單片機(jī)原理與應(yīng)用第三章第四章

單片機(jī)原理與應(yīng)用第三章第四章第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第三章行列式第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三一、概念

對(duì)任一n

階矩陣用式(3-1)(3-2)第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三常稱表達(dá)式稱為此行列式的值.記作detA而把相聯(lián)系的那個(gè)數(shù)把A的行或列稱作是detA

的行或列.n

階行列式.今后，為A的行列式

(determinant),表示一個(gè)與A相聯(lián)系的數(shù)，也一般稱這樣有n

行n

列的表達(dá)式為第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三它的值不予嚴(yán)格區(qū)分.均指從表達(dá)式算出其值.但說到計(jì)算行列式，則通常定義1對(duì)的n階矩陣A，把刪去第i行及第j列后所得的(n–1)階子矩陣稱為對(duì)應(yīng)

今后在不致引起混淆的情況下,將對(duì)行列式及于元aij的余子矩陣，并以Sij記之.第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)n=2,3,…,用以下公式遞歸地定義n階行列式之值：def定義2

一階矩陣[aij]的行列式之值定義為數(shù)a11

det[a11

]defa11（3-3）第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例1

設(shè)按計(jì)算detA

的值第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

這樣，可以下式所示的規(guī)則來記2階行列式值的計(jì)算法：—+（3-4）第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例2

設(shè)計(jì)算detA

的值第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三用寫出計(jì)算3階行列式值的公式為（3-5）第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三其中每一條實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積帶正號(hào),條虛線上的三個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào),數(shù)和就是三階行列式的展開式.并可以下表的形式記3階行列式值的計(jì)算公式.———+++每一所得六項(xiàng)的代第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

根據(jù)2階、3階行列式的計(jì)算公式，可以一般地指出：n個(gè)元之乘積.n階行列式的值是n！個(gè)不同項(xiàng)的代數(shù)和,其中的每一項(xiàng)都是處于行列式即不同行又不同列的定義3

對(duì)n

階矩陣A或n階行列式detA，Aijdef(-1)i+jdetSijdetSij為元aij[對(duì)其]的余子式,稱(-1)i+jdetSij為元aij[對(duì)其]的代數(shù)余子式,

記作Aij，稱即第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三如對(duì)的detA

，有等等.第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三這樣，可將n階行列式值的定義寫成其中A1k

是元a1k對(duì)A或detA

的代數(shù)余子式.(3-3′)第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三問：四階以上行列式怎么求？問：下三角行列式怎么求？問：矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、乘法、逆運(yùn)算對(duì)應(yīng)的行列式怎么求？問：初等變換后行列式會(huì)怎么變？問：上三角行列式怎么求？第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三定理（展開）

對(duì)n階矩陣A，有二、性質(zhì)

兩組等式表明行列式可按任意第i行或第j列展開計(jì)算，定理（展開）

對(duì)于n階行列式detA，有（3-6）(3-6′)而是其i=1的特例.第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三推論（轉(zhuǎn)置）將行列式的各行依次換成同序號(hào)的列，其值不變，(detA)TdefdetAT=detA即行列式經(jīng)過轉(zhuǎn)置，其值不變：推論（數(shù)乘）

對(duì)n階矩陣A有定理（加法）若將detA的某一列(或行)ai寫成兩個(gè)向量之和，ai=ci+di,則detA等于兩個(gè)行列式之和，結(jié)果，這兩個(gè)行列式分別是在detA中用ci及di代替ai的定理(乘法)

若A，B是兩個(gè)同階矩陣，則第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三定理(交換)

對(duì)換兩列(或行)的位置，行列式值反號(hào):定理（數(shù)乘）

數(shù)α乘行列式detA，等于用α乘它的某一列(或行)的所有元：推論（倍加）將行列式的某一列(或行)的任意α倍加到另一列(或行)去，值不變.第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三推論

一列(或行)元全為零的行列式值為零.推論

若有兩列(或行)元對(duì)應(yīng)成比例，行列式值為零.推論

有兩列(或行)全同的行列式，其值為零.第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例

計(jì)算三、行列式值的計(jì)算第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例

計(jì)算下列行列式：第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三行列式有什么用？第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)任一n階矩陣A=[aij]，用adjA記與

轉(zhuǎn)置伴隨陣逆陣公式1轉(zhuǎn)置伴隨陣定義4之同階的轉(zhuǎn)置伴隨［矩］陣，有(3-12)[Aij]TadjAdef其中Aij是元aij在A中的代數(shù)余子式的值．例11

設(shè)求adjA.第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三定理9設(shè)

