因子分析與主成分分析

因子分析與主成分分析第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四主成分分析每個(gè)人都會(huì)遇到有很多變量的數(shù)據(jù)。比如全國或各個(gè)地區(qū)的帶有許多經(jīng)濟(jì)和社會(huì)變量的數(shù)據(jù)；各個(gè)學(xué)校的研究、教學(xué)等各種變量的數(shù)據(jù)等等。這些數(shù)據(jù)的共同特點(diǎn)是變量很多，在如此多的變量之中，有很多是相關(guān)的。人們希望能夠找出它們的少數(shù)“代表”來對(duì)它們進(jìn)行描述。第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四在多數(shù)實(shí)際問題中，不同指標(biāo)之間是有一定相關(guān)性。由于指標(biāo)較多及指標(biāo)間有一定的相關(guān)性，勢必增加分析問題的復(fù)雜性。因子分析就是設(shè)法將原來指標(biāo)重新組合成一組新的互相無關(guān)的幾個(gè)綜合指標(biāo)來代替原來指標(biāo)。同時(shí)根據(jù)實(shí)際需要從中可取幾個(gè)較少的綜合指標(biāo)盡可能多地反映原來的指標(biāo)的信息。第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四因子分析是考察多個(gè)數(shù)值變量間相關(guān)性的一種多元統(tǒng)計(jì)方法，它是研究如何通過少數(shù)幾個(gè)主成分來解釋多變量的方差—協(xié)方差結(jié)構(gòu)。導(dǎo)出幾個(gè)主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此間不相關(guān)。第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四本章就介紹兩種把變量維數(shù)降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principalcomponentanalysis）和因子分析（factoranalysis）。實(shí)際上主成分分析可以說是因子分析的一個(gè)特例。在引進(jìn)主成分分析之前，先看下面的例子。第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四成績數(shù)據(jù)（student.sav）100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、歷史、英語的成績?nèi)缦卤恚ú糠郑?。?頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四從本例可能提出的問題目前的問題是，能不能把這個(gè)數(shù)據(jù)的6個(gè)變量用一兩個(gè)綜合變量來表示呢？這一兩個(gè)綜合變量包含有多少原來的信息呢？能不能利用找到的綜合變量來對(duì)學(xué)生排序呢？這一類數(shù)據(jù)所涉及的問題可以推廣到對(duì)企業(yè)，對(duì)學(xué)校進(jìn)行分析、排序、判別和分類等問題。第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四主成分分析例中的的數(shù)據(jù)點(diǎn)是六維的；也就是說，每個(gè)觀測值是6維空間中的一個(gè)點(diǎn)。我們希望把6維空間用低維空間表示。先假定只有二維，即只有兩個(gè)變量，它們由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所代表；因此每個(gè)觀測值都有相應(yīng)于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩個(gè)坐標(biāo)值；如果這些數(shù)據(jù)形成一個(gè)橢圓形狀的點(diǎn)陣（這在變量的二維正態(tài)的假定下是可能的）那么這個(gè)橢圓有一個(gè)長軸和一個(gè)短軸。在短軸方向上，數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況，短軸如果退化成一點(diǎn)，那只有在長軸的方向才能夠解釋這些點(diǎn)的變化了；這樣，由二維到一維的降維就自然完成了。第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四主成分分析當(dāng)坐標(biāo)軸和橢圓的長短軸平行，那么代表長軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的主要變化，而代表短軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的次要變化。但是，坐標(biāo)軸通常并不和橢圓的長短軸平行。因此，需要尋找橢圓的長短軸，并進(jìn)行變換，使得新變量和橢圓的長短軸平行。如果長軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大部分信息，就用該變量代替原先的兩個(gè)變量（舍去次要的一維），降維就完成了。橢圓（球）的長短軸相差得越大，降維也越有道理。第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四主成分分析對(duì)于多維變量的情況和二維類似，也有高維的橢球，只不過無法直觀地看見罷了。首先把高維橢球的主軸找出來，再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長的幾個(gè)軸作為新變量；這樣，主成分分析就基本完成了。注意，和二維情況類似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線性組合，叫做主成分(principalcomponent)。

第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四主成分分析正如二維橢圓有兩個(gè)主軸，三維橢球有三個(gè)主軸一樣，有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。選擇越少的主成分，降維就越好。什么是標(biāo)準(zhǔn)呢？那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長度之和占了主軸長度總和的大部分。有些文獻(xiàn)建議，所選的主軸總長度占所有主軸長度之和的大約85%即可，其實(shí)，這只是一個(gè)大體的說法；具體選幾個(gè)，要看實(shí)際情況而定。第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，SPSS輸出為這里的InitialEigenvalues就是這里的六個(gè)主軸長度，又稱特征值（數(shù)據(jù)相關(guān)陣的特征值）。頭兩個(gè)成分特征值累積占了總方差的81.142%。后面的特征值的貢獻(xiàn)越來越少。

第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四特征值的貢獻(xiàn)還可以從SPSS的所謂碎石圖看出第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四怎么解釋這兩個(gè)主成分。前面說過主成分是原始六個(gè)變量的線性組合。是怎么樣的組合呢？SPSS可以輸出下面的表。

這里每一列代表一個(gè)主成分作為原來變量線性組合的系數(shù)（比例）。比如第一主成分作為數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、歷史、英語這六個(gè)原先變量的線性組合，系數(shù)（比例）為-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。

