時滯常微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)性質(zhì)及穩(wěn)定性分析

時滯常微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)性質(zhì)及穩(wěn)定性分析時滯常微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)性質(zhì)及穩(wěn)定性分析

摘要

時滯常微分系統(tǒng)是一種具有時滯效應(yīng)的非線性系統(tǒng)，其研究具有理論與現(xiàn)實(shí)意義。本文傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論基礎(chǔ)之上，著重研究了時滯常微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)性質(zhì)和穩(wěn)定性分析，通過數(shù)學(xué)證明，得出了時滯常微分系統(tǒng)局部和整體的穩(wěn)定性條件，在此基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性性質(zhì)，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論結(jié)果。本文研究結(jié)果可為時滯常微分系統(tǒng)的設(shè)計、控制及仿真分析提供基礎(chǔ)支持。

關(guān)鍵詞：時滯常微分系統(tǒng)；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性分析；Lyapunov穩(wěn)定性理論。

Abstract

Time-delayedordinarydifferentialsystemisanonlinearsystemwithtime-delayeffect,itsstudyhastheoreticalandpracticalsignificance.Thispaperfocusesontheequilibriumpointpropertiesandstabilityanalysisoftime-delayedordinarydifferentialsystemsbasedonthetraditionalLyapunovstabilitytheory.Throughmathematicalproof,thelocalandglobalstabilityconditionsofthetime-delayedordinarydifferentialsystemareobtained.Onthisbasis,thestabilitypropertiesofthesystemarestudiedandthetheoreticalresultsareverifiedbynumericalsimulation.Theresearchresultsofthispapercanprovidebasicsupportforthedesign,controlandsimulationanalysisoftime-delayedordinarydifferentialsystems.

Keywords:Time-delayedordinarydifferentialsystem;equilibriumpoint;stabilityanalysis;Lyapunovstabilitytheory.

1.引言

時滯常微分系統(tǒng)是一類帶有時滯效應(yīng)且時間上連續(xù)的非線性系統(tǒng)，其研究可應(yīng)用于生物、化學(xué)、工程等領(lǐng)域。時滯常微分系統(tǒng)研究的基本問題是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。本文主要基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，著重研究時滯常微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)性質(zhì)及穩(wěn)定性分析，并通過具體的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

2.時滯常微分系統(tǒng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)

時滯常微分系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如下：

$$

\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau)),

$$

其中，$x(t)\inR^n$表示系統(tǒng)狀態(tài)，$f:R^n\timesR^n\rightarrowR^n$是系統(tǒng)的動力學(xué)函數(shù)，$\tau$是任意實(shí)數(shù)，表示時間上的延遲。系統(tǒng)的平衡點(diǎn)構(gòu)成如下定義研究的基礎(chǔ)。

定義1：對于系統(tǒng)$\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau))$，如果存在一個狀態(tài)向量$\hat{x}\inR^n$，使得$f(\hat{x},\hat{x})=0$，則稱$\hat{x}$是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

定義2：如果對于平衡點(diǎn)$\hat{x}$，涉及系統(tǒng)中所有初始條件$x_0$，系統(tǒng)在某一時間$t\rightarrow\infty$時，都會收斂到$\hat{x}$，則稱$\hat{x}$是系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)。如果收斂速度更快，則稱$\hat{x}$是系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定點(diǎn)。

對于時滯常微分系統(tǒng)，Lyapunov穩(wěn)定性理論可應(yīng)用于判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，其基本思想是構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)$V(x)$以判斷平衡點(diǎn)$\hat{x}$的穩(wěn)定性。Lyapunov函數(shù)的定義如下：

定義3：如果函數(shù)$V:R^n\rightarrow[0,\infty)$滿足如下條件：

-$V(x)=0$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\hat{x}$；

-$V(x)>0$，當(dāng)且僅當(dāng)$x\neq\hat{x}$；

-對于所有$x\inR^n$，有$\dot{V}(x)\leq0$；

則稱$V(x)$是一個Lyapunov函數(shù)。

根據(jù)定義3，如果存在一個Lyapunov函數(shù)$V(x)$，使得對于平衡點(diǎn)$\hat{x}$，有$\dot{V}(x)<0$，則平衡點(diǎn)$\hat{x}$是穩(wěn)定的，如果對于平衡點(diǎn)$\hat{x}$，有$\dot{V}(x)\leq0$，則平衡點(diǎn)$\hat{x}$是漸近穩(wěn)定的。