A

是

n

階矩陣，adjA

為其轉(zhuǎn)置伴隨

矩陣，則有

今后，在遇到有關(guān)轉(zhuǎn)置伴隨陣的命題時(shí)應(yīng)首先想到這一基本的關(guān)系，即式(3-13)或(3-13′).(3-13′)第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

可逆陣及其逆矩陣是矩陣論中的重要基礎(chǔ)概念,2逆矩陣公式利用行列式可給出判明可逆陣的一個(gè)簡單的條件,的基礎(chǔ)上給出逆陣的一個(gè)公式.并在定理10n

階矩陣A為可逆陣的充分必要條件是

detA≠０，(3-14)此時(shí)有逆陣公式第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例12判斷矩陣是否可逆？若可逆則求出A-1

．第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)系數(shù)行列式Δ≠０時(shí)，有惟一解定理11對(duì)n×n線性代數(shù)方程組,

稱自由項(xiàng)全為零的線性代數(shù)方程組為齊次方程組．

從這個(gè)定理可得關(guān)于n×n齊次線性代數(shù)方程組的兩個(gè)明顯推論．第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三推論

1對(duì)于

n×n

齊次線性代數(shù)方程組

Ax=0,當(dāng)detA≠０時(shí)，只有一組零解（未知數(shù)全取零值的解）

齊次方程組的零解也稱為平凡解，推論

2若n×n

齊次線性代數(shù)方程組

Ax=0有非零解，則必

detA＝

0．xi不全為零的那種解為非平凡解

或非零解．而稱各個(gè)第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三利用行列式判斷線性方程組解的情況有以下兩方面局限性：1、系數(shù)矩陣是方陣2、行列式不等于零時(shí)有唯一解，等于零呢？第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第4章矩陣的秩和線性代數(shù)方程組的解第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三矩陣的秩第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三概念定義1

對(duì)m

n矩陣A,稱其一切非退化方子列式或者簡稱為子式，則定義１可以說成r(A)是A的一切的非零子式的最高階數(shù).矩陣的最高階數(shù)k為的秩(rank),記作r(A),并規(guī)定若將A的任一方子矩陣的行列式稱為A的子行r(O)=0.即若r(A)=k,則A至少有一個(gè)取非零值的k階子式，而任一k+1階子式(如果存在的話)的值必為零.第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例1

求下列矩陣的秩:(1)

(2)

(3)

.第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三如何求秩有沒有一類矩陣的秩很容易求出？任何一個(gè)矩陣是否可以化成這一類矩陣？化的過程中秩會(huì)怎么變？我們想到是否有類似于任何一個(gè)行列式可以化成上三角行列式來求值類似的方法第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2計(jì)算定義2

稱對(duì)k=1,2,…,m-1滿足以下兩個(gè)條件的

m

n矩陣為梯矩陣(echelonmatrik):1.若第k行是零(即該行的元全為零)，則第(k+1)

行必為零.2.若有第(k+1)行是非零行，則其行的首非零元所在的列號(hào)，必大于第k行首非零元所在的列號(hào).第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三為梯矩陣,并求出r(A).例2

說明第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三定理1

任一m

n矩陣A經(jīng)過有限次行初等變換后秩不變.推論1

任一m

n矩陣A經(jīng)有限次列初等變換后秩不變.

推論2

設(shè)A是任一

m

n矩陣,而B是m(或)n階滿秩矩陣,則必有

(或)(4-3)定理2

任一m

n矩陣

A必可通過有限次行初等變換而化為梯矩陣.第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例３對(duì)矩陣

依定理證明中的方式用行初等變換(今后就簡稱為行初等變換法),將其化為梯矩陣.第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三以上兩個(gè)定理可以簡潔地表述為:等價(jià)矩陣的秩相等;任一矩陣必有與之等價(jià)的梯矩陣.為計(jì)算矩陣

A的秩,可歸結(jié)為求一個(gè)與A等價(jià)的梯矩陣,然后由數(shù)出該梯矩陣的非零行的行數(shù)而觀察得到r(A).第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三齊次方程組第二節(jié)線性代數(shù)方程組的解非齊次方程組第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三4.2

線性代數(shù)方程組的解一個(gè)存在解的線性代數(shù)方程組稱為是相容的,否則就是不相容或矛盾方程組.理性地描述一般齊次[線性]方程組的通解以及非其次方程組相容的條件及相容顯性代數(shù)方程組解的結(jié)利用矩陣的概念可構(gòu).第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三或?qū)懗删仃?向量形式其中m

n矩陣A=[aij]為方程組的系數(shù)矩陣,

xT=[x1,x2

…xn]是n維未知數(shù)向量,而m維零向量0是取自由(4-4)(4-4)4.2.1

齊次方程組m

n的齊次線性代數(shù)方程組為第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三