2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市高二年級下冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如圖，在長方體中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：如圖：，故選：A.2．直線，若，則a的值為（）A．或2 B．3或 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)直線平行得到，得到解得或，再驗(yàn)證得到答案.【詳解】，，則，解得或，當(dāng)時，，兩直線重合，排除；當(dāng)，驗(yàn)證滿足.綜上所述：.故選：C3．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將其代入已知圓的方程中即可求解.【詳解】設(shè)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，將代入中得，故選：D4．“”是“直線與圓：相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓相交時圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷“”和“直線與圓：相交”的邏輯推理關(guān)系，即可判斷答案.【詳解】設(shè)圓：的圓心到直線的距離為d，則，當(dāng)直線與圓：相交時，，解得，當(dāng)時，一定成立，當(dāng)時，推不出，因?yàn)榭赡苁?，故“”是“直線與圓：相交”的必要不充分條件，故選：B5．已知、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記點(diǎn)，則，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)為直線與圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上時，取最大值，即可得出的最大值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，記點(diǎn)，則，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)為直線與圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上時，取最大值，即，因此，的最大值為.故選：B.6．已知圓：，直線：，則直線被圓截得的弦長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線恒過定點(diǎn)，再確定圓心到直線的距離的取值范圍，再根據(jù)弦長公式可求解.【詳解】由得，，由解得，所以直線恒過定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，，當(dāng)直線過圓心，即即時，有最小值為0，當(dāng)直線時，有最大值為，所以，所以弦長等于，故選:D.7．方程表示圓，則該圓半徑的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)配方法，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以所以有故選：B8．若曲線與直線：有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線過的定點(diǎn)，再在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線和直線，借助圖形計算作答.【詳解】曲線，表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半圓，半圓弧端點(diǎn)，直線：恒過定點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出半圓及直線，如圖，當(dāng)直線過點(diǎn)A時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，，當(dāng)直線與半圓弧相切（切點(diǎn)在直線PA上方）時，，解得，觀察圖形知，曲線與直線有兩個交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C二、多選題9．已知經(jīng)過點(diǎn)和的直線的傾斜角，則實(shí)數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【分析】根據(jù)斜率公式求解.【詳解】由題可得，所以，結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù)的可能取值有11,12,13，故選:ABC.10．已知空間三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．

【答案】CD【分析】由題設(shè)計算出相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；根據(jù)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，可判斷B；根據(jù)向量模的計算可判斷C；根據(jù)向量的夾角公式可判斷D.【詳解】由，，，可得，故，故A錯誤；由,可得，即不平行，B錯誤；由，故，C正確；由,可得，D正確，故選：11．已知圓：，，.若圓上存在點(diǎn)P使，則正數(shù)m的可能取值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到，再根據(jù)的幾何意義得到，從而得到答案.【詳解】圓，圓心，半徑，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)楸硎緢A上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，，所以，即，故選：.12．圓和圓的交點(diǎn)為、，則有（

）A．公共弦所在直線方程B．線段中垂線方程C．公共弦的長為D．為圓上一動點(diǎn)，則到直線距離的最大值為【答案】AB【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系為相交，將兩圓方程作差可得出公共弦所在直線方程，可判斷A選項(xiàng)；求出線段中垂線的方程，可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理求出，可判斷C選項(xiàng)；求出到直線距離的最大值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，則，所以，圓與圓相交，對于A選項(xiàng)，將兩圓方程作差可得公共弦所在直線方程為，即，A對；對于B選項(xiàng)，由圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分線段，，所以，線段的垂直平分線方程為，即，B對；對于C選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以，，C錯；對于D選項(xiàng)，為圓上一動點(diǎn)，則到直線距離的最大值為，D錯.故選：AB.三、填空題13．已知向量，，，共線且方向相反，則__________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，共線且方向相反，所以設(shè)，即可得解得或（舍），所以,故答案為:.14．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為__________.【答案】或【分析】對兩坐標(biāo)軸上的截距是否為零進(jìn)行分類討論，再利用待定系數(shù)法即可求得直線方程.【詳解】若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，則直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以直線方程可以寫為，即；當(dāng)截距不為零時，不妨設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得，即；綜上可知，直線方程為或.故答案為：或15．圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線x＋y＝1的距離，由此得到關(guān)于的方程，解方程即可求出圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】因?yàn)樗髨A的圓心在直線y＝－2x上，所以可設(shè)圓心為，半徑為，由題意知，，又圓C與直線x＋y＝1相切，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，所以，解得，，所以所求圓C的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式；考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力；熟練掌握點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.16．已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，直線的方程是__________.【答案】【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的斜率，分析可知當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離最大，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離最大，此時直線的方程為，即.故答案為：.四、解答題17．在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)在中，利用正弦定理可得：，結(jié)合角的取值范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，得出，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題設(shè)知，，所以；（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得，所以.18．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.(1)求證：平面；(2)若二面角的余弦值是，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，先證明面，面，再由面面平行的判定定理，得到面∥面，由面，即可證明平面；（2）以A為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】（1）連.連，連，∵，，∴.又面，面.∴面.∵四邊形是平行四邊形，∴，面，面，∴面，∵，面，∴面，面，∴面.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，即，∴，易知平面的法向量.由二面角的余弦值是，則，又，解得，∴.又，，即點(diǎn)到平面的距離為.19．已知圓：.(1)若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2，求直線的斜率；(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓的弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)在直線上運(yùn)動，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）依題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為直線斜率不存在時，直線方程為，此時與圓C相離，（舍）直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則，∴，又解得（2）設(shè)，，所以當(dāng)最小時，最小，又所以由得，化簡得，所以點(diǎn)為直線的動點(diǎn)，故當(dāng)CP與直線垂直時，取最小值，∴，∴.20．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且.(1)求角A；(2)若為銳角三角形，邊，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)法一：由正弦定理將邊化角，再化簡即可得到角A；法二：由余弦定理將角化邊，再化簡即可得到角A；(2)由正弦定理用表示出，再代入三角形的面積公式，即可求得面積的取值范圍.【詳解】（1）法一：因?yàn)?由正弦定理得，又，所以.所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以?法二：因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，所?又，所以.（2）由（1）得，根據(jù)題意得解得.在中，由正弦定理得，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?所以所以的取值范圍是.21．如圖①，在等腰三角形中，，，、滿足，.將沿直線折起到的位置，連接、，得到如圖②所示的四棱錐，點(diǎn)滿足.(1)證明：平面；(2)當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在棱上取點(diǎn)滿足，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，在棱上取點(diǎn)滿足，連接、.，所以，，且.在圖①中，，，則，則且，翻折后，在圖②中，且，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，又平面，平面，平面.（2）解：如圖，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、.翻折前，則、、三點(diǎn)共線，易知，則，所以，，，則，，，.在中，.在中，，，.又，，、平面，平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.22．已知兩個定，，動點(diǎn)滿足.設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：.(1)求曲線的軌跡方程；(2)若與曲線交于不同的C，D兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；(3)若，Q是直線上的動點(diǎn)，過Q作曲線E的