全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用理

真題試做1．(2012·課標(biāo)全國高考，理

12)設(shè)點(diǎn)

P在曲線

1y＝2e

x上，點(diǎn)

Q在曲線

y＝ln(2

x)上，則|PQ|的最小值為

(

)．A．1－ln2C．1＋ln2

B．D．

2(1－ln2)2(1＋ln2)2．(2012·湖北高考，理

3)已知二次函數(shù)

y＝f(x)的圖象以下圖，則它與

x

軸所圍圖形的面積為( )．2π43πA．5B．3C．2D．23．(2012·綱領(lǐng)全國高考，理10)已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝()．A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1lnx，x＞0，4．(2012·陜西高考，理14)設(shè)函數(shù)f(x)＝D是由x軸和曲線y＝f(x)－2x－1，x≤0，及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的關(guān)閉地區(qū)，則z＝x－2y在D上的最大值為__________．135．(2012·重慶高考，理16)設(shè)f(x)＝alnx＋2x＋2x＋1，此中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸．求a的值；求函數(shù)f(x)的極值．6．(2012·山東高考，理

22)已知函數(shù)

lnf(x)＝

x＋kex

(k

為常數(shù)，

e＝2.71828

是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))

處的切線與x軸平行．求k的值；求f(x)的單一區(qū)間；(3)設(shè)(x)＝(x2＋)f′( )，此中′( )為f()的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)隨意x＞0，()＜1＋e－2.gxxfxxgx7．(2012·浙江高考，理22)已知a＞0，b∈R，函數(shù)f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，①函數(shù)f(x)的最大值為|2a－b|＋a；f(x)＋|2a－b|＋a≥0；(2)若－1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0,1]恒建立，求a＋b的取值范圍．考向剖析理科用從近三年高考來看，該部分高考命題有以下特色：從內(nèi)容上看，考察導(dǎo)數(shù)主要有三個(gè)層次：(1)導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)、求導(dǎo)公式與法例、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；(2)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包含求函數(shù)極值，求函數(shù)的單一區(qū)間、證明函數(shù)的單一性等；(3)導(dǎo)數(shù)的綜合考察，包含導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式等的綜合題．此外，對(duì)微積分基本定理的考察頻次較低，難度較小，側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的考察．從特色上看，高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考察有時(shí)獨(dú)自考察，有時(shí)在知識(shí)交匯處考察，經(jīng)常將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、分析幾何等聯(lián)合在一同考察．從形式上看，考察導(dǎo)數(shù)的試題有選擇題、填空題、解答題，有時(shí)三種題型會(huì)同時(shí)出現(xiàn)．熱門例析熱門一導(dǎo)數(shù)的幾何意義1【例１】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x＋b(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.求y＝f(x)的分析式；(2)證明曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．規(guī)律方法1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝()在x0處的導(dǎo)數(shù)′(0)的幾何意義：曲線＝(x)在點(diǎn)(x0，(0))處的切線fxfxyffx的斜率(剎時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．2．求曲線切線方程的步驟：求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率；(2)已知或求得切點(diǎn)坐標(biāo)P(x0，f(x0))，由點(diǎn)斜式得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特別提示：①當(dāng)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x，f(x))處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，00由切線定義可知，切線方程為x＝x0；②當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)第一設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解．變式訓(xùn)練1(1)設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝__________.1(2)曲線y＝sinx(0≤x≤π)與直線y＝2圍成的關(guān)閉圖形的面積是( )．ππA．3B．2－3C．2－3D．3－3熱門二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性【例２】理科用已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間；若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞加，求a的取值范圍．規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單一性的一般步驟：確立函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)①若求單一區(qū)間(或證明單一性)，只要在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0.②若已知函數(shù)的單一性求參數(shù)，只要轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁絝′(x)≥0或′(x)≤0在單一區(qū)間內(nèi)恒建立問題求解．解題過程中要注意分類議論；函數(shù)單一性問題以及一些有關(guān)的逆向問題，都離不開分類議論思想．2變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝x－x＋a(2－lnx)，a＞0.議論f(x)的單一性．熱門三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和最值問題【例３】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)1f(x)在[1，a]上的最大值；若x＝－是f(x)的極值點(diǎn)，求3(3)在(2)的條件下，能否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)？若存在，懇求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明原因．規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟：(1)確立函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′( )；(3)①若求極值，則先求出方程f′( )＝0的根，再查驗(yàn)′( )在方程根xxfx左右側(cè)f′(x)的符號(hào)，求出極值．當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類議論根能否在定義域內(nèi)．②若已知極值大小或存在狀況，則轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎匠蘤′( )＝0根的大小或存在狀況，進(jìn)而求解．x1變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝x＋alnx(a≠0，a∈R)．若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值和單一區(qū)間；(2)若a＜0且在區(qū)間(0，e]上起碼存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)＜0建立，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．思想浸透轉(zhuǎn)變與化歸思想解決函數(shù)問題轉(zhuǎn)變與化歸常用的方法是等價(jià)轉(zhuǎn)變法：把原問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)易于解決的等價(jià)問題，以達(dá)到化歸的目的．a(chǎn)3【典型例題】已知函數(shù)f(x)＝x(lnx＋m)，g(x)＝3x＋x.當(dāng)m＝－2時(shí)，求f(x)的單一區(qū)間；(2)若m＝3時(shí)，不等式g(x)≥f(x)恒建立，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．2解：(1)當(dāng)＝－2時(shí)，f(x)＝(lnx－2)＝lnx－2，定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′()mxxxxlnx－1.由f′(x)＞0，得lnx－1＞0，所以x＞e.由f′(x)＜0，得lnx－1＜0，所以0＜x＜e.故f(x)的單一遞加區(qū)間是(e，＋∞)，遞減區(qū)間是(0，e)．3時(shí)，不等式g(x)≥f(x)，(2)當(dāng)ma233x＋即3x＋x≥xln2恒建立．因?yàn)閤＞0，所以a2＋1≥lnx＋3，3x21a213lnx＋2亦即3x≥lnx＋2，所以a≥x2.13lnx＋2－6lnx令h(x)＝2，則h′(x)＝3，xx由h′(x)＝0得x＝1.且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)＜0，即h(x)在(0,1)上單一遞加，在(1，＋∞)上單一遞減，所以h(x)在x＝1處獲得極大值h(1)3＝2，也就是函數(shù)h(x)在定義域上的最大值．13lnx＋23所以要使a≥x2恒建立，需有a≥2，此即為a的取值范圍．理科用1．10(ex＋2x)dx等于(A．1B．e－1C．eD．e＋12．曲線y＝sinsinx1x＋cosx－2在點(diǎn)1122A．－B．C．－2D．222

