復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)

復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四一、冪與根1.n次冪:第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四棣莫佛公式棣莫佛介紹2.棣莫佛公式第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí),這些根又重復(fù)出現(xiàn).第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四從幾何上看,第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例1解第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例2解即第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)：2．以方程的根的對應(yīng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積為答案：第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四二、復(fù)平面上的曲線與區(qū)域區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界1.區(qū)域外點(diǎn)第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四鄰域:去心鄰域:第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四內(nèi)點(diǎn):開集:如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G稱為開集.第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四聚點(diǎn)：若點(diǎn)z0的任意鄰域內(nèi)都含有G的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱z0為G的聚點(diǎn).閉集：若G的聚點(diǎn)都屬于G,則稱G為閉集.邊界點(diǎn)、邊界:

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn),這樣的P點(diǎn)我們稱為D的邊界點(diǎn).第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.說明區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四區(qū)域:如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.有界區(qū)域和無界區(qū)域:第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例3解所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為平面上曲線可用復(fù)數(shù)形式的方程或不等式表示，反之亦然.第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例4求下列方程所表示的曲線:解第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四化簡后得第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四2、單連通域與多連通域連續(xù)曲線:由復(fù)數(shù)方程:那么所確定的平面點(diǎn)集稱為復(fù)平面上的連續(xù)曲線.第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四光滑曲線:由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四簡單曲線:

沒有重點(diǎn)的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質(zhì):任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四單連通域與多連通域的定義:復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例5指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域(如圖).第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四是角形域,無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例6解滿足下列條件的點(diǎn)集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.單連通域.第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四是多連通域.不是區(qū)域.第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四例7求滿足不等式的點(diǎn)z所構(gòu)成的點(diǎn)集，作出它的圖形.并指出它是有界還是無界區(qū)域，是單連通還是多連通的？解即整理得從而有第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四即它是以(5/2,0)為圓心,以3/2為半徑的圓周的外部，是無界多連通區(qū)域.Oxy(5/2,0)第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四三、復(fù)球面x2+y2+z2=1球面上點(diǎn)N(0,0,1)稱為北極.，，

復(fù)平面上點(diǎn)z對應(yīng)球面上點(diǎn)P.點(diǎn)P坐標(biāo)為（(1t)x,(1t)y,t）并且第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)P坐標(biāo)為解得反過來，球面上點(diǎn)P(x1,y1,z1)對應(yīng)著球面上的點(diǎn)第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng),記作∞.復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與球面上的北極N相對應(yīng).因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大∞的幾何表示.球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.復(fù)球面的定義第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3.擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.對于復(fù)數(shù)∞來說,實(shí)部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四四、總結(jié)與思考1.冪與方根的計(jì)算.重點(diǎn)是方根的運(yùn)算，注意其幾何意義.2.掌握曲線和區(qū)域的概念，重點(diǎn)是判別不等式或方程代表的是否是區(qū)域、何種區(qū)域.3.重點(diǎn)掌握復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)球面上的點(diǎn)如何對應(yīng).第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四思考：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域和去心鄰域應(yīng)如何定義？第41頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四(a)證明：二次方程az2+bz+c=0(a≠0)當(dāng)a,b,c為復(fù)常數(shù)時(shí)的求根公式為(b)用(a)的結(jié)果求方程z2+2z+(1-i)=0的根.思考：第42頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四(a)證明：(b)方程z2+2z+(1i)=0的根是第43頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四

作業(yè):

P124，6，10(3),(4