邊界單元法基礎(chǔ)(直接法講義)剖析

邊界單元法基礎(chǔ)(直接法)近年來在邊界法方面人們發(fā)表了大量的文章和著作。這些方法是以不同的名稱而提出來的，如“邊界積分方程方法”“邊界積分邊界單元法簡稱BEM是七十年代興起的一種新的計算方法。它將邊界上的廣義位移和廣義力作為獨立變量且同時用滿足場方程的奇異函數(shù)(源函數(shù))作為加權(quán)函數(shù)。所以，它是一種特殊格式的加權(quán)余量法。邊界元法只需將求解域的邊界劃分成單元，故使求解問題的維數(shù)降低，如三維問題可轉(zhuǎn)變成二維問題求解。二維問題可化為一維問題。因而，輸入數(shù)據(jù)大為減少，計算時間縮短。由于它只對邊界離散，故離散誤差僅為來源于邊界，而域內(nèi)變量可由解析式的求域內(nèi)變量時，只須改變其數(shù)量和坐標(biāo)位置和有限元法一樣，邊界元法可廣泛地用來解決各種工程問題，如彈性力學(xué)、斷裂力學(xué)、塑性力學(xué)、流體力學(xué)、溫度場和電磁場邊界元法分為直接法和間接法。直接法是用物理意義明確的變量來建立積分方程，其中未知函數(shù)就是所求的物理量在邊界上的值；間接法是用物理意義不一定很明確的變量來建立積分方程，如位勢問題中用單層位勢和雙層位勢表示物理量。本部分著重敘述在用加權(quán)余量法建立積分方程時，所使數(shù)學(xué)上是作為微分方程的特殊的非齊次解定義的，它在每個問題上分別具有不同的物理含義。求這個解，特別是便于解析的形式，數(shù)學(xué)教科書中有所推導(dǎo)，工程技術(shù)人員可直邊界元法另一個問題是，代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣一般是非對稱的，且非零系數(shù)矩陣為滿秩矩陣，這是由于邊界點與全部邊界單元有關(guān)得出的，編程序時需要注意這一點。我們先介紹位勢問題的邊界單元法公式。這些基本概念對任何其它工程問題是類似的。然后再介紹利用邊界元法求解彈性體受力分析問題。這里強(qiáng)調(diào)的是方法在工程中的應(yīng)用。作為有限元法數(shù)值法的一個補(bǔ)充。二、泊松方程的邊界單元法1．積分方程的建立和基本解為了說明邊界單元法的積分方程是如何由加權(quán)余量法推導(dǎo)得來的，我們以泊松方程為例來闡述其全部求解過程，這對了解其它問題的邊界元法求解是有益的?？紤]勢函數(shù)φ。它在域內(nèi)滿足微分方程，即(9-1)在邊界上滿足邊界條件，即?0?n(在上)0 0(9-2)=+0q可以證明，對于泊松方程或拉普拉斯方程()，一般加權(quán)余量表示式為f=0 對式(9-3)左邊第二項進(jìn)行分部積分，即 (9-4)式中右邊第一項的被積函數(shù)形式稱愛因斯坦求和約定，即?0?0*?0?0*?0?0?0*?0?x?x?x?x?x?x?x?x?x?x?x?nj(?0?0*)d=j0(20*)dj0?x?x?nkk把上式代入式(=+，把左右兩邊界積分合并時，得q0q0q0(9-5)解就是滿足下列方程(9-6)取p點為坐標(biāo)原點，并把式(9-6)寫成dr2rdr(9-7)(9-8)r為p點到q點之間的距離。方程(9-6)或++=0dr2rdr(9-7)的解稱為拉普拉斯方程的基本解。在式(9-7)中，當(dāng)時，則為r0(9-9)(9-10)r=0時的(9-11)(9-12)p為圓心，以ε為半徑作一小圓，將式(9-10)代入式(9-12)并c)0式(9-14式(9-14)即為二維拉普拉斯問題的基本解。由式(9-11)得C=C (9-14)22r(p,q)0*=一22r(p,q)同理可求得三維拉普拉斯問題的基本解為0(p)0(p)+jp0*d業(yè)+j0q*dr+j0q*dr(9-15)現(xiàn)在根據(jù)式(9-5)來建立積分方程。由于?0q=q業(yè)rrq0rrq0=jq0*dr+rrq0 考慮時，可寫成=+q0項外，其余都是邊界積分表達(dá)式，故稱積分下面我們來建立邊界解的積分表達(dá)式。如果在式(9-16)中把內(nèi)點p取到邊界上P點(三維舉例)，如圖9-3所示。