浙教版九年級數學下冊單元同步測試題及答案全套

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九年級下冊第1章解直角三角形1．1銳角三角函數第1課時銳角三角函數的概念

基礎題

知識點1三角函數的定義

1．(溫州中考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosA的值是(D)

3A.4

4B.3

3C.5

4D.5

1

2．(湖州中考)如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，則BC的長是(A)

2

A．2

B．8

C．25

D．45

3．在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，則sinC的值是(C)

13

A.B．2C.D.322

4．把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得Rt△A′B′C′，那么∠A，∠A′的余弦值的關系為(A)

A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能確定

5．如圖，在8×4的矩形網格中，每個小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為(A)

1A.3

1B.2

C.32

D．3

6．(樂山中考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，則以下結論不正確的是(C)

AD

A．sinB＝

ABAD

C．sinB＝

AC

AC

B．sinB＝

BCCD

D．sinB＝

AC

47．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，BC＝4，CD＝2.5，則sinA＝．

5

8．如圖，角α的頂點在直角坐標系的原點，一邊在x軸上，另一邊經過點P(2，23)，則sinα＝1

cosα＝，tanα＝3．

2

3，2

知識點2互余兩角的三角函數之間的關系

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊．求：

(1)sinA，cosB；(2)tanA，tanB；

(3)觀測(1)(2)中的計算結果，你能發(fā)現sinA與cosB，tanA與tanB之間有什么關系嗎？(4)應用：

22①在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB＝；

331②在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則tanB＝．

2

解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BCa

∴sinA＝＝，

ABcBCacosB＝＝.

ABc

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BCa

∴tanA＝＝，

ACbACbtanB＝＝.

BCa

(3)由(1)知sinA＝cosB；由(2)知tanA·tanB＝1.

中檔題

2

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanB等于(C)

3

3525A.B.C.5D.5352

11．(攀枝花中考)如圖，點D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則sin∠OBD＝(D)

1A.2

3B.4

4C.5

3D.5

12．等腰三角形底邊長是10，周長是40，則其底角的正弦值是(B)

A.23

B.22

3

C.42

3

D.52

3

13．(菏澤中考)如圖，△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，則△ABC與△A′B′C′的面積比為(A)

A．25∶9

B．5∶3

C.5∶3

D．55∶33

14．如圖，A，B，C三點在正方形網格線的交點處，若將△ABC圍著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則cosB′310的值為．

103

15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．

5

3

解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，

5∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝AD－CD＝4.在Rt△ACB中，

∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝AC＋BC＝41.AC4441

∴sinB＝＝＝.

AB4141

222

2

16．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現將△ABC按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，求tan∠CBE的值．

解：根據題意，得BE＝AE.設CE＝x，則BE＝AE＝8－x.

7222222

在Rt△BCE中，根據勾股定理得BE＝BC＋CE，即(8－x)＝6＋x，解得x＝，

4CE7

∴tan∠CBE＝＝.

CB24

綜合題

17．(金華中考)圖1是一張可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖，此時，點A，B，C在同一直線上，且∠ACD＝90°.圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過程中，△ACD變形為四邊形ABC′D′，最終折疊形成一條線段BD″.

(1)小床這樣設計應用的數學原理是三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性；8

(2)若AB∶BC＝1∶4，則tan∠CAD的值為．

15

第2課時特別角的三角函數值

基礎題

知識點1特別角的三角函數值1

1.cos30°的值等于(B)2

13

A.B.C．1D．324

2．點A(cos60°，－tan30°)關于原點對稱的點A1的坐標是(A)

13

A．(－，)

2313

C．(－，－)23

B．(－

33

，)23

13

D．(－，)22

2

，則以下結論最確鑿的是(C)2

3．在△ABC中，若sinA＝cosB＝

A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是銳角三角形4．若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝

3

，則tanA的值為(D)2

A.

32

B.C．1D.332

3

，則α＝80°．2

5．已知α為銳角，sin(α－20°)＝

6．(紹興中考)如圖，已知點A(0，1)，B(0，－1)，以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，則∠BAC等于60°．7．計算：

(1)2cos45°－tan60°；

解：原式＝2－3.

