第8章 彈性體振動

第八章彈性體振動§8-1概述任何機器的零部件都是由質(zhì)量和剛度連續(xù)分布的物體所組成，也就是說這些零部件都是彈性體。但是在很多情況下，為了使問題簡化，計算簡便，常常將它們簡化成多自由度的離散系統(tǒng)來分析。然而，在有些工程實踐中，卻要求對彈性體振動作嚴(yán)密的分析，這時就不能對它進(jìn)行離散化處理。因此對工程上常用的連續(xù)彈性體（如桿、軸、梁、板、殼，以及它們的組合系統(tǒng)）進(jìn)行振動分析求出它們的固有頻率和主振型，計算他們的動力響應(yīng)，這在實用上和理論研究上都有非常重要的意義。多自由度系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）和彈性體（連續(xù)系統(tǒng)）是對同一個客觀事物（機器零部件）的不同的分析方法，因此它們之間必然存在一定的聯(lián)系和明顯的區(qū)別。(b)(b)圖8-1多自由度系統(tǒng)和彈性體的動力學(xué)模型從動力學(xué)模型上看，多自由度系統(tǒng)是將零部件看成由質(zhì)量、剛度集中在若干點上的離散元件所組成。如圖8-1（。）所示它是把一個零件分成若干段，每段的質(zhì)量分成兩半，分別加在兩端的集中質(zhì)量上。兩個質(zhì)量之間則用不計質(zhì)量、只計剛度的彈性元件相聯(lián)結(jié)。這樣就形成了具有n個集中質(zhì)量（m「m2、??叫）和n~1個彈簧（?、k2、…、外字所組成的n個自由度的集中參數(shù)模型，其廣義坐標(biāo)用振動位移叫（t）表示。彈性體則將零部6件看成由質(zhì)量、剛度連續(xù)分布的物體所組成如圖8-1（b）所示。當(dāng)一個零件的分段數(shù)n-8時，離散系統(tǒng)就變成連續(xù)系統(tǒng)，其橫坐標(biāo)x也從一個離散值（％、有、…％）變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)。因此系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)要用一個由截面位置x和時間t所表達(dá)的二元函數(shù)如x,t）來表示。這就是說，彈性體有無窮多個廣義坐標(biāo)，而且它們之間有一定的相互關(guān)系。從運動方程來看，多自由度系統(tǒng)用一個方程數(shù)與自由度相等的常系數(shù)線性微分方程組來描述；而彈性體則要用偏微分方程式來描述，其階數(shù)決定于所研究的對象和振動形態(tài)。從振動特性來看，多自由系統(tǒng)振動特性的推廣即為彈性體的振動特性；而彈性體振動特性的近似即為多自由度系統(tǒng)的振動特性。在本章中，我們只研究彈性體的最簡單情況，即等截面的桿、軸的振動，而且假設(shè)彈性體的質(zhì)量和剛度均勻分布，在振動過程中彈性體不產(chǎn)生裂紋，即要求廣義坐標(biāo)的變化是連續(xù)的。此外，我們的討論只局限在線性范圍內(nèi)，即認(rèn)為彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律，而且是均質(zhì)各向同性的。

§8-2桿的縱向振動8.2.運動方程假設(shè)有一根均質(zhì)等截面的棱柱形桿，桿長為l截面積為A,質(zhì)量密度為p,拉壓彈性模量為E。取桿件中心線為x軸，原點取在桿的左端面見圖8-2a。假設(shè)在振動過程中桿的橫截面只有x方向的位移，而且每一截面都始終保持平面并垂直于x軸線。當(dāng)桿件處于平衡狀態(tài)，桿上各截面的位置用它們的x坐標(biāo)來表示。當(dāng)桿件振動時，x截面的縱向位移則用廣義坐標(biāo)來u表示。顯然對應(yīng)于一個x就有一個u，而不同時間內(nèi)每個u也在變化，因此^^是乂和t兩個變量的函數(shù)。u=u(x,t)oSa)2uAdxit2SoSa)2uAdxit2SSdx—xb)圖8-2棱柱形桿的縱向振動現(xiàn)在，我們在x截面處取桿件上一個微小的單元體來研究見圖8-2b),分析其受力狀態(tài)。設(shè)x截面的振動位移為u,則在x+dx截面處的振動位移就應(yīng)該是u—dx。又設(shè)xx截面上的拉壓內(nèi)力為S,則x+dx截面上的拉壓內(nèi)力應(yīng)為S—dx。這一微元段所產(chǎn)生的x慣性力是Adx-^。根據(jù)達(dá)倫培爾原理可以得出以下關(guān)系式：t2TOC\o"1-5"\h\zS 2ii ,(S—dx)SAdx 0 (8-1)x t2根據(jù)虎克定律： E。其中微元段的軸向應(yīng)變量8為：(u—-dx)ux udx x故用微元段的軸向應(yīng)力a來表示其軸向拉壓內(nèi)力S時，可得：SAAEEA史 (8-2)x將(8-2式代入(8-1式得：EA寸dxA號0