這時，為了式(9-17)右端第二工面當(dāng)Tq c當(dāng)時，而式(9-17)右端第一項仍為c)0rq〈jrq-rc0dr卜=jrq0dr式(9-16)右端第一項在上積分同樣分分，即和。而rqrqrq而r0所以，把P點取在邊界上時，則式(9-16)為jf0*d+0(P)+j0d+j0dq(9-18)0泊松方程的邊界解公式。它把邊界上的函數(shù)值與邊界上的導(dǎo)數(shù)值通過基本解的邊界積分之間的關(guān)系聯(lián)系起來了。如果，即為拉普拉斯方程的邊界解公式，對于光滑邊界，即為f=式，對于光滑邊界，即為0(P)+jrq0*d+jr00*d=jrqq0*d+jr0q0*d或者寫成一般式為(9-19)(9-20)C(P)是與P點處的邊界幾何形狀有關(guān)的常數(shù)，如圖9-4 為邊界點P處的邊界切線之間的夾。1。1CP組由上面推得了兩個關(guān)系式，(i)即式邊界上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值求得之后，即可求出域內(nèi)任一點的函數(shù)值。(ii)即式(9-20)，得到邊界上任一點的函數(shù)值與邊界上其它點函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的關(guān)系。分為邊界單元來求邊界上的函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)以二維問題為例，離散方案一般有三種 (b)線性單元，(c)二次單元。所謂常值單元即在單元中函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值均為常數(shù)，用中個單元具有兩個節(jié)點，用節(jié)點值對對函數(shù)作線性插值。二次邊界單元，每個單元有三個節(jié)點，函數(shù)和導(dǎo)數(shù)在單元內(nèi)作二次變化，下面用常值單元將邊界解公式化成節(jié)點對于0節(jié)點P，式(9q-20)可寫為i(a)常值單元；(b)線性單元；(c)二(9-22)00的任意點。上的積i分與點P和單元有關(guān)iiiGij=jr0*(,Q)drJ| 0*0*q*=式(9-23)亦可求得。于是式8n(9-22)可寫成2iijjijj (94)j=1ijjijjj=1(95)1H=H1ijij2(9-26)把式(9-25)寫成矩陣形式，則為H=H?ijijH0=GQ=2n1H=2n1HH(9-27H垐HH垐H||||||||H23H?2n|(9-28C=|(9-28； )|||)|||l1l2llll1lnl1|rq(邊界上導(dǎo)數(shù)值給定)。給在q(邊界上導(dǎo)數(shù)值給定)。給在上有個qrrn2待求，在上有個2rrn0「HHH+HH|11l2ll2l1n「HHH+HH|11l2ll2l1n|H21HH|||H|HHH|||H|HHHlHHn1HH)|J已知||q||||ql||q|]「q]GGlGG|2|q||||ql||q|]「q]GGlGG|212lG2|2||l |121lnll|||nl1把式(9-30)簡寫為2|| (9-31) (9-33)AX=AX=FA=[GH]X=[qqq0ll+10]TnF=[H0+GQ]在式(9-33)中X中包含有n個待求的2未知函數(shù)值0(j=l+1,l+2,,n)和n1個待求的未知j中有n1個函數(shù)值0j(j=1,2,,l)和n2個導(dǎo)數(shù)值j稀疏的非對稱的矩陣，與有限元系數(shù)矩陣Kj我們把式(9-16)(這里)改寫為離散形式，即f=0(9-34)00是的系數(shù)，它是在單HiiG元ii上積分得到H0(P)iiii邊界單元的兩端點i的坐標(biāo)分別是(x1，y1)和 pii由式(9-26)及(9-23)第一式知，對光而(9-35)H=H?+1iiii2jii?r?r=0于是?nii是1H上積分的。由式iG=j0*d(j=i)把拉普拉斯方程ii基i本解式(則9-14)代入，(21ln(i中點，在=0ijij1122r=rd=dr=rdr=r=si1122邊界的長度。代入到式(9-36)中，則i(9-37)iir2siir2sij的任意點，和G的計i算，可采用數(shù)值積j分ij(如高斯四H點ij積分)進(jìn)行。