啟東中學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等比數(shù)列

啟東中學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等比數(shù)列1.(必修5P49習(xí)題1改編)已知數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列， a2=9，a4=4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.n-22【答案】9·3a44【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2=a2=9.2n-22又因?yàn)閝>0，所以q=3，所以an=9·3.2.(必修5P49習(xí)題1改編)如果-1，a，b，c，-9成等比數(shù)列，那么

b=

，a·c=

.【答案】-3 9【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得

ac=(-1)

×(-9)=9；b×b=9，且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故

b=-3.n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=.3.(必修5P58練習(xí)6改編)若對(duì)于實(shí)數(shù)x，有an=x0，x 0，n，x 1，nx(1-x)，x 0且x 1【答案】 1-xx(1-xn)【解析】當(dāng)x=0時(shí)，Sn=0；當(dāng)x=1時(shí)，Sn=n；當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，Sn= 1-x .4.(必修5P61習(xí)題3改編)若等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=4×31-n，則數(shù)列{an}是數(shù)列.(填“遞增”或“遞減”)【答案】遞減5.(必修5P67習(xí)題3改編)設(shè){an}是等比數(shù)列，給出下列四個(gè)命題：①{an2}是等比數(shù)列；②{ana}是等比數(shù)列；n+11③

an

是等比數(shù)列； ④{lg|an|}是等比數(shù)列

.其中正確的命題是

.(填序號(hào))【答案】①②③【解析】④是等差數(shù)列

.1.等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的 公比.a1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an=a1qn-1=q·qn(n∈N*)；推廣：an=amqn-m.2.等比數(shù)列求和公式a1(1-qn)，q1，a-aq，，1nq1-q1-q1na1，q1=na1，q1.Sn=3.等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為 q.(1)若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，則aman=apaq；1an，{ank(2)數(shù)列{kan}(k為非零常數(shù))，}(k∈Z且為常數(shù))也是等比數(shù)列；每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)(k∈N*)，按原來(lái)的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列；(4)若{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k， 仍組成等比數(shù)列 (各項(xiàng)不為0).【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 各個(gè)擊破等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例1(2015·蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào))已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a4=a22，5a2+a4=16，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.5【思維引導(dǎo)】 將a4=a2q2代入a4=a22，a2+a4=16，求出q及a2，再求an.【解答】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍4=a22，所以a2q2=a22.又a2≠0，所以a2=q2.5因?yàn)閍22+a2-16=0，151所以a2=42，或a2=-4(舍去)，所以q=4.又q>011n所以q=2，所以an=a2qn-2=qn=2.【精要點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.求等比數(shù)列的通項(xiàng)就是要求基本量a1和q，要注意q=1的情況.【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】1.(2015廣·東卷)若三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a=5+2 6，c=5-26，則b= .【答案】1【解析】因?yàn)槿齻€(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac=(5+2 6)(5-26)=1.又因?yàn)閎>0，所以b=1.2.(2016蘇·州期中)已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，若a5-a1=15，a4-a2=6，則a3= .【答案】44a1-16，，，111a11q3，q22【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意知a1q-a1q6解得或(舍去)，故a3=a1q2=1×22=4.S203.(2014揚(yáng)·州一模)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，若a5+2a10=0，則S10= .5【答案】4a1(1-q20)1-q1S20a1(1-q10)1【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則由a5+2a10=0，得q5=-2，所以S10=1-q=1+q10=1+454.1a9a104.已知等比數(shù)列n1，2a3，2a2成等差數(shù)列，那么a7a8=.{a}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a【答案】3+221a3【解析】依題意可得2×2=a，即a，則有a221+2a23=a1+2a21q=a1+2a1q，可得q=1+2q，解a9a10a1q8a1q9q2q3得q=1+2或q=1-2(舍去)，所以a7a8=a1q6a1q7=1q=q2=3+22.5.(2015全·國(guó)卷)在數(shù)列{an}中，已知 a1=2，an+1=2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=126，則n= .【答案】62(1-2n)【解析】由a1=2，an+1=2an可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，所以Sn= 1-2 =126，得n=6.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)，若bn=an+1-2an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.【思維引導(dǎo)】 由Sn+2=4an+1+2，an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，得an+2-2an+1=2(an+1-2an)，所以bn+1=2bn，再求出首項(xiàng)b1=3≠0，判定{bn}是公比為2的等比數(shù)列.【解答】因?yàn)閍1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)，所以Sn+2=4an+1+2.則an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，所以an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn，所以{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且 b1=a2-2a1.因?yàn)閍1=1，a2+a1=S2，即a2+a1=4a1+2，所以a2=3a1+2=5，所以b1=5-2=3.所以bn=3·2n-1.【精要點(diǎn)評(píng)】 判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列，根據(jù)定義，看前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比是不是同一個(gè)常數(shù)，同時(shí)還要求 b1≠0.等比數(shù)列的求和問(wèn)題1例3 已知公比不為 1的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和Sn；(2)對(duì)n∈N*，在an與an+1之間插入3n個(gè)數(shù)，使這3n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， 記插入的這3n個(gè)數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【思維引導(dǎo)】(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)由等差數(shù)列的前anan1n項(xiàng)和公式可得插入的3n個(gè)數(shù)的和為bn=2·3n，由(1)可求得bn的表達(dá)式，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)論 .【解答】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍4+S4，a5+S5，a6+S6成等差數(shù)列，所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5，即2a6-3a5+a4=0，所以2q2-3q+1=0，因?yàn)閝≠1，11所以q=2，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.11-12 21-1Sn= 2

