黑龍江省哈爾濱重點中學2022-2023學年高二下學期4月月考數(shù)學試題及參考答案

級高二學年下學期4月月考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．曲線f（x）＝在點（1，f（1））處的切線方程為（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y﹣1＝02．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）3．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝6，S8＝18，則S12＝（）A．30 B．36 C．42 D．544．函數(shù)f（x）＝x?ex的最小值是（）A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在5．拋物線y2＝﹣2px（p＞0）的準線經(jīng)過橢圓＝1的右焦點，則p＝（）A．2 B．4 C．8 D．126．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且3f（x）+f'（x）＜0，f（ln2）＝1，則不等式f（x）e3x＞8的解集為（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，ln2） C．（ln2，+∞） D．（2，+∞）7．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為8，P是雙曲線右支上的一點，直線F2P與y軸交于點A，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，若|PQ|＝2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．38．若不等式對任意x∈[2e+1，+∞）恒成立，則正實數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an+1﹣3an+2an﹣1＝0（n≥2，n∈N*），a1＝1，a2＝4，則（）A．S5＝83 B．數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列 C．a(chǎn)n＝3?2n﹣1﹣3 D．Sn＝3?2n﹣2n﹣3（多選）10．設橢圓C：＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動點，則下列結論正確的是（）A．離心率e＝ B．|PF1|?|PF2|的最小值為4 C．△PF1F2面積的最大值為 D．以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y﹣＝0相切（多選）11．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)f（x）只有兩個極值點 B．方程f（x）＝k有且只有兩個實根，則k的取值范圍為﹣e＜k＜0 C．方程f（f（x））＝﹣1共有4個根 D．若x∈[t，+∞），，則t的最大值為2（多選）12．函數(shù)f（x）＝xex﹣ex﹣x的大于0的零點為a，函數(shù)g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x的大于1的零點為b，下列判斷正確的是（提示：ln3≈1.1）（）A．b＝ea B．lnb＝ea C． D．2＜b＜3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，，則a5＝．14．已知f（x）＝x2+2f'（1）x，則f'（1）＝．15．已知函數(shù)f（x）＝3lnx+ax﹣2ax2，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＞0，則實數(shù)a的取值范圍是．16．牛頓迭代法又稱牛頓﹣拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設r是函數(shù)y＝f（x）的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，過點（x0，f（x0））作曲線y＝f（x）的切線l1，設l1與x軸交點的橫坐標為x1，并稱x1為r的1次近似值；過點（x1，f（x1））作曲線y＝f（x）的切線l2，設l2與x軸交點的橫坐標為x2，稱x2為r的2次近似值．一般的，過點（xn，f（xn））（n∈N）作曲線y＝f（x）的切線ln+1，記ln+1與x軸交點的橫坐標為xn+1，并稱xn+1為r的n+1次近似值．設f（x）＝x3+x﹣1（x≥0）的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為；設，n∈N*，數(shù)列{an}的前n項積為Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，則整數(shù)λ的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知等差數(shù)列中，.求數(shù)列的通項；設，求數(shù)列的前項和18.（12分）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與交于兩點，與軸交點為。（1）若，求的方程；（2）若，求19.（12分）已知函數(shù)其中為實數(shù).（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程在上有實數(shù)解，求的取值范圍.20.（12分）斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，與共線.求橢圓的離心率；若(異于)為橢圓上一點，且，求的值。21.（12分）在數(shù)列中，.求數(shù)列的通項；若存在,使得成立，求實數(shù)的范圍.22.（12分）已知是常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點求的取值范圍；求證：參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．