我們先導(dǎo)出數(shù)值?n??n?r?n2"rr2"r2由式(9-23)第一式，得H=H?=jq*drijijrjjr故ijijij圖9-9P到的垂直距離ii把式(9-38)代入式(9-23)，得ij41h2ijH=sjj+ij41h2ij由圖9-9所示，有ih=(xx)cos+(yy)sinijiiii(xx)(yy)(yy)(xx)=i1i21(xx)2+(yy)299ir譺1212r1r和r2r11i1i22i2ii1iij2iG的計算可由式(9-23)第二式得，即ijijTj 由式(9-39)和(9-41)所表達(dá)H和Gijij可用高斯四點數(shù)值積分算出，即Hij=-jijHij=-jij 在泊松方程中，有一項域積分，如式項并入到式(9-33)右端項F中去。其作法即B=jf0*(p,q)d=j0*(p,q)fdiieie=1=7A(0*f)Wekkek=1這項積分也可化為邊界積分，在彈性全求解式(9-34)式可計算域內(nèi)0任一點p的函數(shù)值0(p)。如果所求為泊松方程，則需加入域積分項，這時式(9-34)為0(p)=nGq-nH0-7A(0*f)Wijjijjekkjekijij式中，H和Gijij9-41)計算，但其中rij要換成域內(nèi)p點到首先我們分析線性邊界單元。線性單元具有兩個節(jié)點，函數(shù)和導(dǎo)數(shù)在單元內(nèi)作線性為ij=1jj=1j v飛飛jj+1jj+11222j下面分別來求式(9-43)的積分。把式 (9-44)分別代入式(9-43)中去，左邊第二1j2j+11j2j+1jjr1j(0)N2]q*dr|0j1(0)(9-45)令H2=jNq*drijr2j jj0q*dr=[j0q*dr=[H1rijj jq0*dr=[G1式中j(9-49)式中j(9-49)「q]「q]G1=jN0*drijr1j G2=jN0*drijr2j把式(9-47)和(9-48)代入式(9-43)iijiijjijj+1ijjijj+1j=1j=1C0+(H10+H20)+(H10+H20)+ii11i12i22i23=(=(G1q+G2q)+(G1q+G2q)+i11i12i22i23；0=0=0q=qn+11n+11將式(9-51)整理后得G0+(H1+H2)0+(H2+H1)0+(H2+H1)0iilin1i1i22i(j1)ijjHHGGqGGq++(G2+G1)qi(n1)inni1inii1i22i(j1)ijj++(G2+G1)q H=H2H=H2+H1iji(j1)ijiji(j1)ij(9-54)于是，對于節(jié)點P，式(9-43)可寫成H=H2+H1G=于是，對于節(jié)點P，式(9-43)可寫成i1ini1i1ini1 i (9-55)ijjijjj=1j=1AX=F(9-56)下面導(dǎo)出微元的計算，式(9-46)和 (9-49)N1和N2是的d函數(shù)而積分微元是對進(jìn)與總體坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系為(d)2=(dr)2=(dx)2+(dy)2??ddx2dy2x2y2dJdJJx2y2 (9-57)稱為雅可比行列式。如果對總體坐標(biāo)x，yJ也進(jìn)行線性插值，即JxNxNxyN1yjN2yN1yjN2yj1(9-58)式中，(xj，yj)和(xj+1yj+1)分別為邊界單元兩端點的坐標(biāo)值。由式(9-58)可求得dxx-xdyy-ydxx-xdyy-y(9-59)((x-x)2(y-y)2sJ((x-x)2(y-y)2s式中sj為單元r的長度。G=jrjN10*d飛;G=jrjN2v*d飛jj二次單元是在邊界單元內(nèi)的函數(shù)和其導(dǎo)qNqNqNq=[N1N2N3]式中，為的二次函數(shù)，即i 223j0q*dr=[H1rijjjq0*dr=[G1rijjijijijG=jrN10*dr,G=jrN20*drG=jrN3q*drjjj(9-63)(9-64)的總體坐標(biāo)。與線性單元一樣，可寫成(x,y)(x,y)(x,y的總體坐標(biāo)。