或式中:d或式中:d2upd2u

dx2EQt282u!Q2uQx2 a28t2Ea=■—P(8-3)(8-4)(8-3)式即為等截面桿縱向自由振動的運動方程，它是一個二階齊次偏微分方程式，也就是偏微分方程理論中著名的兩階波動方程。式中a可以證明是聲波在桿件中沿x軸的傳播速度，對一定的桿來說，a是個常數(shù)。8.2.2固有頻率和主振型如前所述，通過求解系統(tǒng)自由振動的運動方程，可以求出系統(tǒng)的固有頻率和主振型?，F(xiàn)在要求桿件縱向振動的固有頻率和主振型，就要求解(8-3)式所示的偏微分方程式。我們現(xiàn)在不用偏微分方程的理論來求(8-3)式的解，而是根據(jù)對多自由度振動系統(tǒng)的了解，仍然用待定系數(shù)法來尋找它的簡諧振動的特解.如前所述，多自由度系統(tǒng)自由振動的解為，糖="蜘當(dāng)自由度數(shù)〃一8時，上式中的振動位移的列矢量^｝就變成截面位置坐標(biāo)X和時間t兩個變量的連續(xù)函數(shù)u(x,t)。上式中的振幅列矢量(即主振型)山'也就變成了連續(xù)函數(shù)U(x),因為在彈性體振動過程中，對應(yīng)于每一個截面位置坐標(biāo)x就有一個振幅U，但由于彈性體截面有無窮多個，所以U也有無窮多個，故不能象多自由度系統(tǒng)那樣用n個振幅組成的列矢量來表示，而只能用一個未知函數(shù)U(x)來表示。顯然U(x)表示了桿件縱向振動的振型，故稱其為振型函數(shù)。此外，還應(yīng)有一個時間函數(shù)由中(t)，它表示桿件的振動方式。通過以上分析，我們可以推斷出桿件縱向振動的解應(yīng)具有以下形式：TOC\o"1-5"\h\zu(x,t)=U(x)中(t) (8-5)將上式分別對x和t求二階偏導(dǎo)：Q2u”、d2U(x) =①(t) Qx2 dx2Q2u d2①(t) =U(x) Qt2 dt2將以上兩式代入(8-3)得：中(t)Q=Xu(x)史迎dx2 a2 dt2應(yīng)用分離變量法，則上列偏微分方程的形式可以改變?yōu)椋?/p>

a2d2U(x) 1d2①0)U(x) dx2 ①(t) dt2上式左邊僅是坐標(biāo)x的函數(shù)，右邊僅是時間t的函數(shù)，因此它們必須等于同一個常數(shù)上式方能成立。若假設(shè)這一常數(shù)為-32(因為只有把常數(shù)設(shè)為負(fù)值，才可能得到滿足邊界n條件的非零解)，則(8-6)式就變成下列兩個常微分方程式：d2①(t)(8-7)(8-8)(8-9)(8-10)d')+3n①(t(8-7)(8-8)(8-9)(8-10)d2U(x)32 +—^U(x)=0顯然，(8-7)、(8-8)式的解分別為：中(t)=A]cos3t+B]sin3tU(x)=Ccos^x+dsin^*x1a1a式中，3n即為桿件縱向自由振動的頻率，也就是桿件的固有頻率。U(x)則是桿件縱向自由振動的振型函數(shù)，即主振型。將(8-9)、(8-10)式代回(8-5)式，即可得桿件縱向自由振動的解:cos3t+B]sin3t)u(x,t)=(Ccos3t+B]sin3t)1a1a1=A(Cco^-*-+Dsin^^)sin(3t+^)1a1a(8-11)=(Ccos—*-+Dsi^-*—)sin(3t+^)

a an(8-11)式中C、D、3n、中為四個待定常數(shù)，要由桿件的兩個邊界條件和振動時的兩個初始條件來決定?，F(xiàn)以桿件兩端是由自由端的情況為例來說明求固有頻率及主振型的方法。dudx=0x=ldudx=0x=l(8-12)久=0dxx=0將以上兩個邊界條件分別代入(8-11)式得：3=D—nsin(3