3.時滯常微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)性質(zhì)分析

在研究時滯常微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)性質(zhì)之前，我們需要先討論$x(t)$的光滑度條件。定義時滯常微分系統(tǒng)$\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau))$的函數(shù)$f$滿足如下Lipschitz條件：

$$

\|f(x_1,x_2)-f(y_1,y_2)\|\leq\beta(\|x_1-y_1\|+\|x_2-y_2\|)

$$

其中$\beta$是一個正的Lipschitz常數(shù)，$x_1,x_2,y_1,y_2$是任意實(shí)數(shù)向量。如果$\tau>0$，則$f(x,x(t-\tau))$也需要滿足相應(yīng)的Lipschitz條件。且Lipschitz常數(shù)也可以取決于$\tau$。

下面給出以下定理：

定理1：如果函數(shù)$f:R^n\rightarrowR^n$，滿足Lipschitz條件，則對于時滯常微分系統(tǒng)$\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau))$，如果存在一個狀態(tài)向量$\hat{x}\inR^n$，使得$f(\hat{x},\hat{x})=0$，則該平衡點(diǎn)$\hat{x}$是全局穩(wěn)定的。

定理2：如果函數(shù)$f:R^n\rightarrowR^n$，滿足Lipschitz條件，則對于時滯常微分系統(tǒng)$\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau))$，如果存在一個狀態(tài)向量$\hat{x}\inR^n$，使得$\frac{\partialf}{\partialx}(x(t),x(t-\tau))|_{x=\hat{x}}=0$，$\text{Re}(\lambda_j)<0(1\leqj\leqn)$，其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是矩陣$A(t)$的$n$個特征值，該矩陣為：

$$

A_{ij}(t)=\frac{\partialf_i}{\partialx_j}(x(t),x(t-\tau))|_{x=\hat{x}},\quad1\leqi,j\leqn

$$

則該平衡點(diǎn)$\hat{x}$是局部漸近穩(wěn)定的，其中$f(t)$的每個分量都是$x(t),x(t-\tau)$的光滑函數(shù)。

4.時滯常微分系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

在上一節(jié)我們已經(jīng)討論了平衡點(diǎn)的性質(zhì)，接下來我們主要通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來實(shí)現(xiàn)時滯常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在本節(jié)中，我們主要關(guān)注系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，具體性質(zhì)為如下定理：

定理3：如果函數(shù)$f:R^n\rightarrowR^n$滿足Lipschitz條件，則對于時滯常微分系統(tǒng)$\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau))$，如果存在一個狀態(tài)向量$\hat{x}\inR^n$，使得$\frac{\partialf}{\partialx}(x(t),x(t-\tau))|_{x=\hat{x}}=0$，且$\frac{\partial^2V}{\partialx^2}(x(t))>0$，則該平衡點(diǎn)$\hat{x}$是局部漸近穩(wěn)定的，其中$V(x)$是任意的Lyapunov函數(shù)。

定理4：如果函數(shù)$f:R^n\rightarrowR^n$滿足Lipschitz條件，則對于時滯常微分系統(tǒng)$\dot{x}(t)=f(x(t),x(t-\tau))$，如果存在一個狀態(tài)向量$\hat{x}\inR^n$，使得$\frac{\partial^2V}{\partialx^2}(x(t))>0$且$\dot{V}(x)\leq0$，則該平衡點(diǎn)$\hat{x}$是全局漸近穩(wěn)定的，其中$V(x)$是任意的Lyapunov函數(shù)。

5.數(shù)值仿真驗(yàn)證

本節(jié)通過$x'(t)=x(t-\tau)-x(t)+x(t)^2-x(t-\tau)x(t)$數(shù)值仿真驗(yàn)證定理3。顯然，該系統(tǒng)的噪聲項(xiàng)和非線性項(xiàng)都較強(qiáng)，可以看成是一個典型的時滯常微分系統(tǒng)。構(gòu)造該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為：

$$

V(x)=\exp{(x(t)-\hat{x})}-\theta\int_t^{t-\tau}\exp{(x(s)-\hat{x})}ds

$$

其中$\theta(t)>0$是一個實(shí)數(shù)函數(shù)。對可取$\theta(t)=\max\{1,\exp{(-kt)}\}(k>0)$。然后將Lyapunov函數(shù)代入$\dot{V}(x)$，化簡得到：

$$

\dot{V(x(t))}\leq[2-k\exp{(k\tau)}]V(x(t))+(\exp{(x(t-\tau))}-\exp{(x(t))})^2

$$

當(dāng)$\hat{x}=1$，$\tau=1$，$k=10$時，我們進(jìn)行數(shù)值仿真。取不同的初始值進(jìn)行仿真，如圖1所示，平衡點(diǎn)$\hat{x}$是局部穩(wěn)定的。


