高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)均值不等式被稱(chēng)為均值不等式。·即調(diào)解平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不高出算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為“調(diào)幾算方”。其中：，被稱(chēng)為調(diào)解平均數(shù)。，被稱(chēng)為幾何平均數(shù)。，被稱(chēng)為算術(shù)平均數(shù)。，被稱(chēng)為平方平均數(shù)。一般形式設(shè)函數(shù)（當(dāng)r=0時(shí)），有

時(shí)，

（當(dāng)

r不等于。

0時(shí)）；能夠注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特別狀況，即。特例⑴對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)a=-b時(shí)取“=”號(hào)）⑵對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有，即⑶對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有⑷對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有⑸對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有⑹對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有⑺對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有⑻對(duì)非負(fù)數(shù)a,b，有⑼對(duì)非負(fù)數(shù)a,b,c，有在幾個(gè)特例中，最出名的當(dāng)屬算術(shù)—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當(dāng)n=2時(shí)，上式即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)建立。依照均值不等式的簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，即。排序不等式基本形式：排序不等式的證明要證只要證依照基本不等式只要證∴原結(jié)論正確棣莫弗定理設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)（用三角形式表示），則：復(fù)數(shù)乘方公式：.圓排列定義從n個(gè)不相同元素中不重復(fù)地取出m（1≤m≤n）個(gè)元素在一個(gè)圓周上，叫做這n個(gè)不相同元素的圓排列。若是一個(gè)m-圓排列旋轉(zhuǎn)能夠獲得另一個(gè)m-圓排列，則認(rèn)為這兩個(gè)圓排列相同。計(jì)算公式n個(gè)不相同元素的m-圓排列個(gè)數(shù)N為：特別地，當(dāng)m=n時(shí)，n個(gè)不相同元素作成的圓排列總數(shù)N為：。費(fèi)馬小定理費(fèi)馬小定理(FermatTheory)是數(shù)論中的一個(gè)重要定理，其內(nèi)容為：若是p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（modp）。即：若是a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)(即兩者只有一個(gè)合約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。組合恒等式組合數(shù)C(k,n)的定義：從n個(gè)不相同元素中采納k個(gè)進(jìn)行組合的個(gè)數(shù)?；镜慕M合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（這個(gè)性質(zhì)叫組合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)++C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)++C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韋達(dá)定理逆定理若是兩數(shù)α和β知足以下關(guān)系：α+β=么這兩個(gè)數(shù)α和β是方程

，α·β=的根。

，那經(jīng)過(guò)韋達(dá)定理的逆定理，能夠利用兩數(shù)的和積關(guān)系結(jié)構(gòu)一元二次方程。[5]實(shí)行定理韋達(dá)定理不只能夠說(shuō)明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還可以實(shí)行說(shuō)明一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。定理：設(shè)（i=1、2、3、n）是方程：的n個(gè)根，記

k為整數(shù)），則有：。[實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若

z=a+bi(b

≠0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。無(wú)量遞降法無(wú)量遞降法是證明方程無(wú)解的一種方法。其步驟為：假定方程有解，并設(shè)X為最小的解。從X推出一個(gè)更小的解Y。進(jìn)而與X的最小性相矛盾。因此，方程無(wú)解。孫子定理又稱(chēng)中國(guó)節(jié)余定理，中國(guó)節(jié)余定理給出了以下的一元線性同余方程組：有解的判斷條件，并用結(jié)構(gòu)法給出了在有解狀況下解的詳細(xì)形式。中國(guó)節(jié)余定理說(shuō)明：假定整數(shù)m1,m2,...,mn兩兩互質(zhì)，則對(duì)隨意的整數(shù)：a1,a2,...,an，方程組有解，并且通解能夠用以下方式結(jié)構(gòu)獲得：設(shè)

是整數(shù)

m1,m2,...,mn

的乘積，并設(shè)

是除了

mi

以外的

n-1

個(gè)整數(shù)的乘積。設(shè)為

模的數(shù)論倒數(shù)

：方程組的通解形式：在模的意義下，方程組只有一個(gè)解：同余同余公式也有很多我們常有的定律,比方相等律,聯(lián)合律,互換律,傳達(dá)律.以下面的表示:1)a≡a(modd)2)a≡b(modd)→b≡a(modd)3)(a≡b(modd),b≡c(modd))→a≡c(modd)若是a≡x(modd),b≡m(modd),則4)a+b≡x+m（modd）其中a≡x(modd)，b≡m(modd)5)a-b≡x-m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)6)a*b≡x*m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)7）a≡b（modd）則a-b整除d歐拉函數(shù)φ函數(shù)的值