ax=0=(D3.cos3nl

aa

x=ldudx(8-13)一C^^sin^^)sin(3t+中)=dudx(8-13)因為對于任何t值，以上兩式都必須成立，所以sin(3t+中片0。因此，以(8-12)式得n到D=0。這時，不能再令C=0,否則就得到u(x,t)=0的非振動解。從(8-13)式可以看出，要使u(x,t)有非零解，就必須有：(8-14)上式就是桿件縱向振動的頻率方程，由此可以求得無限多階固有頻率。因為由(8-14)式可得:故桿件的固有頻率為:①ni①ni=TF"(i2，"，")(8-15)對應(yīng)于上述無限多階固有頻率，就有無限多階主振型:(8-16)mx(8-16)U.(x)=C,cos—1~令i令i=1、2、3分別代入(8-15)與(8-16)式，即可求得具有自由端的桿件縱向振動時的前三階固有頻率和相應(yīng)的主振型。第一階固有頻率和主振型為:n1M'pUn1M'pU1(x)=q兀Xcos第二、三階固有頻率和主振型為:U2(x)=C2cosi④n3④n3l\PUJx)=C3cos^^這三階主振型表示在圖8-3這三階主振型表示在圖8-3之中，可以看出，隨著頻率階數(shù)的升高，節(jié)點數(shù)也在增加。cc2圖8-3桿件縱向振動的主振型cc2圖8-3桿件縱向振動的主振型§8-3軸的扭轉(zhuǎn)振動8.3.1運動方程設(shè)有一根均質(zhì)等截面面軸，長度為1，半徑為，，質(zhì)量密度為P，剪切彈性模量為G，

截面的極慣性矩為Jp。取軸線為x軸，原點取在軸的左端面(見圖8-4)。ypJdx.P dtpJdx.P dt2圖8-4圓軸的扭轉(zhuǎn)振動在軸的x截面處截取微元段dx,并取x截面相對平衡位置的轉(zhuǎn)角。為廣義坐標(biāo)，則在x+dx截面上的角位移應(yīng)為e+西dx。故微元段兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角de為：dx因此微元段上的角應(yīng)變量％-edxdededxde=(e+dedx)-e=dedx

d因此微元段上的角應(yīng)變量％-edxdededxdxdx圓柱形微元段的極轉(zhuǎn)動慣量％為：E&T、EL,d2eT+^—dx=T+GJ pdx2故x截面上的內(nèi)扭矩T為:deT=GJ—

dx單位長度上扭矩的變化量為:dT…d2e—=GJ dx pdx2所以x+dx截面上的內(nèi)扭矩為:(8-17)(8-17)=pJdx

p根據(jù)轉(zhuǎn)動方程式可得:,d2e,—d2e,、

pJdx =(T+GJ dx)-Td2e 八d2ep =G——dt2 dx2b=嚴(yán)VP則(8-17)式可改寫成:

2u 12ux2 b2 t2上式就是等截面圓軸扭轉(zhuǎn)自由振動的運動方程。它也是一個二階波動方程。式中，b是扭轉(zhuǎn)波的傳播速度，也是一個常數(shù)。8.3.通有頻率和主振型比較(8-18式與(8-3式可以看出，軸的扭轉(zhuǎn)振動運動方程與桿的縱向振動運動方程的形式完全相同。因此可以按照(8-11式的形式直接寫出(8-18式的解：(x,t)(Acos—nXBsi^^X)sin(t) (8-19)b bn式中A、B、n、 四個待定常數(shù)同樣決定于軸的邊界條件及其振動的初始條件。為了求出軸的扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率和主振型，也必須給出軸的邊界條件?，F(xiàn)在我們以圖5-31所示的一端固定，一端帶有一個圓盤的圓軸為例來說明計算軸系扭轉(zhuǎn)的固有頻率和主振型的方法。設(shè)軸長為l并取軸線為Z軸，圓盤對于軸線的轉(zhuǎn)動慣量為IZ。這個系統(tǒng)的邊界條件是，在固定端轉(zhuǎn)角等于零，帶圓盤這一端則要求軸受到的扭矩M等于轉(zhuǎn)子的慣性力矩。上述邊界條件可用數(shù)學(xué)式表達(dá)如下：1x00(8-20)GJp(一)xxl2IZ(t2)xl(8-21)將(8-20式代入(8-19式可得：A=0將上式代入(8-21式得：GJpBl-^cos-b^lIzB2sin-j*^即ltg丁bJpGIZb*(8-22)若設(shè)圓軸對軸線的轉(zhuǎn)動慣量為I，則有：I1Jp(8-23)將(8-23式代入(8-22式得：ltg十bIb(8-24)IZn1(8-24式即圖5-21所示系統(tǒng)的頻率方程。直接求解這一方程很不方便，一般可用作圖法求解。即令lnb(8-25)(8-26)(8-27)(