曲線f（x）＝在點（1，f（1））處的切線方程為（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y﹣1＝0【解答】解：由f（x）＝，得f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝0，∴曲線f（x）＝在點（1，f（1））處的切線方程為y＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．故選：D．2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）【解答】解：函數(shù)y＝x2﹣lnx+2，x＞0，所以y′＝x﹣＝，令y′＝0，得x＝1，所以在（0，1）上y′＜0，函數(shù)y＝x2﹣lnx+2單調(diào)遞減，在（1，+∞）上y′＞0，函數(shù)y＝x2﹣lnx+2單調(diào)遞增，故選：C．3．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝6，S8＝18，則S12＝（）A．30 B．36 C．42 D．54【解答】解：等差數(shù)列{an}中，S4＝6，S8＝18，所以，解得a1＝，d＝，則S12＝12×+66×＝36．故選：B．4．函數(shù)f（x）＝x?ex的最小值是（）A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在【解答】解：f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex，令f′（x）＝0得x＝﹣1，所以在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（﹣1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為f（﹣1）＝﹣，故選：C．5．拋物線y2＝﹣2px（p＞0）的準線經(jīng)過橢圓＝1的右焦點，則p＝（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：橢圓＝1的右焦點（2，0），拋物線y2＝﹣2px（p＞0）的準線經(jīng)過橢圓＝1的右焦點，可得，解得p＝4．故選：B．6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且3f（x）+f'（x）＜0，f（ln2）＝1，則不等式f（x）e3x＞8的解集為（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，ln2） C．（ln2，+∞） D．（2，+∞）【解答】解：令g（x）＝f（x）e3x，x∈R，∵3f（x）+f'（x）＜0，∴g′（x）＝f′（x）e3x+3f（x）e3x＝e3x（3f（x）+f'（x））＜0，∴g（x）＝f（x）e3x在R上單調(diào)遞減，又f（ln2）＝1，∴g（ln2）＝f（ln2）e3ln2＝8，∴不等式f（x）e3x＞8可化為g（x）＞g（ln2），∴x＜ln2，故選：B．7．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為8，P是雙曲線右支上的一點，直線F2P與y軸交于點A，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，若|PQ|＝2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【解答】解：如圖所示：內(nèi)切圓與AF1，AF2交于R，S點，|PF1|＝|PF2|+2a＝2+|QF1|＝2+|RF1|＝2+|AF1|﹣|AR|＝2+|AF2|﹣|AS|＝2+|SF2|＝2+2+|PF2|，故a＝2，又c＝4，．故選：C．8．若不等式對任意x∈[2e+1，+∞）恒成立，則正實數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：因為恒成立，即txetx≥（x﹣1）ln（x﹣1）＝eln（x﹣1）?ln（x﹣1）恒成立，令f（x）＝xex（x＞0），則f（tx）≥f（ln（x﹣1））恒成立，因為f′（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，所以tx≥ln（x﹣1）在x≥2e+1時恒成立，∴恒成立，令，，令h（x）＝x﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x≥2e+1），則h′（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，∴h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）≤h（2e+1）＝2e+1﹣（2e+1﹣1）?ln（2e+1﹣1）＝1﹣2eln2＝1﹣eln4＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）單調(diào)遞減，故，則正實數(shù)t的取值范圍是．故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an+1﹣3an+2an﹣1＝0（n≥2，n∈N*），a1＝1，a2＝4，則（）A．S5＝83 B．數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列 C．a(chǎn)n＝3?2n﹣1﹣3 D．Sn＝3?2n﹣2n﹣3【解答】解：對于A，∵，a1＝1，a2＝4，∴a3＝3a2﹣2a1＝10，a4＝3a3﹣2a2＝22，a5＝3a4﹣2a3＝46，∴S5＝1+4+10+22+46＝83，A正確；對于B，由得：an+1﹣an＝2（an﹣an﹣1），又a2﹣a1＝3，∴數(shù)列{an+1﹣an}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，B正確；對于C，由B知：，當n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣3）+???+（a2﹣a1）+a1＝，又a1＝1滿足，∴，C錯誤；對于D，，D正確．