1用“線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在邊界上”簡解高考題_第1頁
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1用“線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在邊界上”簡解高考題_第3頁
1用“線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在邊界上”簡解高考題_第4頁
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用“線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在邊界上”簡解高考題線性規(guī)劃問題是指在線性約束條件(即關(guān)于變量X,y的二元一次不等式或不等式組)下,求線性目標(biāo)函數(shù)z="X+by的最大值或最小值問題.在線性規(guī)劃問題中,滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解,可行解的集合叫做可行域(可行域的邊界是直線、射線或線段),使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫做這個(gè)線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.求解線性規(guī)劃問題,通常是通過平移初始直線ax+by=0來解決的,所以有下面的結(jié)論:(1)若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解,則最優(yōu)解一定在邊界上.(2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by在兩個(gè)不同的點(diǎn)AB處均取到最大值或均取到最小值,則初始直線ax+by=0與直線AB平行(此時(shí)線段AB一定是可行域的邊界,且線段AB上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解).(3)若可行域有凸頂點(diǎn),則目標(biāo)函數(shù)在可行域的所有凸頂點(diǎn)處的函數(shù)值中的最大(小)值就是目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值.下面用這些結(jié)論簡解幾道線性規(guī)劃題.x一y三0,題 年高考山東卷理科第題已知x,y滿足約束條件h+yW2,若z=ax+yyy三0.的最大值為4,則a=()A.3B.2 C.—2 D.—3解B.題中的可行域?yàn)閳D1中的AOAB(其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(1,1),B(2,0))及其內(nèi)部的區(qū)域.圖1再由結(jié)論,可得a=3或再檢驗(yàn),得a=2x+y三0,題 年高考福建卷文科第 題變量x,y滿足約束條件lx—2y+2三0,若z=、mx—yW0.2x—y的最大值為2,則實(shí)數(shù)m等于()

A.—2 B.—1 C.1D.2解若m=-1,可得z無最大值,所以mw-1fx+y>0先畫出不等式組《 表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分Ix-2y+2>0圖 請把圖中的“y=-x,2x-y-2=0,A”分別改為“x+y=0,2x-y=2,A(2,2)”直線mx-y=0過原點(diǎn)且不與直線x+y=0,x-2y+2=0不重合,再由圖可知本題的可行域是三角形區(qū)域若是圖中的某一塊無限區(qū)域,則z無最大值又直線2x—y=2與直線x-2y+2=0交于點(diǎn)A(2,2),再由以上結(jié)論(3),得A(2,2)是最優(yōu)解且直線mx-y=0過點(diǎn),所以m=1.題 年高考山東卷理科第題即文科第題已知x,y滿足約束條件x—y—1W0,1 、 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(。>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2小時(shí),a2+2x—y一3三0,b2的最小值為() _A.5B.4 C.\'5 D.2解B.易知可行域是一個(gè)凸角(即其大小小于平角),且角的頂點(diǎn)是(2,1)(即方程組fx-y-1=0k&八的解).[2x-y-3=0由以上結(jié)論(3),得(2,1)是最優(yōu)解,所以2a+b=2v5.接下來,可用減元法、三角換元法或柯西不等式求得答案.x+y三a,題 年高考全國課標(biāo)卷文科第題設(shè)x,y滿足約束條件(1且zx—y0—1,=x+ay的最小值為7,則a=()A.—5 B.3 C.—5或3 D.5或一3解B.易知可行域是一個(gè)凸角,且角的頂點(diǎn)是(解B.易知可行域是一個(gè)凸角,且角的頂點(diǎn)是(即方程組a-1的解).由以上結(jié)論解).由以上結(jié)論(3),得是最優(yōu)解,所以a=3或一5因?yàn)轭}設(shè)中是“最小值為7”(不是“最大值或最小值為7”),所以還須檢驗(yàn):當(dāng)a=3時(shí),可得“最小值為7";當(dāng)a=-5時(shí),可得“最大值為7".所以a=3.Ix+y—2W0,年高考安徽卷理科第題x,y滿足約束條件卜—2y—2W0,若z=y—ax12x—y+2三0.年高考安徽卷理科第題取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)a的值為()???A.2或一1 B.2或2 C.2或1D.2或一1解D.先作出可行域是圖3中的AABC.圖3(請去掉圖中過原點(diǎn)的直線)由題設(shè)及結(jié)論(2)知,初始直線y=ax與AABC的某一條邊平行,得a=-1或2或2.因?yàn)轭}設(shè)中是“最大值的最優(yōu)解",所以還須檢驗(yàn),…….x+2y—4W0,題 年高考浙江卷理科第題當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿足,x—y—1W0,時(shí),1Wax+yW4、x三1TOC\o"1-5"\h\z恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .「-31... ..,…解1,-.先作出可行域是圖4中的AABC.題設(shè)即(ax+y) >1min,(ax+y) <4max題設(shè)即(ax+y) >1min,(ax+y) <4max由以上結(jié)論(3),得h<2a+1<4,即1<a<-.231<1a+-<4[ 2

/3\圖4(請去掉圖中的兩條虛線,并標(biāo)上點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)A(1,0),B(2,1),C1,-)k2Jx+y-2>0,題7(2013年高考浙江卷理科第13題)設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足{x-2y+4>0,若z、2x-y-4<0.的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=.解2.先作出可行域是圖5中的AABC(其中A(0,2),B(2,0),C(4,4)),得以下三種情形:⑴若在點(diǎn)A(0,2)處取到最大值,得k-0+2=12,這不可能!(2)若在點(diǎn)B(2,0)處取到最大值,得k-2+0=12,k=6,經(jīng)檢驗(yàn)知,這也不可能!⑶若在點(diǎn)C(4,4)處取到最大值,得k-4+4=12,k=2,經(jīng)檢驗(yàn)知,符合題意!所以k=2.圖5題8圖5題8北京市西城區(qū)學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)理科第題設(shè)D為不等式組v2;);I-1表示的平面區(qū)域,點(diǎn)B(a,b)為坐標(biāo)平面xOy內(nèi)一點(diǎn),若對于區(qū)域x—2y<1D內(nèi)的任一點(diǎn)A(x,y),都有OA-OB<1成立,則a+b的最大值等于()A.2 B.1 C.0 D.3解 先作出平面區(qū)域D為圖中的^ABC

圖題設(shè)即:對于區(qū)域D上的任一點(diǎn)A(%,y),都有G%+by<1成立.其充要條件是AABC的b<1頂點(diǎn)A(0,1),B(1,0),C(-1,-1)的坐標(biāo)均滿足a%+by<1,即{

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