與線性單元一樣，可寫成112233x=Nx+Nx+Nx)112233 =(y1+y2-2y3)飛+(y2-y1)J將式(9-66)代入式(9-57)，得 (9-67)J=〈(x1+x2-2x3)飛+(x2-x1)2(y1+y2-2y3)飛+(y2-y1)2其它推導(dǎo)與線性單元相同，但在每個單元的首尾節(jié)點(如節(jié)點1和2)，同樣有兩項系數(shù)疊加以組成總體方程組的系數(shù)。為了簡化起見，在彈性力學(xué)的表達(dá)式中用張量表示。所以，首先把用到的張量符號ii求和約定及啞標(biāo)：某指標(biāo)在某一項中重復(fù)出現(xiàn)，且僅重復(fù)一次，則該項代表一個和表y=ax(i,j=1,2,3)iijjy=ax+ax+ax0]0y=ax+ax+ax6ijij=|ij=|216666]66]6|||=0 6=66=36=66=36a=aijji6a=aimmjij eijk=〈|2eijk共代表27個量，有22個量為零。顯然：e=e=e=e=e=eijkkijjkikjiikjjik用指標(biāo)記法表示彈性體的基本關(guān)系時，其平xi=ui,j,ixx=ui,jk用指標(biāo)記法表示彈性體的基本關(guān)系時，其平j(luò)jk?ij+W=0ij (在上)(在上)(9-(9-69) (9-70)ui=ui式中 ；EijijklklC=2G66+G(66+66)ijklijkl12ijklikjliljk(9-74)為(9-75)uGu+u)EaT+W=0k,k,kii,jjj,ij12,ii=2G6+2GTij12kkijijij T=2G(1+)eT,eT=aT6ijijijijijijEa如前所描述的勢問題一樣，我們把平衡方程和兩類邊界條件寫成加權(quán)余量表達(dá)式為j(+W)u*d=j(pp)u*d+j(uu)p*djk,jkkkkkkkk (9-78)p=n*kjjk現(xiàn)在把式(9-71)和(9-72)應(yīng)用到近似(9-79)到式(9-79)中左邊第一項中去，即 有關(guān)溫度影響，可并入體積力的域積分，在(9-81)jk,jkkkkkkkkpuu+jup*dkkp kkp關(guān)它的計算在以后介紹。現(xiàn)在的問題是如何把左邊第一項轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔绶e分。彈性問題的基本解是滿足平衡方程(9-83)**+6i=0jk,jl于是得j(*+6i)ud=j(*)ud+j6iudjk,jlkjk,jklk=j(*)ud+ui=0jk,jklui=j(*)udljk,jk把上式代入式(9-82)，得 p)沿l方向的ipip作用時所產(chǎn)生的位移和表面力。如果考慮i點的三個方向時，則式(9-84)為(9-85)lklkklkklkklkklkupup(9-86)移分量和面力分量。l，k分別代表p點(或i量u(Q)和表面力分量pk(Q)之間的關(guān)系。lp*lk二維彈性平面問題的基本解，可由無限域的式(9-83)導(dǎo)出。對于平面應(yīng)變問題，位移和面力的基本1k 之間的距離。nj是該點的表面法線的方向余k以奇點P為圓心以為半徑作小半圓，如圖eee(9-89)lkkklkklkklk以k ||lk|0|L0101|||| 式(9-89)是邊界上的位移分量uk(P)，uk(Q)和表面力分量pk(Q)之間的邊界積分關(guān)系式。由該式可以求出邊界上的全部未知位移分量和表面力分量。積分進(jìn)行離散化，可離散成常值單元、線性單元及二次和高次單元。該式寫成矩陣表達(dá)(9-92)是即*lkp*plk**u*」；「u]2「p]Lp」P=|Lp」2「p*p*]P*=|1112|Lp1p2」「W] (9下面我們把式(9-92)離散成n個單元，jj由于采用的是常值單元，和勢問題一樣節(jié)點(9-95)ijjP分別為邊界單元的位移i矢量和面力矢量。j|jP*dr=|rij(U*W)WWi(U*W)WWirijj業(yè)(9-96)l積分是把體積力的域積分用加權(quán)數(shù)值積分得出的。