(2)2sin60°＋cos30°－7＋33

解：原式＝.6

8．如圖，小方在五月一日假期中到郊外放風箏，風箏飛到C處時的線長為20米，此時小方正好站在A處，測得∠CBD＝60°，牽引底端B離地面1.5米，求此時風箏離地面的高度．(結果確切到個位，3≈1.73)

2

3

tan30°·tan45°.3

解：在Rt△CBD中，CD＝CB·sin60°＝20×∴CE＝CD＋DE＝17.3＋1.5≈19(米)．

知識點2同角三角函數之間的關系

9．先完成以下填空，再按要求回復以下問題：

1322

(1)①sin30°＝，cos30°＝，sin30°＋cos30°＝1；

22②sin45°＝③sin60°＝2222

，cos45°＝，sin45°＋cos45°＝1；223

≈17.3(米)，2

3122

，cos60°＝，sin60°＋cos60°＝1；2222

觀測上述等式，猜想：sinA＋cosA＝1．

(2)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊．完成下

列求sinA，cosA及sinA＋cosA的值的過程．

22

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，（a）（b）

∴sinA＝，cosA＝.

cc

在Rt△ABC中，由勾股定理可得a＋b＝c．（a）（b）（c）

∴sinA＋cosA＝2＋＝2＝1；2

ccc

2

2

2

2

2

2

2

2

(3)請根據(2)的條件，表示出tanA的值，分析出(2)中sinA，cosA與tanA三者之間滿足什么關系；4

(4)已知α為一個銳角，sinα＝.求cosα，tanα.

5asinA

解：(3)tanA＝；tanA＝.

bcosA

422

(4)∵sinα＋cosα＝1，sinα＝，α為銳角，

53sinα4

∴cosα＝，tanα＝＝.

5cosα3

中檔題

10．如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩

弧交于點B，畫射線OB，則sin∠AOB的值等于(C)

1A.2

B.22

C.32

D.3

132

11．在△ABC中，若|sinA－|＋(－tanB)＝0，則∠C的度數為(D)

23

A．30°

B．60°

C．90°

D．120°

2

12．已知∠A為銳角，且tanA＝，那么以下判斷正確的是(B)

3

A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°

13．(衢州中考)如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD＝60°，則花壇對角線AC的長等于(A)

A．63米B．6米C．33米D．3米

492

14．如圖，將一副三角尺按如下圖的方式疊放在一起，若AB＝14cm，則陰影部分的面積是cm.

2

15．若規(guī)定sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ，則sin15°＝16．已知α是銳角，且sin(α＋15°)＝

解：由sin(α＋15°)＝∴原式＝22－4×

6－2．431－10

，計算8－4cosα－(π－3.14)＋tanα＋()的值．23

3

，得α＝45°.2

2

－1＋1＋3＝3.2

17．(麗水中考)數學拓展課程《玩轉學具》課堂中，小陸同學發(fā)現：一副三角板中，含45°的三角板的斜邊與含30°的三角板的長直角邊相等，于是，小陸同學提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點重合拼放在一起，點B，C，E在同一直線上，若BC＝2，求AF的長．請你運用所學的數學知識解決這個問題．

解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，

BC

∴AC＝＝23.∴EF＝AC＝23.∵∠E＝45°，

tanA

∴FC＝EF·sinE＝6.∴AF＝AC－FC＝23－6.

18．如圖，等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC邊上的點，AD＝BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，求AG

的值．AF

解：在△CAD與△ABE中，AC＝AB，∠CAD＝∠ABE＝60°，AD＝BE，∴△CAD≌△ABE.∴∠ACD＝∠BAE.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠ACD＋∠CAE＝60°.∴∠AFG＝∠ACD＋∠CAE＝60°.AG

在直角△AFG中，sin∠AFG＝，

AF∴

AG3＝sin60°＝.AF2

綜合題

19．如圖，兩張寬度都為3cm的紙條交織重疊在一起，其中∠α＝60°，求重疊(陰影)部分的面積．

解：過點A作AE⊥BC，AF⊥CD.∵AD∥BC，AB∥DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴∠ABC＝∠ADF.