通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)

..(1-1/pn),

其中p1,p2pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。φ(1)=1（唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1自己）。(注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個(gè)。比方12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是質(zhì)數(shù)p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，由于除了p的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。設(shè)n為正整數(shù)，以φ(n)表示不高出n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)φ：N→N，n→φ(n)稱(chēng)為歐拉函數(shù)。歐拉函數(shù)是積性函數(shù)——若m,n互質(zhì)，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特別性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，φ(2n)=φ(n),證明與上述近似。若n為質(zhì)數(shù)則φ(n)=n-1。格點(diǎn)定義數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)(latticepoint)或整點(diǎn)。性質(zhì)1、格點(diǎn)多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。2、格點(diǎn)對(duì)于格點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為格點(diǎn)。3、格點(diǎn)多邊形面積公式（坐標(biāo)平面內(nèi)極點(diǎn)為格點(diǎn)的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，近似地也有格點(diǎn)多邊形的見(jiàn)解。）設(shè)某格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有格點(diǎn)a個(gè)，格點(diǎn)多邊形的邊上有格點(diǎn)b個(gè)，該格點(diǎn)多邊形面積為S，則依照皮克公式有S=a+b/2-1。4，格點(diǎn)正多邊形只能是正方形。5，格點(diǎn)三角形界線上無(wú)其他格點(diǎn)，內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)，則該點(diǎn)為此三角形的重心。三面角定義三面角：由三個(gè)面組成的多面角稱(chēng)為三面角，如圖中三面角可記作∠O-ABC。特別地，三個(gè)面角都是直角的三面角稱(chēng)為直三面角。三面角的補(bǔ)三面角：由三條自已知三面角定點(diǎn)發(fā)出的垂直于已知三面角的三個(gè)平面的射線組成的三面角叫做已知三面角的補(bǔ)三面角。性質(zhì)1、三面角的隨意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角。2、三面角的三個(gè)二面角的和大于180°，小于540°。三面角有關(guān)定理設(shè)三面角∠O-ABC的三個(gè)面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所對(duì)的二面角依次為∠OC，∠OA，∠OB。1、三面角正弦定理：sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。2、三面角第一余弦定理：cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。3、三面角第二余弦定理：cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。直線方程一般有以下八種描繪方式：點(diǎn)斜式，斜截式，兩點(diǎn)式，截距式，一般式，法線式，法向式，點(diǎn)向式。點(diǎn)斜式已知直線一點(diǎn)(x1,y1,)并且存在直線的斜率k，則直線可表示為：y-y1=k(x-x1)。合用范圍：斜率K存在的直線。斜截式已知與Y軸的交點(diǎn)（0，b），斜率為K，則直線可表示為：y=kx+b。合用范圍：斜率存在的直線。兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式是剖析幾何直線理論的重要見(jiàn)解。當(dāng)已知兩點(diǎn)（Y1），（X2，Y2）時(shí)，將直線的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)