當(dāng)然，也可轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔绶e分計算，在后于是式(9-95)可寫成(9-97)CU+xnHU=xnGP+WiijjijjxnHU=xnGP+Wj=ijjijjj=1 ，H=HijijHij ij方程(9-97)或(9-98)對節(jié)點i給出一組方程式(三維是三個，二維是兩個)，Uj與勢問題的區(qū)別在于每個節(jié)點位移和面力有兩個分量(三維問題是三個)，故和G是2Hij×2子矩陣。對所考察的每個節(jié)點ij都寫出式 Hin||UiHH|Hi1CCCiiiiHin||UiHH|Hi1CCCiiii||HCCHC」nininnn「H|11|C21|「H|11|C21||Ci1||C]CHCH|11CHC|11CHCHC|H21||2i2i|H21||2i2i「P]1「P]1||||||||||||||||P22i22i||||||nnn式(9-99)寫成簡化形式為 求解方程組(9-100)以前，必須加入邊界條界條件為在上() 邊界條件給定的，因而式(9-100)中尚有未知項表示矢量X，寫在等式的左邊，其AX=FAX=F4．系數(shù)矩陣中元素H和G的計算ijij首先計算對角線元素Hij和Gii。當(dāng)j=ii由式(9-93)及(9-96)可知把式(9-88把式(9-88)代入上式，考慮到，同(9-102)pp]「H11H12]pp]「H11H12]?rlk?np*lk?n2,1i,2i2i,1i,2H=0ii「ci0]H=||iiL0ci任一方向上剛體有一個單位的位移，則式(9-100)變?yōu)镠I=0對光滑表面。1ci=G的計算2是由式(9-93)和(9-96)中ii u*(dr=dr)-Ls()」|s-Ls()」|ic)i ijijijij把式(9-98)中的和分別代入和G中，計p*u*Hij1?rh=4(1)?n=1?rh=4(1)?n=rJ|J|和H11=-rlh[1-2r+2(r)2]dLijLr,1rjdL|r|dL|r|||dL|r|dL|r|||H22=-rlh[1-2r+2(r)2]dLijLr,2rj dL(9-106)只需將微元代入上式，如sdL=Jd農(nóng)=jd農(nóng)2H11=-psjhx4[1-2p+2(r)2]1WkiiijG分別由式(9-105)和(9-106)計算，但ijj一旦邊界上的位移和面力算出后，就可成離散形式時，則為ijjijjijjkke將將式(9-106)代入幾何方程(9-71)，再下面引出內(nèi)點應(yīng)力和邊界點應(yīng)力的計算由式(9-72)可知，應(yīng)力表達(dá)式為 ijr|lijau*(au*au*ijr|lijau*(au*au*))| 點進(jìn)行的。令?u*(?u*?u*))?u*(?u*?u*)) (9-222)kijkijkijkijk,jj?u=p[(3-4,jj?u=p[(3-4p)6r-6r-6r2Crkk,jjk,kjk,k*?61*?61jj?r(r)=-jk+?r(r)=-jk+rrj?61?x,krr,k?61?x,krr,k,j 式中，如果將下標(biāo)式中，如果將下標(biāo)j+2rrr],k,k,jrr=1?u*p(1-2p)?k將式(9-113)的下標(biāo)l換為i，便得 ?u=[(34)6r6r6r+2rrr]如將式j(luò)(9-113)的下標(biāo)l和j分別換為j和i，就可以得到(9-116)?x2Grik如將式j(luò)(9-113)的下標(biāo)l和j分別換為j和i，就可以得到(9-116)?u*jk=[(34)6r6r6r+2rrr]?u*?x2Grjk,iij,kik?x2Grjk,iij,kik,j,i,j,k D=[(12)(6r+6r6r)+2rrr]kijrik,jjk,iij,k,i,j,k「aa])|「aa])|j現(xiàn)在推導(dǎo)Skij表達(dá)式。在p點將p*對xj微分得lkjjanax,l,karanax,l,kj ax,l,krjl,kjk,l,l,k,j(2ax,l,krjl,kjk,l,l,k,j?x，ljj?p=?x，ljj?p=〈(2?r[(12)6r6r6r+4rrr]?xr2?nlk,jjl,kjk,l,l,k,j將上面關(guān)系以及前面導(dǎo)出，?r入式(9-118)，得j?(r)??