知識講解-直線、平面平行的性質(zhì)-基礎(chǔ)

直線、平面平行的性質(zhì)【習(xí)標(biāo)掌握直與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；掌握兩平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；．能綜合運用直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理解決相關(guān)問題．【點理【清堂線平的定性399459識解2要一直和面行性文語一條直線與一個平面平行，則過這條線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡為：線面平行則線線平行.符語：若//，，圖語：

，則a要詮：直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述“若線面平行線”用號表示∥

，

則a∥這性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理該定理判斷直線與行時必具備三個條件線a和面行即∥平面和

相交即

）直線a在面，a．三個條件缺一不可，在應(yīng)用這個定理時，要防止出“條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)一切直線的錯誤．【清堂空面平的定性知識講】要二平和面行性文語：果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的線平.符語：若，

，

，a圖語：要詮：（1面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理．（2已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線（則將導(dǎo)致這兩個平面有公共點要三平關(guān)的合化

空間中的平行關(guān)系有線線平行面平行面面平行這種關(guān)系不是孤立的而互相聯(lián)系的它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：證明平行關(guān)系的綜合問題需靈活運用三種平行關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理．有關(guān)線面、面面平行的判定與性質(zhì)，可按下面的口訣去記憶：空間之中兩直線，平行相交和異面．線線平行同方向，等角定理進空間．判斷線和面平行，面中找條平行線；已知線和面平行，過線作面找交線．要證面和面平行，面中找出兩交線．線面平行若成立，面面平行不用看．已知面與面平行，線面平行是必然．若與三面都相交，則得兩條平行線．【典題類一直與面行性例1．四邊形ABCD是平行四邊形，點P是面外點，M的點，在DM上取一點G過G和AP作面交平面于GH．求證：∥．【解析】如圖，連接AC交BD于，接MO∵四邊形ABCD是行四邊形，∴O是AC的點，又M是的點，∴∥OM根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有PA∥平面．∵平面PAHG∩平BDM=GH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，PAGH【總結(jié)升華】利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟確（或?qū)ふ遥┮粭l線平行于一個平面；（2確定（或?qū)ふ遥┻^這條直線且與這個平面相交的平面）確定交線）由定理得出結(jié)論．舉反：【變式江無錫模擬圖面⊥面ABCAC⊥BC∥CB是AE的點MN平面，證N是的點．【答案】詳見證明【證明】∵∥面，PE∥CB∴∥PE，∵M是的點，N是的點

aa例．如圖所示，已知異直線AB、都行平面且、在的兩側(cè)，AC、

分別交于MN兩，求證：

AMND

．【解析如所示連AD交面于連MQMQNQ分是平面ACD平面與的交線．∵∥AB，∴∥MQ，∥．于是

AMDQ，MCDQNB

，∴

AMBNMC

．【總結(jié)升華】利用線面平行的性質(zhì)定理，可以把有的立體問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的平行問題，利用行線截割定理，可以解決有關(guān)線段成比例或三角形的面積比等問題．在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)著力尋找過已知直線的平面與已知平面的交線，有時為了得交線還需作出輔助平面，本例通過連接AD作平面ACD與面，得到交線MQ和NQ舉反：【清堂線平的定性3994593】【變式】已知直線∥面，直線a∥面平面

平面=

，求證

b

．證明：經(jīng)過作個平面，與平面別交于直線和d，∵

a

∥平面

，

，

a

∥平面

，

b∴a∥a∥d∴c∥，又∵d面平∴c∥面又c平面，平面平，∴c∥又∵∥c，∥．

cd【變式】如圖所示，在三棱錐—ABCPA=4BC=6與BC都行的截面四邊形EFGH的長為

l

，試確定

l

的取值范圍．【解析】與、BC平行的截面四邊形應(yīng)二邊平行于PA，另二邊平行于BC故它是一個平行四邊形，

EFBC，EF，理，BCACACGFCF，

，四邊形EFGH的長=2）

BCAF12AFAF+ACAC因為截四邊形EFGH周長l應(yīng)于小于128<l<12.類二平與面行性例3．已知：平面

∥平面

∥平面

，兩條直線

l

，分與平面

，

，

相交于點A，B，和D，E，F(xiàn)如圖

求證：

DEBC

．【解析】連接DC，設(shè)與平面交于點，連接BG，則平面與面、別相交于直線ADBD平面與面分相交于直線GE、．因為

//

，

，所以BGAD，GECF于是，得

DEABDE，．所以．BCGCEFEF【總結(jié)升華】利用面面平行的性質(zhì)定理判定兩線平行的程序是）找兩個平面，使這兩個平分別經(jīng)過這兩線中的一條）判定這兩個平面平行3）找一個平面，使這兩條直線都這個平面內(nèi)）定得出結(jié)論．舉反：【變式】已知

