專題三 數(shù)列、推理與證明、不等式命題熱點預測

專題三數(shù)列、推理與證明、不等式命題熱點預測1．（文科）若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項的和為S，前n項的積為P，前n項倒數(shù)的和為M，則有()Aeq\f(S,M)B．P>eq\f(S,M)C．P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))nD．P2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n解析：方法一直接對照法設等比數(shù)列的首項為a1，公比為q.當q＝1時，S＝na1，P＝aeq\o\al(n,1)，M＝eq\f(n,a1)，滿足P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n；當q≠1時，S＝eq\f(a11－qn,1－q)，P＝aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2)，M＝eq\f(\f(1,a1)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))n)),1－\f(1,q))＝eq\f(qn－1,a1qn－1q－1)，經(jīng)過整理，可得eq\f(S,M)＝aeq\o\al(2,1)qn－1，于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n＝aeq\o\al(2n,1)qn(n－1)，而P2＝aeq\o\al(2n,1)qn(n－1)，故有P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n.綜上有P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n.方法二：特例檢驗法取等比數(shù)列為常數(shù)列：1,1,1，…，則S＝n，P＝1，M＝n，顯然P>eq\f(S,M)和P2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n不成立，故選項B和D排除，這時選項A和C都符合要求．再取等比數(shù)列：2,2,2，…，則S＝2n，P＝2n，M＝eq\f(n,2)，這時有P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,M)))n，而P≠eq\f(S,M)，所以A選項不正確，故選C.答案：C（理科）設(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，若S＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n，則S的值為()A．2nB．2n＋1\f(3n－1,2)\f(3n＋1,2)解析：方法一：令x＝1，得到3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n.令x＝－1，得到1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n.∴2S＝3n＋1.方法二：(特值法)令n＝1,1＋x＋x2＝a0＋a1x＋a2x2，a0＋a2＝2.排除B、C.令n＝2,1＋2x＋3x2＋2x3＋x4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，a0＋a2＋a4＝5，排除A.答案：D2.某人為了觀看2022年南非足球世界杯，從2022年起，每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉為新的一年的定期，到2022年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為()(1＋p)4(1＋p)5\f(a,p)[(1＋p)4－(1＋p)]\f(a,p)[(1＋p)5－(1＋p)]2.解析：依題意，可取出錢的總數(shù)為a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·eq\f((1＋p)[1－(1＋p)4],1－(1＋p))＝eq\f(a,p)[(1＋p)5－(1＋p)].答案：D3．（文科）陳老師購買安居工程集資房7m2,單價為1000/m2，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔，房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余款的現(xiàn)價以及這個余款現(xiàn)價到最后一次付款時所生利息之和，每期為一年，等額付款，簽訂購房合同后一年付款一次，再過一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清如果按年利率的75%每年復利一次計算(即本年利息計入次年的本金生息),那么每年應付款多少元?(參考數(shù)據(jù):107591921,1075102065,1075112221)解析：設每年付款x元，那么10年后，第一年付款的本利和為a1=10759x元，第二年付款的本利和為a2=10758x元，依次類推，第n年付款的本利和為an=107510-nx元，則各年付款的本利和{an}為等比數(shù)列∴10年付款的本利和為S10=個人負擔的余額總數(shù)為72×1000-28800-14400=28800元10年后余款的本利和為18800×107510，∴解得x=。（理科）某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金(1)設ak(1≤k≤n)為第k位職工所得獎金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；(2)證明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關，記為Pn(b),對常數(shù)b，當n變化時，求Pn(b)解析：(1)第1位職工的獎金a1=，第2位職工的獎金a2=(1－)b，第3位職工的獎金a3=(1－)2b，…，第k位職工的獎金ak=(1－)k－1b;(2)ak－ak+1=(1－)k－1b＞0，此獎金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則(3)設fk(b)表示獎金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb，得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb,故4.（文科）已知數(shù)列,滿足:（1）求證:是等差數(shù)列.（2）求的通項公式.（3）設,若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.4.（文科）解析:(1)(2)由(I)知(3).法一：最值法二：分離參數(shù)最值（理科）已知數(shù)列中,,且對任意的正整數(shù)滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,數(shù)列的前n項和,,,試分析的關系,并證明你的結論.4.（理科