(r)?j [(12)6+2rr]n+(12)(62rr)n(12)(62rr)n}**lkl*l*kjj和i，便得到?p*。將其結(jié)果均代入式(9-10)jjk?xikijr2l?nij,kjk,jjk,i,i,j,kkijr2l?nij,kjk,jjk,i,i,j,k,i,kj,j,kiikjjki,i,jkijk當(dāng)采用常值單元并把式(9-111)寫成離散后的矩陣形工，得任意內(nèi)點p的應(yīng)力為裝ijj裝ijj業(yè)ijijjijjeijkk裝ij1ijD=[Dij1ij2ijD]2ij1p]T2jD；UU[uu]T12，裝，裝，，DSDSS裝22 DDSD裝S S 和||j111L(9n,1,1,1lj+2(1-2r)[1+(r)2]n-(1-4r)n}dL111r2S=2Grl{29rr[1-2r-4(r)2+211L9n,2,1j4rrrn+2(1-2r)(r)2n-(1-4r)n}dL,1,21,122r2S=2Grl{29rr[r-4(r)2+112L9n,2,1j2rr(rn+rn)+(1-2r)(n+2rrn)}dL,1,12,212,1,21r2S=2Grl{29rr[r-4(r)2]+212L9n,1,2j2rr(rn+rn)+(1-2r)(n+2rrn)}dL,2,12,211,1,22r2S=2Grl{29rr[1-2r-4(r)2]122L9n,1,2j+4rrrn+2(1-2r)(r)2n-(1-4r)n}dL,2,12,211r2S=2Grl{29rr[1-4(r)2]+4r(r)2n222L9n,2,2,22j|+2(1-2r)[1+(r)2]n-(1-4r)n}|,222r2 上述公式在編程序計算時，可用4點高D=sj4{r[1-2+2(r)2]}Wk1112k=1,1,1krk111jk=1r,1,1,11111jk=1r,1,1,11,111kr2kd=jdd=jd,=2?nrk邊界上的應(yīng)力在工程結(jié)構(gòu)中往往是感興趣的。邊界上的全部位移和面力求出后，就可以計算邊界上的應(yīng)力。由于邊界上的位移k邊界上的應(yīng)力在工程結(jié)構(gòu)中往往是感興趣的。邊界上的全部位移和面力求出后，就可以計算邊界上的應(yīng)力。由于邊界上的位移uk(Q)沿邊界,上的變化是可以求得的(近似求出可)。再加上物理方程(平面問題為三個)和力的邊界條件(二個)，七個方程正好求出七個未知數(shù)，即三個應(yīng)力和四個位移在邊界上的導(dǎo)數(shù)。具體寫為rijckkGcij)|000n20n10||u|=|u1,c|離心力和溫度載荷。含有體積力的彈性體的邊界積分方程是式(9-86)或(9-89)。由該如果采用在域內(nèi)劃分單元，然后采用數(shù)值積分如式(96-96)那樣，則是不勝其煩的，且所需的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備也較多。如果體積力為常量或無熱源的穩(wěn)態(tài)熱載荷，就可以把體積力的域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。這就充分利用了邊界單元法的優(yōu)點?，F(xiàn)在我們先針對二維問題域積分的積分項在積分方程中為 ki4"Ekirki4"Ekir u*(p,Q)=G-Gkj,ji把式(9-127)代入到式(9-128)中去，得(9-129)kiki,把式(9-127)代入到式(9-128)中去，得(9-129)可以看出式(9-129)與(9-88)只差一個常數(shù)。常數(shù)只表示剛體位移，對計算結(jié)果是無可以看出式(9-129)與(9-88)只差一個常數(shù)。常數(shù)只表示剛體位移，對計算結(jié)果是無把式(9-128)代入到式(9-126)中去，得這個公式似乎復(fù)雜些，但易于轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔绶e下面我們針對幾種常見的體積力把式9-130)轉(zhuǎn)化為邊界積分公式。