∥平面

，點A∈

，點BD∈

，直線AB，CD交點S且SA=8，，CD=34（1若點在面間則SC=________；（2若點不平面

，

之間，則SC=________．【答案）

（2例4所示

∥平面

∈

∈

別在線段AB上

FD

證：EF∥【解析）ABCD共時，∵

∥

，且平面ABDC

=AC，面ACDB∩

=BD，∴ACBD，∴四邊形ABDC是形或平行四邊形．由

FD

，得EFBD又∵BDEF∴EF∥（2當(dāng)AB，CD異時，作AHCD交

于，∵且面AHDC與平面，交分別為AC，HD，∴AC．∴四邊形AHDC平行四邊形．作FGDH交于，接，于是

FD

．∵

AE，∴．從而∥BH，而BHFDGH

，EG

，∴EG

又FGDH，

，

，∴∥

．∵，平∥又面，∴∥【總結(jié)升華）面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用問題，往往涉及面面平行的判定、線面平行的判定與性質(zhì)的綜合運用．解題時，要準(zhǔn)確地找到解題的切入點，靈活地運用相關(guān)定理來解決問題．如本例的第二種情況：面面平→線線平→平行四邊→線面平行→面面平行線平行．（2由面面平行的定義可知，一個面內(nèi)任意一條直線與另一個平行平面都沒有交點，因而有面面平行的一個重要性質(zhì)：兩個平行平面中的一個平面內(nèi)任意一條直線必平行另一個平面，如本例）中由平面∥出∥便是這一性質(zhì)的靈活運用．舉反：【變式2015年上海陀區(qū)二模）在正方體ABCDACD中，是棱DD的點．1111在棱CD上否存在一點使∥面A若存在指明點F的置若存在請明理由．111【思路點撥】在棱D上存在點，F(xiàn)平面，分別取CD和1111的中點F，G，連接EG，CD，F(xiàn)G，因D∥C∥，D=BC11111所以四邊形BCD為行四邊形，根據(jù)中位線定理可知∥AB從而說明111A，B，G，共面，則面ABE根據(jù)FG∥CCBG，且1=CBB，從而得到四邊形BBGF為行四邊形，則F∥，而F111平面，平ABE，據(jù)線面平行的判定定理可知F∥平面111A．1【答案】詳見證明【證明】在棱D上在點F，使BF∥平面A，111事實上，如圖所示，分別取CD和CD的點F，G連接EGBG，，F(xiàn)G111因D∥，且D，所以四邊ABCD為行四邊形，11111因此D∥B，又EG分為D，的點，所以∥C，111從而∥AB，這說明，，G共面，所以BG面1因四邊形CDD與B皆正方形F，G分為D和CD1111中點，所以FGCC∥B，1且FGCCB，因此四邊形BBGF平行四邊形，所以FBG11而F面BE，面A，故F平面ABE．1111類三線平的定性的合用例．已知正四棱柱CD中M是DD的點．111求證：BD∥面．1【思路點撥】連結(jié)AC于N，連MN．由此利用三角形中位線定理證明BD∥面AMC．1【答案】詳見解析【證明】在正四棱柱—BD中111連結(jié)BD交于，結(jié)．因為ABCD為方形，所以為BD中．

在中因為M為DD中，11所以BD∥．1因為MN面AMC，不含于平面，1所以BD∥面．1舉反：【變式如圖所示知P是ABCD所平面外一點MN分是AB、的點，平面PBC平APD=l．（1求證：

l

∥；（2與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．【解析】方法一）為∥AD，

平面，

平面，所以∥平面PAD．又因為平面PBC平l所以BC∥l（2平行．如下圖（1