復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四提綱傳染病動(dòng)力學(xué)基本概念復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)的基本結(jié)果與推廣個(gè)體、社會(huì)行為反應(yīng)對(duì)傳播行為的影響總結(jié)與展望第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四一、基本概念第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四專業(yè)名詞S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）;R-recovery/removed（恢復(fù)者、移除者）;V-vaccinated(接種者）;E-exposed（暴露但不具有感染性，或稱潛伏）。

SIS模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈但無免疫力（還可以再被感染）（感冒等）SIR模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力（不會(huì)被感染，也不會(huì)感染其它節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于已經(jīng)從傳播網(wǎng)絡(luò)中被清除了）（天花等）SI模型：易染個(gè)體被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，還會(huì)再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？）第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四基本微分方程SIR的微分方程SIS的微分方程更一般的模型，可以考慮人口數(shù)量變化的、傳播率變化的、多種群的、時(shí)間滯后的、加入媒介的、加入接種措施的，等等。第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四二、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四①感染密度（感染水平或者波及范圍）ρ(t)

ρ(t)：傳播過程中,感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。ρ：傳播到穩(wěn)態(tài)時(shí)（）感染密度的值,稱為穩(wěn)態(tài)感染密度。②有效傳播率λ(=/)

λ非常?。ê苄。艽螅?，傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，所有節(jié)點(diǎn)都會(huì)變成健康節(jié)點(diǎn)，這種情況下就認(rèn)為疾病沒有在網(wǎng)絡(luò)上傳播開來，并記該疾病的穩(wěn)態(tài)感染密度ρ

=0。反之，當(dāng)λ足夠大時(shí)，疾病將一直在網(wǎng)絡(luò)中存在而不會(huì)完全消失，只是染病節(jié)點(diǎn)的數(shù)目有時(shí)多有時(shí)少，這時(shí)穩(wěn)態(tài)感染水平（波及范圍）

ρ

0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零向正實(shí)數(shù)變化的那個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有效傳播率稱作傳播閾值（臨界值）λc。它是衡量網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為最重要的參量之一。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上研究的主要參量第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型Ⅰ.均勻網(wǎng)絡(luò)：

Ⅱ.解析模型三個(gè)假設(shè)：①均勻混合假設(shè)：感染強(qiáng)度和感染個(gè)體密度成比例。即：

和為常數(shù)（均勻混合）。不失一般性，可假設(shè)=1，因?yàn)檫@只影響疾病傳播的時(shí)間尺度；②均勻性假設(shè)：均勻網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度都等于網(wǎng)絡(luò)的平均度<k>；③規(guī)模不變假設(shè)：不考慮個(gè)體的出生和自然死亡

第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四運(yùn)用平均場的方法可得：被感染個(gè)體密度ρ(t)的變化率被感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)健康單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的新感染節(jié)點(diǎn)的平均速度，它與有效傳播率、節(jié)點(diǎn)的平均度〈k〉，健康節(jié)點(diǎn)相連概率1-ρ(t)成比例，（其他的高階校正項(xiàng)忽略了）。第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，變化率為0，所以令上式右端為0；

即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；

ρ（ρ-）=0；當(dāng)λ<時(shí)，ρ-必大于0，所以ρ=0；當(dāng)λ

時(shí)，ρ=；所以，即為臨界傳播值，記=。第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)有限的正的傳播臨界值λc。如果有效傳播率λλc，則病毒可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播開來，并最終穩(wěn)定于,此時(shí)稱網(wǎng)絡(luò)處于激活相態(tài)；如果有效傳播率λ<λc，病毒感染個(gè)體數(shù)呈指數(shù)衰減，無法大范圍傳播，最終將不能傳播,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)稱為吸收相態(tài)。第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播Ⅰ.