WWpgpijgj 這就是重力為體積力的體力項轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔绶e把式(9-127)微分后代入式(9-131)中 于是，內(nèi)點邊界積分方程可以寫為(9-133) (1+山)r(1)(Wnr)(9-135) 中去，得到(9-136))求導(dǎo)代入式(9-136)得到 在二維平面情況下，旋轉(zhuǎn)體單位體積所產(chǎn)生的離心力為(9-138)f=po26y令f=po26y把式ij(9138把式ij(9138)代入到式(9-130)中去，得現(xiàn)在對式(9-159(9-139))作如下變換：jkm,ijkm,iikm,mikj,im等代入式(?jki,mjki,mmki,mmjjki,mm?jki,mjki,mmki,mmjjki,mmki,jm??yG 由于是對稱的，方程(9-141)稍加改變，便得gij如重力載荷情形一樣，kLk(9-142)(9-143)應(yīng)力表達(dá)如同式(9-135)，(9-144)ij對二維穩(wěn)態(tài)熱載荷，體積域積分是由溫差所產(chǎn)生的。根據(jù)熱彈性方程的馬克斯威爾-蒂互換定理，得內(nèi)點邊界積分方程為(9-146)lrlkkrlkk1-2p業(yè)ki,iu(p)=ju*plrlkkrlkk1-2p業(yè)ki,i代入式(9-147代入式(9-147)，得由改變整數(shù)虛標(biāo)，于是式(式中，由式(9-128)得u*kiiki,ijj2(1)u*=kiiki,ijj2(1)iijj(9-149)(9-150)k2(1)ki,ijjk2(1)ki,ijj(9-152)k2(1)ki,ijjki,i,jjk2(1)ki,ijjki,i,jj為邊界積分，即(9-153)k2(1)ki,ijki,i,jjWTk2(1)ki,ijki,i,jj這就是由于溫度載荷所產(chǎn)生的邊界積分式。該式也可簡寫為(9-154)把式(9-127)代入式(9-155)，分別得 于是，對于熱彈性方程位移邊界積分表達(dá)式為(9-157)ijkijkkijkijij,mm12EijjV*Tij,mm12Eij 五、三維彈性體的邊界元公式(9-68)~(9-76)諸式，只是其中下標(biāo)的取二維問題是類似的，在此不作重復(fù)。域內(nèi)任二維問題是類似的，在此不作重復(fù)。域內(nèi)任界點位移cul(P)與邊界積分關(guān)系仍為式 1- ?rr=l?x=ll1與二維問題大體是類似的。只是現(xiàn)在自由度增加了，每個邊界節(jié)點有三個位移分量和三分邊界是三維空間域表面，即面積分?？刹捎糜邢拊ㄓ嘘P(guān)插值公式和數(shù)值積分方案進(jìn)在式(9-111)應(yīng)力表達(dá)式中的三階張量D和S分別為kijkij式中，，導(dǎo)數(shù)取在邊界上，。?r?r?x山=4"(1-山)i2．三維體積力的邊界積分式i三維體積力邊界積分公式的導(dǎo)出，與二相應(yīng)于三維基本解的伽遼金張量為 ij4"Eij將上式微分兩次代入式(9-128)，得 ki8E(1)rki,k,iu*(p,Q)=1+{(3ki8E(1)rki,k,i把式(9-163)微分兩次代入式(9-130)用與二維問題類似的方法得應(yīng)力表達(dá)式中的用與二維問題類似的方法得應(yīng)力表達(dá)式中的為 ="="ij1ij8"rm,mi,jj,i1_山ijm,ms,sm1ij8"rm,mi,jj,i1_山ijm,ms,smm(9-167)2m2m,mi,jj,iijji與二維問題一樣，離心力體積力邊界積分也可寫成ij_ym(rg(nr+nr)+(1_2p)(ng+ng))]}2rssmi,jj,iijmjimWi=jPdTkTk(9-16 在穩(wěn)態(tài)熱載荷中，體積力的邊界積分項也可寫為式(9-154)的表達(dá)式，即WT=jPTTdT_jQTTndTkTkTk,jma(1+p)(n_nrr))ijV*ij aE(6)|S=aE" 燃?xì)鉁u輪發(fā)動機(jī)等機(jī)械含有大量的軸對稱體零、部件。這些零、部件用邊界元法分析其結(jié)構(gòu)完整性，會使其輸入數(shù)據(jù)和計算時1．軸對稱體基本方程及伽遼金矢量eF|用圓柱坐標(biāo)表示的軸對體的納維葉方程