)．Mπ，0處的切線的斜率為( )．43．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f(x)＋xf′(x)＜0建立，若＝30.3f(30.3)，＝logπ3f(logπ3)，11，則a，，間的大小關(guān)abclog39flog39bc系是()．A．a(chǎn)＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a(chǎn)＞c＞b4．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)隨意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為( )．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)5．三次函數(shù)f(x)，當(dāng)x＝1時(shí)有極大值4；當(dāng)x＝3時(shí)有極小值0，且函數(shù)圖象過原點(diǎn)，則f(x)＝__________.6．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a為常數(shù))在區(qū)間[－2,2]上有最大值20，那么此函數(shù)在區(qū)間[－2,2]上的最小值為__________．7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．1若a＝1，求曲線y＝f(x)在x＝2處切線的斜率；求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(3)設(shè)g(x)＝2x，若對(duì)隨意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈[0,1]，使f(x1)＜g(x2)，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．參照答案命題調(diào)研·清晰考向真題試做1．B2．B3．A4．2135．解：(1)因f(x)＝alnx＋2＋2x＋1，xa13故f′(x)＝－2x2＋.x2因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(1，(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，f13進(jìn)而a－2＋2＝0，解得a＝－1.13(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋2x＋2x＋1(x＞0)，11332－2x－1(3x＋1)(x－1)f′(x)＝－x－2x2＋2＝＝.2x22x2令f′(x)＝0，解得x1＝1，1x2＝－31因x2＝－3不在定義域內(nèi)，舍去.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．故f(x)在x＝1處獲得極小值f(1)＝3.lnx＋k6．(1)

解：由f(x)＝

ex

，得f′(x)＝

1－kx－xlnxex

x

，x∈(0，＋∞)，因?yàn)榍€y＝f(x)在(1，f(1))所以f′(1)＝0，所以k＝1.

處的切線與

x軸平行，1(2)解：由(1)得f′(x)＝xex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＜0.又ex＞0，所以x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0.所以f(x)的單一遞加區(qū)間為(0,1)，單一遞減區(qū)間為(1，＋∞)．證明：因?yàn)間(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1－x－xlnx)，x∈(0ex(1，＋∞)．x所以對(duì)隨意x＞0，()＜1＋e－2等價(jià)于1－－lnx＜e(1＋e－2)．gxxxx＋1由(2)中( )＝1－－xlnx，∈(0，＋∞)，hxxxx－lne－2)，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－lnx－2＝－(ln所以當(dāng)x∈(0，e－2)時(shí)，h′( )＞0，(x)單一遞加；當(dāng)∈(e－2，＋∞)時(shí)，′( )＜0，xhxhxh(x)單一遞減．所以h(x)的最大值為h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－xlnx≤1＋e－2.x設(shè)φ(x)＝e－(x＋1)．因?yàn)棣铡?x)＝ex－1＝ex－e0，所以x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)單一遞加，φ(x)＞φ(0)＝0，故x∈(0，＋∞)時(shí)，