∵紙條的寬度都是3，∴AE＝AF＝3.

在△ABE和△ADF中，∠ABC＝∠ADF，??

?∠AEB＝∠AFD，??AE＝AF，

∴△ABE≌△ADF.∴AB＝AD.

AF∴四邊形ABCD是菱形．在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，sin∠ADF＝，

AD∴AD＝23cm.∴CD＝AD＝23cm.

2

∴重疊(陰影)部分的面積為CD·AF＝23×3＝63(cm).

1.2銳角三角函數的計算

第1課時利用計算器求銳角三角函數值

基礎題

知識點1用計算器求已知銳角的三角函數值

1．(煙臺中考)如圖是我們數學課本上采用的科學計算器面板，利用該型號計算器計算2cos55°，按鍵順序正確的是(C)

A.2B.C.D.2

×cos55＝

2cos550＝2cos55＝

55cos＝

2．cos55°和sin36°的大小關系是(C)

A．cos55°＞sin36°B．cos55°＝sin36°C．cos55°＜sin36°D．不能確定3．下面四個數中，最大的是(C)

A.5－3C．tan46°

B．sin88°D.

5－1

2

4．用科學計算器計算，下面結果不正確的是(D)

A．17＝1419857

B.19＝4.358898944

C．sin35°＝0.573576436D．2sin30°12′cos35°>cos55°>cos75°；(3)用計算器求：tan10°≈0.176_3，tan30°≈0.577_4，tan50°≈1.191_8，tan80°≈5.671_3．(結果保存四位小數)

由此，可用不等號連接tan10°sin71°.

sin25°＋sin46°＝0.423＋0.719＝1.142，sin71°＝0.946，

∴sin25°＋sin46°>sin71°.(2)sinα＋sinβ>sin(α＋β)．(3)證明：∵sinα＋sinβ＝∵OB∴

ABBCABBCAB＋BC＋>＋＝.OAOBOAOAOA

ABBCAE∵AB＋BC>AE，∴＋>.OAOBOA

∴sinα＋sinβ>sin(α＋β)．

12．如下圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請你根據圖中數據計算回復：小敏身高1.78米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？姚明身高2.26米，他乘電梯會有碰頭危險嗎？(參考數據：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)

解：小敏乘此電梯不會有碰頭危險，姚明乘此電梯會有碰頭危險．理由如下：由題意可知AC∥BD，∴∠CAB＝∠ABD＝27°.

過點C作CE⊥AC交AB于點E，CE

在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，

AC

∴CE＝AC·tan∠CAE＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04＜2.26.∴姚明乘此電梯會有碰頭危險．∵2.04＞1.78，∴小敏乘此電梯不會有碰頭危險．

綜合題

13．身高1.65米的兵兵在建筑物前放風箏，風箏不防備掛在了樹上．在如下圖的平面圖形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前點B處，風箏掛在建筑物上方的樹枝點G處(點G在FE的延長線上)．經測量，兵兵與建筑物的距離BC＝5米，建筑物底部寬FC＝7米，風箏所在點G與建筑物頂點D及風箏線在手中的點A在同一條直線上，點A距地面的高度AB＝1.4米，風箏線與水平線夾角為37°.

(1)求風箏距地面的高度GF；

(2)在建筑物后面有長5米的梯子MN，梯腳M在距墻3米處固定擺放，通過計算說明：若兵兵充分利用梯子和一根5米長的竹竿能否觸到掛在樹上的風箏？(參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

解：(1)過A作AP⊥GF于點P，

則AP＝BF＝12，AB＝PF＝1.4，∠GAP＝37°，GP

在Rt△PAG中，tan∠PAG＝，

AP∴GP＝AP·tan37°≈12×0.75＝9(米)．∴GF＝9＋1.4≈10.4(米)．(2)由題意可知MN＝5，MF＝3，

∴在Rt△MNF中，NF＝MN－MF＝4(米)．

2

2

∵10.4－5－1.65＝3.7