故選：ABD．（多選）10．設橢圓C：＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動點，則下列結論正確的是（）A．離心率e＝ B．|PF1|?|PF2|的最小值為4 C．△PF1F2面積的最大值為 D．以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y﹣＝0相切【解答】解：由橢圓C：＝1，得a＝2，b＝，c＝1．∴離心率e＝，故A錯誤；|PF1|+|PF2|＝2a＝4，則|PF1|?|PF2|≤，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝2時取等號，即|PF1|?|PF2|的最大值為4，當P為橢圓長軸一個端點時，|PF1|?|PF2|＝3＜4，故B錯誤；當P為短軸的一個端點時，△PF1F2面積的最大值為，故C正確；原點O到直線x+y﹣＝0的距離d＝＝c，則以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y﹣＝0相切，故D正確．故選：CD．（多選）11．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)f（x）只有兩個極值點 B．方程f（x）＝k有且只有兩個實根，則k的取值范圍為﹣e＜k＜0 C．方程f（f（x））＝﹣1共有4個根 D．若x∈[t，+∞），，則t的最大值為2【解答】解：對于A，對f（x）求導得：，當x＜﹣1或x＞2時，f'（x）＜0，當﹣1＜x＜2時，f'（x）＞0，即函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣1，2）上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)f（x）在x＝﹣1處取得極小值f（﹣1）＝﹣e，在x＝2處取得極大值，故A正確；對于B，由選項A知，作出曲線y＝f（x）及直線y＝k，如圖，要使方程f（x）＝k有且只有兩個實根，觀察圖象得當﹣e＜k≤0時，直線y＝k與曲線y＝f（x）有2個交點，所以方程f（x）＝k有且只有兩個實根，則k的取值范圍為﹣e＜k≤0，故B錯誤；對于C，由f（x）＝0得：x2+x﹣1＝0，解得，令f（x）＝t，則f（t）＝﹣1，結合圖象方程f（t）＝﹣1有兩解，，t2＝0，所以f（x）＝t1或f（x）＝t2，因為，所以，所以方程f（x）＝t1有兩解；又因為t2＝0，結合圖象可知：f（x）＝t2也有兩解，綜上：方程f（f（x））＝﹣1共有4個根，故C正確；對于D，因為，而函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，因此當x∈[t，+∞）時，，當且僅當，所以t的最大值為2，故D正確．故選：ACD．（多選）12．函數(shù)f（x）＝xex﹣ex﹣x的大于0的零點為a，函數(shù)g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x的大于1的零點為b，下列判斷正確的是（提示：ln3≈1.1）（）A．b＝ea B．lnb＝ea C． D．2＜b＜3【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝xex﹣ex﹣x的大于0的零點為a，函數(shù)g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x的大于1的零點為b，∴，即aea﹣ea﹣a＝blnb﹣lnb﹣b，對于A：將b＝ea代入右邊＝aea﹣ea﹣a＝左邊，等式成立，故A正確；對于B：由選項A得b＝ea，∴l(xiāng)nb＝lnea＝a，故B錯誤；對于C：由選項A得b＝ea，即a＝lnb，則+＝，又blnb﹣lnb﹣b＝0，即blnb＝lnb+b，∴，故C正確；對于D：∵g'（1）＝﹣1＜0，g'（3）＝ln3﹣＞0，由零點存在性定理得存在x0∈（1，3），使得g'（x0）＝0，∴當1＜x＜x0時，g'（x）＜0，當x0＜x＜3時，g'（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，3）上單調(diào)遞增，又g（1）＝﹣1＜0，g（3）＝3ln3﹣ln3﹣3＝2ln3﹣3≈﹣0.8＜0∴g（x）在（1，3）上沒有零點，故D錯誤，故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，，則a5＝16．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，，∴（q3）2＝2q5，解得q＝2，∴a5＝q4＝24＝16．故答案為：16．14．已知f（x）＝x2+2f'（1）x，則f'（1）＝﹣2．【解答】解：∵f（x）＝x2+2f'（1）x，∴f′（x）＝2x+2f'（1），∴f'（1）＝2+2f'（1），∴f'（1）＝﹣2，故答案為：﹣2．15．已知函數(shù)f（x）＝3lnx+ax﹣2ax2，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＞0，則實數(shù)a的取值范圍是[，）．【解答】解：由題意可知，不等式3lnx+ax﹣2ax2＞0有且僅有一個整數(shù)解，∵x＞0，∴等價于有且僅有一個整數(shù)解，即，令，，當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，在x＝e處取得極大值，直線：過定點，作下圖，∴2是唯一的整數(shù)解，即，解得：，即實數(shù)a的取值范圍是[，）．故答案為：[，）．16．牛頓迭代法又稱牛頓﹣拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設r是函數(shù)y＝f（x）的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，過點（x0，f（x0））作曲線y＝f（x）的切線l1，設l1與x軸交點的橫坐標為x1，并稱x1為r的1次近似值；過點（x1，f（x1））作曲線y＝f（x）的切線l2，設l2與x軸交點的橫坐標為x2，稱x2為r的2次近似值．一般的，過點（xn，f（xn））（n∈N）作曲線y＝f（x）的切線ln+1，記ln+1與x軸交點的橫坐標為x