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)，即：；

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度沒有明顯的特征長度Ⅱ.解析模型無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布是呈冪律分布，因而度具有很大的波動(dòng)性，定義一個(gè)相對(duì)感染密度：度數(shù)為k的感染節(jié)點(diǎn)數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，相對(duì)穩(wěn)態(tài)感染密度記為。平均感染密度：穩(wěn)態(tài)平均感染密度：∝第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四同樣我們能采用MF理論來求的變化率得:度為k的節(jié)點(diǎn)相對(duì)感染密度的變化方程為：

：任意一條給定的邊與一個(gè)被感染節(jié)點(diǎn)相連的概率任意一條給定邊指向度為k的節(jié)點(diǎn)的概率為（與度為k節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)與總邊數(shù)的比值）則任意一條給定邊指向度為k的感染節(jié)點(diǎn)的概率為從而，

第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)穩(wěn)態(tài)條件，可得：把（1）代人（2）可以得到如下自洽方程有一個(gè)平凡解如果該方程要存在一個(gè)非零穩(wěn)定解，需要滿足如下條件：第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：對(duì)于SF（無標(biāo)度）網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度數(shù)具有很大的浮動(dòng)性，當(dāng),導(dǎo)致，從而特別地，作為SF網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)典型例子，考慮BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：(1)增長特性，(2)優(yōu)先連接特性（富者更富，或馬太效應(yīng)）度分布，平均度其中m是網(wǎng)絡(luò)最小度

將平均度，度分布，以及帶入

，可得：

第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四又因?yàn)榈?8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四化簡后得：當(dāng)λ=0時(shí)，有當(dāng)λ>0時(shí)，有結(jié)論：

BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在SIS模型下的只要有效傳播率λ>0，病毒就能傳播開來，并將達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定感染水平，這反映了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四WS網(wǎng)絡(luò)與BA網(wǎng)絡(luò)的比較第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)1.

SIS模型在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個(gè)傳播臨界值。當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過程中逐漸衰減，最終被滅；當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過程中傳播開來，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）：

2.

SIS模型在SF網(wǎng)絡(luò)中，傳播臨界值：只要有效傳播率λ>0，病毒就能傳播開來，并將達(dá)到一穩(wěn)定感染水平值：，這反映了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性。

第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIR模型對(duì)自洽方程求導(dǎo)結(jié)論：疾病閾值也是最終感染范圍為：第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的SIR模型其中輔助函數(shù)：第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于SIR模型，最終感染比例為0！所以根據(jù)恒等式：可以得到以下關(guān)系式，因此由得到第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四類似求SIS中的方法，有結(jié)論類似的方法同樣可以發(fā)現(xiàn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終感染范圍也是：結(jié)論：無標(biāo)度上的SIR模型和SIS模型具有相同的爆發(fā)閾值，以及同等規(guī)模的感染范圍！第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四1.隨機(jī)免疫：隨機(jī)選一部分人進(jìn)行免疫2.目標(biāo)免疫：免疫度大的結(jié)點(diǎn)3.熟人免疫：隨機(jī)找一個(gè)結(jié)點(diǎn)，再隨機(jī)選一個(gè)鄰居進(jìn)行免疫4.環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個(gè)體的所有(距離為k)鄰居5.接觸追蹤：對(duì)與有傳染性個(gè)體的接觸者進(jìn)行跟蹤，然后以一定的概率進(jìn)行免疫免疫策略第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：