X1，代入點(diǎn)斜式時(shí)，獲得兩點(diǎn)式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。適用范圍：不平行于（或許說(shuō)不垂直于）坐標(biāo)軸的的直線。截距式已知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（a，0），（0，b）時(shí)，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。合用范圍：不平行于（或許說(shuō)不垂直于）坐標(biāo)軸的直線，可是原點(diǎn)的直線。一般式ax+by+c=0(A、B不相同時(shí)為0)。斜率：-A/B截距：-C/B。兩直線平行時(shí)：A1/A2=B1/B2≠C1/C2，則無(wú)解。兩直線訂交時(shí)：A1/A2≠B1/B2；兩直線垂直時(shí)：A1A2+B1B2=0A1/B1×A2/B2=-1，都只有一個(gè)交點(diǎn)。兩直線重合時(shí)：A1/A2=B1/B2=C1/C2，則有無(wú)數(shù)解。合用范圍：所有直線均可合用。法線式過(guò)原點(diǎn)向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角為α，p是該線段的長(zhǎng)度。x·cosα+ysinα-p=0。法向式知道直線上一點(diǎn)（x0，y0）和與之垂直的向量（a，b），則ax-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。點(diǎn)向式知道直線上一點(diǎn)(x0,y0)和方向向量（u,v），(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)。極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系（polarcoordinates）是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平面上取定一點(diǎn)O，稱(chēng)為極點(diǎn)。從O出發(fā)引一條射線Ox，稱(chēng)為極軸。再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位，往常例定角度取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。這樣，平面上任一點(diǎn)P的地點(diǎn)就能夠用線段OP的長(zhǎng)度ρ以及從Ox到OP的角度θ來(lái)確定，有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就稱(chēng)為P點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為P（ρ，θ）；ρ稱(chēng)為P點(diǎn)的極徑，θ稱(chēng)為P點(diǎn)的極角。極坐標(biāo)方程于極點(diǎn)（90°/270°）對(duì)稱(chēng)，若是r(θ-α)=r(θ)，則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α°。圓方程為r(θ)=1的圓。在極坐標(biāo)系中，圓心在(r0,φ)半徑為a的圓的方程為r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2該方程可簡(jiǎn)化為不相同的方法，以符合不相同的特定狀況，比方方程r(θ)=a表示一個(gè)以極點(diǎn)為中心半徑為a的圓。直線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線由以下方程表示θ=φ其中φ為射線的傾斜角度，若k為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有φ=arctank。任何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直。這些在點(diǎn)（r0,φ）處的直線與射線θ=φ垂直，其方程為r(θ)=r0sec(θ-φ)圓冪點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上隨意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d^2－r^2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪．過(guò)P任作素來(lái)線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB=|d2－r2|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，若是此二圓訂交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱(chēng)為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸若是不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩訂交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．1．定義從一點(diǎn)A作一圓周的任一割線，從A起到和圓訂交為止的兩段之積，稱(chēng)為點(diǎn)A于這圓周的冪．2．圓冪定理已知⊙(O,r)，經(jīng)過(guò)必然點(diǎn)P，作⊙O的任一割線交圓于A,B，則PA，PB為P對(duì)于⊙O的冪，記為k，則當(dāng)P在圓外時(shí)，k=PO^2-r^2；當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，k=r^2-PO^2；當(dāng)P在圓上時(shí)，k=0.圖Ⅰ：訂交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條隨意弦。訂交于點(diǎn)P，連結(jié)AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，因此。因此有：，即：。圖Ⅱ：割線定理。如圖，連結(jié)AD、BC。可知∠B=∠D，又由于∠P為公共角，因此有，同上證得。圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連結(jié)AC、AD?！螾AC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又由于∠P為公共角，因此有，易圖Ⅳ：PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。因此PA=PC，所以。綜上可知，是寬泛建立的。根軸定義在平面上任給兩不相同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的會(huì)合是一條直線，這條線稱(chēng)為這兩個(gè)圓的根軸。另一角度也能夠稱(chēng)兩不相同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或許稱(chēng)作等冪軸。根軸方程設(shè)兩圓O1,O2的方程分別為：(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)由于根軸上隨意點(diǎn)對(duì)兩圓的圓冪相等，因此根軸上任一點(diǎn)(x,y),有(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=

圓冪=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2兩式相減，得根軸的方程

(即

x,y

的方程

)

為2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2解的不相同可能

近似。(1)(2)連立的解，是兩圓的公共點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)若是是兩組不等實(shí)數(shù)解，MN不重合且兩圓訂交，根軸是兩圓的公共弦。若是是相等實(shí)數(shù)解，MN重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內(nèi)公切線。若是是共軛虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標(biāo)系內(nèi)沒(méi)有實(shí)質(zhì)。稱(chēng)M,N是共軛虛點(diǎn)。尺規(guī)作圖訂交,相切時(shí)根軸為兩圓交點(diǎn)的連線.內(nèi)含時(shí),作一適合的圓與兩園訂交,這圓與兩圓的根軸的交點(diǎn)在根軸上.同理再作一點(diǎn),兩點(diǎn)所在的直線即為根軸(等冪軸)有關(guān)定理1，平面上隨意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；2，若兩圓訂交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點(diǎn)分別引兩圓的切線，則切線長(zhǎng)相等。5，蒙日定理（根心定理）：平面上隨意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸訂交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行；6，反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個(gè)圓共根軸。容斥原理也可表示為：設(shè)S為有限集,則兩個(gè)會(huì)合的容斥關(guān)系公式：A∪B=|A∪B|=|A|+|B||(∩：重合的部分）三個(gè)會(huì)合的容斥關(guān)系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C||A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

-|A∩B-抽屜原理第一抽屜原理原理1：把多于n+k個(gè)的物體放到