第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四如用x1,x2,x3,x4,x5,x6分別表示原先的六個(gè)變量，而用y1,y2,y3,y4,y5,y6表示新的主成分，那么，原先六個(gè)變量x1,x2,x3,x4,x5,x6與第一和第二主成分y1,y2的關(guān)系為：X1=-0.806y1+0.353y2X2=-0.674y1+0.531y2X3=-0.675y1+0.513y2X4=0.893y1+0.306y2x5=0.825y1+0.435y2x6=0.836y1+0.425y2這些系數(shù)稱為主成分載荷（loading），它表示主成分和相應(yīng)的原先變量的相關(guān)系數(shù)。比如x1表示式中y1的系數(shù)為-0.806，這就是說第一主成分和數(shù)學(xué)變量的相關(guān)系數(shù)為-0.806。相關(guān)系數(shù)(絕對(duì)值）越大，主成分對(duì)該變量的代表性也越大?？梢钥吹贸?，第一主成分對(duì)各個(gè)變量解釋得都很充分。而最后的幾個(gè)主成分和原先的變量就不那么相關(guān)了。第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四可以把第一和第二主成分的載荷點(diǎn)出一個(gè)二維圖以直觀地顯示它們?nèi)绾谓忉屧瓉淼淖兞康?。這個(gè)圖叫做載荷圖。第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四該圖左面三個(gè)點(diǎn)是數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科，右邊三個(gè)點(diǎn)是語文、歷史、外語三科。圖中的六個(gè)點(diǎn)由于比較擠，不易分清，但只要認(rèn)識(shí)到這些點(diǎn)的坐標(biāo)是前面的第一二主成分載荷，坐標(biāo)是前面表中第一二列中的數(shù)目，還是可以識(shí)別的。第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四因子分析主成分分析從原理上是尋找橢球的所有主軸。因此，原先有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。而因子分析是事先確定要找?guī)讉€(gè)成分，這里叫因子（factor）（比如兩個(gè)），那就找兩個(gè)。這使得在數(shù)學(xué)模型上，因子分析和主成分分析有不少區(qū)別。而且因子分析的計(jì)算也復(fù)雜得多。根據(jù)因子分析模型的特點(diǎn)，它還多一道工序：因子旋轉(zhuǎn)（factorrotation）；這個(gè)步驟可以使結(jié)果更好。當(dāng)然，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，因子分析并不比主成分分析多費(fèi)多少時(shí)間。從輸出的結(jié)果來看，因子分析也有因子載荷（factorloading）的概念，代表了因子和原先變量的相關(guān)系數(shù)。但是在輸出中的因子和原來變量相關(guān)系數(shù)的公式中的系數(shù)不是因子載荷，也給出了二維圖；該圖雖然不是載荷圖，但解釋和主成分分析的載荷圖類似。第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四主成分分析與因子分析的公式上的區(qū)別主成分分析因子分析(m<p)因子得分第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，SPSS因子分析輸出為這里，第一個(gè)因子主要和語文、歷史、英語三科有很強(qiáng)的正相關(guān)；而第二個(gè)因子主要和數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科有很強(qiáng)的正相關(guān)。因此可以給第一個(gè)因子起名為“文科因子”，而給第二個(gè)因子起名為“理科因子”。從這個(gè)例子可以看出，因子分析的結(jié)果比主成分分析解釋性更強(qiáng)。第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四這兩個(gè)因子的系數(shù)所形成的散點(diǎn)圖（雖然不是載荷，在SPSS中也稱載荷圖，可以直觀看出每個(gè)因子代表了一類學(xué)科第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四計(jì)算因子得分可以根據(jù)前面的因子得分公式（因子得分系數(shù)和原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值的乘積之和），算出每個(gè)學(xué)生的第一個(gè)因子和第二個(gè)因子的大小，即算出每個(gè)學(xué)生的因子得分f1和f2。人們可以根據(jù)這兩套因子得分對(duì)學(xué)生分別按照文科和理科排序。當(dāng)然得到因子得分只是SPSS軟件的一個(gè)選項(xiàng)（可將因子得分存為新變量、顯示因子得分系數(shù)矩陣）第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四因子分析和主成分分析的一些注意事項(xiàng)

可以看出，因子分析和主成分分析都依賴于原始變量，也只能反映原始變量的信息。所以原始變量的選擇很重要。另外，如果原始變量都本質(zhì)上獨(dú)立，那么降維就可能失敗，這是因?yàn)楹茈y把很多獨(dú)立變量用少數(shù)綜合的變量概括。數(shù)據(jù)越相關(guān)，降維效果就越好。在得到分析的結(jié)果時(shí)，并不一定會(huì)都得到如我們例子那樣清楚的結(jié)果。這與問題的性質(zhì)，選取的原始變量以及數(shù)據(jù)的質(zhì)量等都有關(guān)系在用因子得分進(jìn)行排序時(shí)要特別小心，特別是對(duì)于敏感問題。由于原始變量不同，因子的選取不同，排序可以很不一樣。第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四因子分析與主成分分析的基本步驟及spss實(shí)現(xiàn)

1.將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理

2.計(jì)算樣本相關(guān)矩陣R3.求相關(guān)矩陣R的特征值與特征向量,并計(jì)算貢獻(xiàn)率

4.選擇主成分