在均勻網(wǎng)絡(luò)中：只要，就可保證疾病不在網(wǎng)絡(luò)中傳播開來；SF網(wǎng)絡(luò)中：免疫臨界值約為１，即任給定一λ值，都需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的所有個(gè)體進(jìn)行免疫才能使疾病不傳播開來。說明隨機(jī)免疫只對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)有效（有較小的),而對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)效果很差（=1）。原因：這是由于SF網(wǎng)絡(luò)是異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度呈兩極分化，采用隨機(jī)免疫，哪些最容易傳播病毒的節(jié)點(diǎn)（度大的節(jié)點(diǎn)）不一定獲得免疫。所以，如果對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫的策略，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中幾乎所有的節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。因此對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)這樣的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，普遍認(rèn)為：隨機(jī)免疫策略對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是無效的！第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四其他網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播行為的影響加權(quán)網(wǎng)絡(luò)：YanGang等，CPL,Vol.22,No.2(2005)510社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)：劉宗華等，EPL,72,315,2006層狀網(wǎng)絡(luò)：鄭大昉等，PhysicaA,352,659,2006具有地理效應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)：許新建等，PRE,Phys.Rev.E,76,056109,2007第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四其他方面網(wǎng)絡(luò)與傳播共同演化T.Gross,C.J.D.D'Lima,B.Blasius,Phys.Rev.Lett.,96,208701,2006.;T.Gross,B.Blasius,Adaptivecoevolutionarynetworks:areview,J.R.Soc.Interface,5,259-271,2008;T.Gross,I.G.Kevrekidis,Europhys.Lett.82,38004,2008;S.Risau-Gusmsán,D.H.Zanette,J.Theor.Biol.,257,52-60,2009;D.H.Zanette,S.Risau-Gusmsán,J.Biol.Phys.,34,135-148,2008;L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,77,066101,2008.L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,81,046120,2010.人口移動(dòng)：V.Colizza,A.Vespignani,Phys.Rev.Lett.,99,148701,2007.V.Colizza,R.Pastor-Satorras,A.Vespignani,NaturePhysics3,276-282,2007.V.Colizza,A.Barrat,M.Barthelemy,A.Vespignani,InternationalJournalofBif.andChaos.17,2491-2500,2007.M.Tang,Z.H.Liu,andB.W.Li,Europhys.Lett.,87,18005,2009.S.Meloni,A.Arenas,Y.Moreno,Proc.NatlAcad.Sci.USA,106,16897,2009.S.J.Ni，W.G.Weng,Phys.Rev.E,79,016111,2009.VitalyBeliketal,PRX1,011001(2011)第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四三、個(gè)體、社會(huì)行為反應(yīng)對(duì)傳播行為的影響第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四動(dòng)力學(xué)與個(gè)體行為、政府決策的相互關(guān)系示意圖用來刻畫傳染病動(dòng)力學(xué)與個(gè)體行為，政府決策等因素之間的相互影響第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四1.Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,PNAS,100(2003)1564模型：由于接種天花存在著一個(gè)困境，預(yù)防面臨代價(jià)，不預(yù)防也有被感染的風(fēng)險(xiǎn)；另外由于(herdimmunity）群體免疫的作用，如果別人采取了免疫那么我被感染的風(fēng)險(xiǎn)減小，我可以不免疫，但是別人也有這樣的想法，所以這是一個(gè)預(yù)防困境問題。用博弈中的收益（payoff)來描述接種的收益和暫時(shí)不接種的收益：第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四模型假設(shè)每個(gè)個(gè)體采取接種的概率為p,在群體中就有p比例的人選擇接種，此時(shí)對(duì)應(yīng)個(gè)體而言，個(gè)體的平衡點(diǎn)為：對(duì)于整個(gè)集體的最優(yōu)為,代價(jià)C(p):最小。第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四主要結(jié)果（個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)的差距）第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四2.CanInfluenzaepidemicsbepreventedbyvoluntaryvaccination,PLoScomputationalbiology,3(5)(2007)e85模型：流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一個(gè)季度），但是流感又是不斷發(fā)的，因此對(duì)于理性個(gè)體就要不斷做決定是否采取接種疫苗，那么他/她就會(huì)根據(jù)當(dāng)前的爆發(fā)范圍、接種疫苗的范圍、以及以前的成敗史來判斷當(dāng)前是否采取接種。思想：a,上個(gè)季節(jié)采取接種，但是總的接種范圍超過“需要接種范圍”，則下個(gè)季節(jié)接種意愿減??！b,上個(gè)季節(jié)采取接種，但是總的接種范圍低于“需要接種范圍”，則下個(gè)季節(jié)接種意愿增加！c,上個(gè)季節(jié)沒有采取接種，但是沒有被感染，則下個(gè)季節(jié)接種意愿減??！d,上個(gè)季節(jié)沒有采取接種，但是被感染，則下個(gè)季節(jié)接種意愿增加！第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四模型示意圖第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四主要結(jié)果兩種不同的政府補(bǔ)貼引起的不同效果免疫比例p(black)和感染比例f(red)的時(shí)間演化圖第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四3，F(xiàn).Fu,D.I.Rosenbloom,L.Wang,M.A.Nowak,Imitationdynamicsofvaccinationbehavioronsocialnetworks,Proc.R.Soc.B,278,42-49,2011.模型：在流感爆發(fā)爆發(fā)季節(jié)之前，每個(gè)個(gè)體要選擇是否接種流感疫苗：(a),接種，在接下來的季節(jié)不會(huì)被感染，但是要付出V的代價(jià);(b),如果不接種，可能面臨兩種不同的結(jié)果：被感染，付出1的代價(jià)；沒有被感染付出代價(jià)為0！模型示意圖：第38頁，共46頁，2023年，2月2