nn1=1- 2 .anan33n1(2)bn=2·3n=42，3-n133229n433-11-42所以Tn=2=.【精要點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求和的方法.變式 (2015·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a3，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；1(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn.【解答】(1)因?yàn)镾n=2an-a3，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)，即an=2an-1(n≥2).從而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又因?yàn)閍1，a2+1，a3成等差數(shù)列，即a1+a3=2(a2+1)，所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n.1(2)由(1)得an=2n，11-1n2211111所以Tn=2+22++2n1-=1-2n=2.等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例4(2015·南通二調(diào))設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，記cn=an+bn.(1)求證：數(shù)列{cn+1-cn-d}為等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列{cn}的前4項(xiàng)分別為4，10，19，34，求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【解答】(1)由題意得cn+1-cn-d=(an+1+bn+1)-(an+bn)-d=(an+1-an)-d+(bn+1-bn)=bn(q-1)

≠0，cn

2-cn1-d

bn

1(q-1)從而 cn1-cn-d =bn(q-1)=q.又因?yàn)閏2-c1-d=b1(q-1)≠0，所以{cn+1-cn-d}是首項(xiàng)為b1(q-1)，公比為q的等比數(shù)列.(2)方法一：{cn+1-cn-d}的前3項(xiàng)為6-d，9-d，15-d，則(9-d)2=(6-d)(15-d)，解得d=3，從而q=2.a1b1，4又因?yàn)閍13，2b110解得a1=1，b1=3，所以an=3n-2，bn=3·2n-1.a1b1，4a1db1q，10a12d2，b1q193，方法二：由題意得a13db1q34b1q-b16，db1q2-b1q9，消去a，得db1q3-b1q215，12-2b1qb1，b1q33-2b1q2，消去d，得b1qb1q6消去b1，得q=2，從而解得a1=1，b1=3，d=3.所以an=3n-2，bn=3·2n-1.【精要點(diǎn)評(píng)】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用主要還是考查基本量的運(yùn)算，同時(shí)考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力 .變式 (2015·北京卷)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4-a3=2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等?【解答】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍4-a3=2，所以d=2.又因?yàn)閍1+a2=10，所以2a1+d=10，解得a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等.1.(2015泰·州二模)在等比數(shù)列{an}中，已知a3=4，a7-2a5-32=0，則a7= .【答案】64【解析】設(shè)公比為q，則有a3q4-2a3q2-32=0，即q4-2q2-8=0，解得q2=4(負(fù)值舍去)，所以a7=a3q4=64.2.在正項(xiàng)等比數(shù)列 {an}中，若a3a11=16，則log2a2+log2a12= .【答案】4【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a3a11=16，所以a2a12=a3a11=16，所以log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4.3.在等比數(shù)列{an}中，若S5=4，S10=12，則S15= .【答案】28【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知 S5，S10-S5，S15-S10成等比數(shù)列，S5=4，S10-S5=8，所以S15-S10=16，則S15=28.4.(2016蘇·北四市期中)在等比數(shù)列{an}中，若a1=1，a3a5=4(a4-1)，則a7=.【答案】4【解析】由題知a3a5=4(a4-1)=a42，得a4=2，又a1=1，所以由a42=a，得a1·a77=4.5.(2015安·徽卷)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且 a1+a4=9，a2a3=8.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an1設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn=SnSn1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解答】(1)由題設(shè)知a1a4=a2a3=8，a1，，1a18聯(lián)立a1+a4=9，解得a48或a41(舍去).由a4=a1q3，得公比q=2，所以an=a1qn-1=2n-1.a1(1-qn)(2)Sn= 1-q =2n-1，an1 Sn1-Sn 1 1又bn=SnSn1=SnSn1=Sn-Sn1，所以Tn12++bn1-11-111111S1S2S2S3++（SnSn1S1-Sn1=1-2n1-1.=b+b=+-）=趁熱打鐵，事半功倍 .請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第 79~80頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第40課 等比數(shù)列一、 填空題11.(2015全·國(guó)卷)若等比數(shù)列{an}滿足a1=4，a3a5=4(a4-1)，則a2= .2.在等比數(shù)列 {an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，已知 a5=2S4+3，a6=2S5+3，那么此數(shù)列的公比q= .3.(2015湖·南卷)設(shè)Sn為等比數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an= .4.若方程x2-5x+m=0與x2-10x+n=0的四個(gè)根適當(dāng)排列后，恰好組成一個(gè)首項(xiàng)為 1的等比數(shù)列，則m∶n值為 .5.(2015泰·州期末)在等比數(shù)列{an}中，若a1+32a6=0，a3a4a5=1，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為 .6.(2015鎮(zhèn)·江期末)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=7，S6=63，則a7+a8+a9= .7.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+ +lna20= .1 nπ8.已知an=nsin25，Sn=a1+a2++an，那么在S1，S2，，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是 .二、 解答題9.(2014?！そň?在等比數(shù)列{an}中，已知a2=3，a5=81.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.10.(2015蘇·州調(diào)查)已知數(shù)列{an}共有2k項(xiàng)(k≥2，k∈N*)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1=2，an+1=(p-1)Sn+2(n=1，2，，2k-1)，其中常數(shù)p>1.求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；2 1(2)若p=22k-1，數(shù)列{bn}滿足bn=nlog2(a1a2 an)(n=1，2，，2k)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.11.(2015湖·南卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3，n∈N*.求證：an+2=3an；求Sn.三、 選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果 )12.(2015桐·鄉(xiāng)一中)在數(shù)列{an}中，Sn為它的前n項(xiàng)和，已知a2=4，a3=15，且數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，則Sn= .13.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1·an=2n(n∈N*)，則S2017= .【檢測(cè)與評(píng)估答案】第40課 等比數(shù)列1a4211a42，1.2【解析】因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a3a5=4(a4-1)=，得a4=2.又a1=4a1=4=8=q3，11得公比q=2，所以a2=4×2=2.2.3 【解析】由a5=2S4+3，a6=2S5+3，兩式相減得 a6-a5=2a5，得a6=3a5，所以公比q=3.3.3n-1【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，得4S2=3S1+S3，即3S2-3S1=S3-S2，所以3a2=a3，得公比q=3，所以an=a1qn-1=3n-1.14.4【解析】設(shè)方程x2-5x+m=0的兩根為x1，x2，方程x2-10x+n=0的兩根為x3，x4，則，x4，x1x25x310x1·x2m，x3·x4n，由題意知x1=1，x2=4，x3=2，x4=8，所以m=4，n=16，所以m∶1n=4.21a615.-4【解析】由a1+32a6=0，得a1=-32