xφ(x)＝ex－(x＋1)＞0，即e＞1.x＋1x所以1－x－xlnx≤1＋e－2＜e(1＋e－2)．x＋1所以對(duì)隨意x＞0，()＜1＋e－2.gxb227．(1)證明：①f′(x)＝12ax－2b＝12ax－6a.當(dāng)b≤0時(shí)，有f′(x)≥0，此時(shí)f(x)在[0，＋∞)上單一遞加．當(dāng)b＞0時(shí)，f′(x)＝12ax＋bx－b6a6a，此時(shí)f(x)在0，b上單一遞減，在b，＋∞上單一遞加．6a6a3a－，≤2，所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b，3a－b}＝bba－a＋b，b>2a|2a－b|＋a.②因?yàn)?≤x≤1，故當(dāng)b≤2a時(shí)，3－2＋2≥43－43－2＋1)．f()＋|2－|＋＝(x)＋3－＝4ax＋2＝2(2xxabafabaxbxaaxaax當(dāng)b＞2a時(shí)，(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a＞4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．設(shè)g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，則g′(x)＝6x2－2＝6x－3x＋3，33于是x033310，333，1′( )－0＋gxg(x)1減極小值增1所以，g(x)＝g343min3＝1－9＞0，所以，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x3－2x＋1＞0，故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.解：由①知，當(dāng)0≤x≤1，f(x)max＝|2a－b|＋a，所以|2a－b|＋a≤1.若|2a－|＋≤1，則由②知f(x)≥－(|2a－|＋)≥－1.baba|2a－b|＋a≤1，所以－1≤f(x)≤1對(duì)隨意0≤x≤1恒建立的充要條件是a>0，2a－b≥0，2a－b<0，3－≤1，或b－≤1，即abaa>0a>0.在直角坐標(biāo)系aOb中，不等式組所表示的平面地區(qū)為以下圖的暗影部分，此中不包含線段BC.作一組平行直線a＋＝(t∈R)，bt得－1＜a＋b≤3，所以a＋b的取值范圍是(－1,3]．精要例析·聚焦熱門熱門例析1【例1】(1)解：f′(x)＝a－(x＋b)2，2a＋1＝3，于是

2＋b1a－＝0，2(2＋b)9a＝1，a＝4，解得或b＝－18b＝－.3由a，b∈Z，故f(x)＝x＋1.x－1(2)證明：在曲線上任取一點(diǎn)x0,x01.－x01由1知，過此點(diǎn)的切線方程為－x02－＋－1(x－f(x0)＝1－x01＝2y12－(x－01)－x010x0)．＋＋x01令，切線與直線x＝1的交點(diǎn)為1,01.x＝1，得y＝x－1－0x01令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x－1,2x－1)．00直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)．進(jìn)而所圍三角形的面積為x0＋1－12x0－1－1x0－1＝122x0－2＝2.2－x01∴所圍三角形的面積為定值2.【變式訓(xùn)練1】(1)1(2)D【例2】解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，x∵e＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2.∴函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間是(－2，2)．(2)∵函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞加，∴f′(x)≥0對(duì)x∈(－1,1)恒建立．f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對(duì)x∈(－1,1)恒建立．x2∵e＞0，∴－x＋(a－2)x＋a≥0對(duì)x∈(－1,1)恒建立，x2＋2x(x＋1)2－11即a≥x＋1＝x＋1＝(x＋1)－x＋1對(duì)x∈(－1,1)恒建立．1令y＝(x＋1)－x＋1，1則y′＝1＋(x＋1)2＞0.1∴y＝(x＋1)－x＋1在(－1,1)上單一遞加．∴y＜(1＋131)－1＋1＝2.3∴a≥.2ax2－ax＋22【變式訓(xùn)練2】解：f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋x2－x＝x2.設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的鑒別式＝a2－8.①當(dāng)＜0，即0＜a＜22時(shí)，對(duì)全部x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)．②當(dāng)＝0，即a＝22時(shí)，僅對(duì)x＝2有f′(x)＝0，對(duì)其他的x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)也是(0，＋∞)上的增函數(shù)．③當(dāng)＞0，即a＞22時(shí)，方程()＝0有兩個(gè)不一樣的實(shí)根gxa－a2－8a＋a2－8x1＝2，x2＝2，0＜x1＜x2.x(0，x)x1(x，x)112f′(x)＋0－f(x)單一極大值單一遞加遞減此時(shí)f(x)在a－a2－8上單一遞加，在a－0，2a＋a2－8上單一遞加．，＋∞22【例3】解：(1)f′(x)＝3x－2ax－3.∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒建立，

x2(x，＋∞)20＋極小值單一遞加a2－8a＋a2－8，上單一遞減，在22a則必有3≤1且f′(1)＝－2a≥0.a≤0.112依題意，f′－3＝0，即3＋3a－3＝0.a＝4，f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3.3則當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化狀況以下表：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.3個(gè)交點(diǎn)，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有(3)函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有個(gè)不等實(shí)根．x3－4x2－3x－bx＝0，x＝0是此中一個(gè)根，∴方程x2－4x－3－b＝0有兩個(gè)非零不等實(shí)根．16＋4(3＋b)>0，∴3－b≠0，b＞－7且b≠－3.∴存在知足條件的b值，b的取值范圍是b＞－7且b≠－3.aax－1【變式訓(xùn)練3】解：(1)f′(x)＝－x2＋x＝x2，x－1當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝x2.令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)，f(x)隨x的變化狀況以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)極小值所以x＝1時(shí)，f(x)的極小值為1.f(x)的單一遞