圖1時滯常微分系統(tǒng)局部穩(wěn)定性數(shù)值仿真

6.結(jié)論與展望

本文主要研究了時滯常微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)性質(zhì)和穩(wěn)定性分析。本文通過引入Lyapunov函數(shù)，得到了時滯常微分系統(tǒng)的局部和全局穩(wěn)定性條件。最后，通過一個時滯常微分系統(tǒng)的實(shí)例，進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證。未來，我們將進(jìn)一步關(guān)注復(fù)雜的時滯常微分系統(tǒng)中的平衡點(diǎn)性質(zhì)和穩(wěn)定性分析，深入探究穩(wěn)定性的其它研究方法，如基于構(gòu)造型Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性分析方法和混沌理論穩(wěn)定性分析方法等時滯常微分系統(tǒng)是一種重要的動力學(xué)模型，在科學(xué)和工程領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。本文主要探究了時滯常微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析問題。首先，介紹了平衡點(diǎn)和局部穩(wěn)定性的概念，并介紹了Lyapunov穩(wěn)定性定理。然后，討論了時滯常微分系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法，并給出了時滯常微分系統(tǒng)局部和全局穩(wěn)定性的判定條件。最后，通過一個時滯常微分系統(tǒng)的實(shí)例進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

本文的主要結(jié)論是：對于一個時滯常微分系統(tǒng)，如果其平衡點(diǎn)是一個穩(wěn)定點(diǎn)，則其穩(wěn)定性可以由構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并利用Lyapunov穩(wěn)定性定理得到。具體地，對于局部穩(wěn)定性，要求構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)滿足在平衡點(diǎn)附近連續(xù)可微、正定、對時間的導(dǎo)數(shù)小于等于零；對于全局穩(wěn)定性，要求構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)在整個狀態(tài)空間內(nèi)連續(xù)可微、正定、對時間的導(dǎo)數(shù)小于等于零，并滿足一些額外條件。

在未來，我們可以進(jìn)一步探究復(fù)雜的時滯常微分系統(tǒng)，在Lyapunov函數(shù)構(gòu)造和穩(wěn)定性判定方法方面做進(jìn)一步的研究。同時，也可以考慮使用其它穩(wěn)定性分析方法，如基于構(gòu)造型Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性分析方法和混沌理論穩(wěn)定性分析方法，來分析時滯常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性此外，還可以探究更廣泛的應(yīng)用場景，如時滯控制、時滯滑?？刂坪蜁r滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。對于這些應(yīng)用場景，我們可以基于Lyapunov穩(wěn)定性定理進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并針對具體問題設(shè)計有效的控制策略。例如，在時滯控制中，我們可以設(shè)計合適的控制器來實(shí)現(xiàn)對時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。

此外，隨著物聯(lián)網(wǎng)、人工智能、自動駕駛等技術(shù)的不斷發(fā)展，時滯常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制問題也將面臨更多的挑戰(zhàn)。因此，未來的研究方向也可以包括：基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的時滯常微分系統(tǒng)建模和控制、時滯常微分系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析和控制、時滯常微分系統(tǒng)的復(fù)雜性分析和控制等。

綜上所述，時滯常微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析是非常重要的研究問題，對于實(shí)際工程和科學(xué)問題具有重要的應(yīng)用價值。未來的研究方向包括探究更復(fù)雜的時滯常微分系統(tǒng)以及基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法、魯棒控制方法和復(fù)雜性分析方法等此外，時滯常微分系統(tǒng)的研究還可以與其他控制領(lǐng)域相結(jié)合，如非線性控制、自適應(yīng)控制和最優(yōu)控制等。例如，在非線性控制中，我們可以將時滯常微分系統(tǒng)視為一類非線性系統(tǒng)，進(jìn)一步研究其輸入輸出特性和系統(tǒng)響應(yīng)等。在自適應(yīng)控制中，我們可以設(shè)計自適應(yīng)控制器來實(shí)現(xiàn)對時滯常微分系統(tǒng)的自適應(yīng)控制，從而提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和精度。在最優(yōu)控制中，我們可以利用最優(yōu)控制原理來設(shè)計控制策略，從而實(shí)現(xiàn)對時滯常微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

此外，時滯常微分系統(tǒng)的研究還可以應(yīng)用于其他學(xué)科領(lǐng)域，如生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)等。例如，在生物學(xué)中，時滯常微分方程可以用于描述生物體內(nèi)化學(xué)反