù)方程t的幾何意義，

2＝t，P＝t，∵P為直l1120上兩點(diǎn)、P的中點(diǎn)，∴|＝|PP12－，即t＝－t,tt<01112一般地，若P、P、P是直l上的點(diǎn)，13所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、t、t，為P、P的中點(diǎn)123

1

0

則t＝3

t12

2

（PP＝－,根據(jù)直l參數(shù)方程t幾何意義，123∴=t－tPP=t－∴t－t=－－t,)）13322性質(zhì)一：AB兩之間的距離為

AB|2

，特別地，AB兩到

0

的距離分別為

|,|t|.1性質(zhì)二A、B兩的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1，若M是線段AB的點(diǎn)，則2t1

，反之亦然。在解題時(shí)若能運(yùn)用參數(shù)t的述性質(zhì)，則可起到事半功倍的效果。應(yīng)一求離例、直線l過(guò)點(diǎn)(0

，傾斜角為

6

，且與圓

x

2

2

相交于A、B兩點(diǎn)。（1求弦長(zhǎng)AB.（2求

PA0

和

PB0

的長(zhǎng)。

66解：因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(0

，傾斜角為

6

，所以直線l的數(shù)方程為

xcosy0sin

t，即yt

為數(shù)入圓方程，得3(t)2t)2

2

7，理得t

2

t0（1設(shè)A、B所應(yīng)的參數(shù)分別為

tt1

2

，所以

t312

，

tt1

，所以

AB|1

()2tt221（2解方程

t

2

t得，t33,t12

3

，所以

PA30

，

P0

3.應(yīng)二求的標(biāo)例、直線l點(diǎn)(2,4)0

，傾斜角為

6

，求出直線l上與

P(2,4)0

相距為點(diǎn)的坐標(biāo)。解：因?yàn)橹本€

l

過(guò)點(diǎn)

P(2,4)0

，傾斜角為

6

，所以直線

l

的參數(shù)方程為

x2y4sin

3t，即1yt6

參數(shù)（1設(shè)直線

l

上與已知點(diǎn)

P(2,4)0

相距為4的點(diǎn)為M點(diǎn)且對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則t|4，所以t0

，將的代入1式，當(dāng)t＝4時(shí)M的坐標(biāo)為

(2

；當(dāng)t＝－4時(shí)M的坐標(biāo)為

(2

，綜上，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為

(2

或

(2

點(diǎn)評(píng)：若使用直線的普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)的何意義求M的坐標(biāo)較容易。應(yīng)三解有弦中問(wèn)例過(guò)

P0

傾角為

的直線

l

和拋物線

y22x

相交于AB兩點(diǎn)求段

ytyt中點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)。解：直線

l

過(guò)點(diǎn)

P0

，傾斜角為

，所以直線

l

的參數(shù)方程為2t222

為數(shù)為直線l和物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y

2

中，得：

(

2t)t)2

，整理得

12

t

2t

，2)

102

，設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為

tt2

，由韋達(dá)定理得