2023年上海高考數(shù)學(xué)（理科）試卷

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年上海高考數(shù)學(xué)（理科）試卷2023年上海高考數(shù)學(xué)（理科）試卷一、填空題（本大題共有14題，總分值56分）1．計(jì)算：

3?i=（i為虛數(shù)單位）.1?i2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，則A?B=.

3．函數(shù)f(x)?2cosx的值域是.sinx?14．若n?(?2,1)是直線l的一個(gè)法向量，則l的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角

函數(shù)值表示）.5．在(x?26)的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于.x126．有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為

V1,V2,…,Vn,…，則lim(V1?V2???Vn)?.

n??7．已知函數(shù)f(x)?e|x?a|（a為常數(shù)）.若f(x)在區(qū)間[1,+?)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是.

8．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2?的半圓面，則該圓錐的體積為.

29．已知y?f(x)?x是奇函數(shù)，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，則g(?1)?.10．如圖，在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M(2,0)的直線l與極軸的夾角

.若將l的極坐標(biāo)方程寫成??f(?)的形式，則???6lOM?xf(?)?.11．三位同學(xué)參與跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全一致的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.12．在平行四邊形ABCD中，∠A=3,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N分別

是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足?|BM||CN|，則AM?AN的取值范圍是.?|BC||CD|13．已知函數(shù)y?f(x)的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0).2函數(shù)y?xf(x)(0?x?1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為.

1

14．如圖，AD與BC是周邊體ABCD中相互垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為

常數(shù)，則周邊體ABCD的體積的最大值是.

二、選擇題（本大題共有4題，總分值20分）

2DC

AB（）

15．若1?2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x?bx?c?0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則

（A）b?2,c?3.（B）b??2,c?3.（C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1.16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，則?ABC的形狀是

222（）

（A）銳角三角形.（B）直角三角形.（C）鈍角三角形.（D）不能確定.17．設(shè)10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105.隨機(jī)變量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均為0.2，隨機(jī)變量?2取值

x1?x22、

x2?x32、

x3?x42、

x4?x52、

x5?x12的概率也為0.2.

（）

若記D?1、D?2分別為?1、?2的方差，則

（A）D?1＞D?2.（B）D?1＝D?2.（C）D?1＜D?2.（D）D?1與D?2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān).

?18．設(shè)an?1，Sn?a1?a2???an.在S1,S2,?,S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）sinnn25（A）25.（B）50.（C）75.

三、解答題（本大題共有5題，總分值74分）

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面積；（6分）

B

（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

20．已知函數(shù)f(x)?lg(x?1).

（D）100.PEACD（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范圍；（6分）

（2）若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0?x?1時(shí)，有g(shù)(x)?f(x)，求函數(shù)

y?g(x)(x?[1,2])的反函數(shù).（8分）

2

21．海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線

y122Py?49x；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救

援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.

（1）當(dāng)t?0.5時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).若此時(shí)O兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）A

22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1:2x2?y2?1.

（1）過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分）

（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2?y2?1相切，求證：OP⊥OQ；（6分）

（3）設(shè)橢圓C2:4x?y?1.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

23．對(duì)于數(shù)集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定義向量集

22xY?{a|a?(s,t),s?X,t?X}.若對(duì)于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，則稱X

具有性質(zhì)P.例如X?{?1,1,2}具有性質(zhì)P.

（1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1?X，且當(dāng)xn＞1時(shí)，x1=1；（6分）

（3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x1,x2,?,xn的通項(xiàng)公式.（8分）

3

2023年上海高考數(shù)學(xué)（理科）試卷解答一、填空題（本大題共有14題，總分值56分）

3?i1．計(jì)算：=1-2i（i為虛數(shù)單位）.

1?i2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，則A?B=(?1,3).23．函數(shù)f(x)?2cosx的值域是[?5,?3].22sinx?14．若n?(?2,1)是直線l的一個(gè)法向量，則l的傾斜角的大小為arctan2（結(jié)果用反三角

函數(shù)值表示）.5．在(x?26)的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于-160.x126．有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，

n??為公比的等比數(shù)列，體積分別記為

87V1,V2,…,Vn,…，則lim(V1?V2???Vn)?.

7．已知函數(shù)f(x)?e|x?a|（a為常數(shù)）.若f(x)在區(qū)間[1,+?)上是增函數(shù)，則a的取值范

圍是(-?,1].8．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2?的半圓面，則該圓錐的體積為

33?.

9．已知y?f(x)?x2是奇函數(shù)，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，則g(?1)?-1.l10．如圖，在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M(2,0)的直線l與極軸的夾角.若將l的極坐標(biāo)方程寫成??f(?)的形式，則???6f(?)?sin(?1??).O6M?x11．三位同學(xué)參與跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全一致的概率是2（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.312．在平行四邊形ABCD中，∠A=3,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N分別

是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足?|BM||CN|，則AM?AN的取值范圍是[2,5].?|BC||CD|13．已知函數(shù)y?f(x)的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0).2函數(shù)y?xf(x)(0?x?1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為5.414．如圖，AD與BC是周邊體ABCD中相互垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為

DC

ABca2?c2?1.常數(shù)，則周邊體ABCD的體積的最大值是23二、選擇題（本大題共有4題，總分值20分）

215．若1?2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x?bx?c?0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（B）

（A）b?2,c?3.（B）b??2,c?3.（C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1.16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，則?ABC的形狀是（C）（A）銳角三角形.（B）直角三角形.（C）鈍角三角形.（D）不能確定.

2224

17．設(shè)10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105.隨機(jī)變量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均為0.2，隨機(jī)變量?2取值

x1?x22、

x2?x32、

x3?x42、

x4?x52、

x5?x12的概率也為0.2.

（A）

若記D?1、D?2分別為?1、?2的方差，則

（A）D?1＞D?2.（B）D?1＝D?2.（C）D?1＜D?2.（D）D?1與D?2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān).

?18．設(shè)an?1，Sn?a1?a2???an.在S1,S2,?,S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（D）sinnn25（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.

三、解答題（本大題共有5題，總分值74分）

P19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).已知AB=2，AD=2PA=2.求：E2，D（1）三角形PCD的面積；（6分）

A（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）B[解]（1）由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面CPAD，從而CD⊥PD.……3分由于PD=22?(22)2?23，CD=2，

所以三角形PCD的面積為12?2?23?23.z……6分（2）[解法一]如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，P則B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，

AE?(1,2,1)，BC?(0,22,0).……8分ED設(shè)AE與BC的夾角為?，則

Ay

cos??AE?BC4|AE||BC|?2?22?2?B2，?=4.xC由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是?4……12分[解法二]取PB中點(diǎn)F，連接EF、AF，則PEF∥BC，從而∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AE所成的角……8分

在?AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2

FE

知?AEF是等腰直角三角形，AD所以∠AEF=?4.B因此異面直線BC與AE所成的角的大小是

?4C……12分

20．已知函數(shù)f(x)?lg(x?1).

（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范圍；（6分）

（2）若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0?x?1時(shí)，有g(shù)(x)?f(x)，求函數(shù)

y?g(x)(x?[1,2])的反函數(shù).（8分）

[解]（1）由??2?2x?0?0，得?1?x?1.