1=q5，所以q=-2.又a3a4a5=1，即a34=1，所以-16-81-2a41121a4=1，則a1=q3=-8，所以{an}的前6項(xiàng)和S6=2=-4.6.448 【解析】因?yàn)閍1+a2+a3=7，a1+a2+a3+ +a6=63，所以a4+a5+a6=56.因?yàn)閍1+a2+a3，562a4+a5+a6，a7+a8+a9成等比數(shù)列，所以 a7+a8+a9= 7=448.7.50 【解析】由題意得2a10a11=2e5 a10a11=e5，所以ln a1+ln a2+ +lna20=ln(a1·a2··a20)=ln(a10a11)10=10×lne5=50.8.100 【解析】當(dāng)1≤n≤24時(shí)，an>0；當(dāng)26≤n≤49時(shí)，an<0，但其絕對(duì)值要小于 1≤n≤24時(shí)相應(yīng)的值；當(dāng)51≤n≤74時(shí)，an>0；當(dāng)76≤n≤99時(shí)，an<0，但其絕對(duì)值要小于51≤n≤74時(shí)相應(yīng)的值.所以當(dāng)1≤n≤100時(shí)，均有Sn>0.9.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.aq，，a1114，，解得q依題意得13所以an=3n-1.(2)因?yàn)閎n=log3an=n-1，n(b1 bn) n2-n所以Sn= 2 = 2 .(1)因?yàn)閍n+1=(p-1)Sn+2(n=1，2，，2k-1)，所以an=(p-1)Sn-1+2(n=2，3，，2k)，則當(dāng)n=2，3，，2k-1時(shí)，兩式相減，得an+1-an=(p-1)(Sn-Sn-1)，即an+1-an=(p-1)an.所以an+1=pan(n=2，3，，2k-1).原式中，令n=1，得a2=(p-1)a1+2=2(p-1)+2=2p=pa1.an1所以an+1=pan，即an=p≠0(n=1，2，，2k-1).所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)由(1)得an=a1pn-1.1所以bn=nlog2(a1a2 an)1=nlog2(a1·a1p·a1p2··a1pn-1)1=nlog2(a1n·p12n-1)n-1n-1=log2(a1·p2)=1+2log2pn-12