三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理

三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理三角形邊的性質(zhì)

（1）三角形三邊關(guān)系定理及推論

定理：三角形兩邊的和大于第三邊。推論：三角形兩邊的差小于第三邊。

（2）表達式：△ABC中，設a＞b＞c

則b-c＜a＜b+c

a-c＜b＜a+c

a-b＜c＜a+b

（3）應用

1、給出三條線段的長度，判斷它們能否構(gòu)成三角形。

方法（設a、b、c為三邊的長）

①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，則以a、b、c為三邊的長可構(gòu)成三角形；

②若c為最長邊且a+b＞c，則以a、b、c為三邊的長可構(gòu)成三角形；

③若c為最短邊且c＞|a-b|，則以a、b、3、三角形的角平分線、中線、高線都是（）

A、直線B、線段C、射線D、以上都不對

4、三角形三條高的交點一定在（）

A、三角形的內(nèi)部B、三角形的外部

C、頂點上D、以上三種情況都有可能

5、直角三角形中高線的條數(shù)是（）

A、3B、2C、1D、0

6、判斷：有理數(shù)可分為正數(shù)和負數(shù)。有理數(shù)可分為正有理數(shù)、正分數(shù)、負有理數(shù)和負分數(shù)。7、現(xiàn)有10cm的線段三條，15cm的線段一條，20cm的線段一條，將它們?nèi)我饨M合可以得到幾種不同形狀的三角形？三角形三邊的關(guān)系三角形按邊分類（見同步輔導二）練習１、兩種分類方法是否正確：不等邊三角形不等三角形三角形三角形等腰三角形等腰三角形等邊三角形2、如圖，從家A上學時要走近路到學校B，你會選哪條路線？３、下列各組里的三條線段組成什么形狀的三角形？（1）3cm4cm6cm（2）4cm4cm6cm（3）7cm7cm7cm（4）3cm3cm７ｃｍ應用舉例1已知△ABC中，a=6，b=14，則c邊的范圍是練習三角形的兩邊為3cm和5cm，則第三邊x的范圍是果三角形的兩邊長分別為７和２，且它的周長為偶數(shù)，那么第三邊的長為3、長度分別為12cm，10cm，5cm，4cm的四條線段任選三條線段組成三角形的個數(shù)為（）

A、1B、2C、3D、4

4、具備下列長度的各組線段中能夠成三角形的是（）A、5，9，3B、5，7，3C、5，2，3D、5，8，3

應用舉例21、已知一個等腰三角形的兩邊分別是8cm和6cm，則它的周長是______cm。分析：若這個等腰三角形的腰長為8cm,則三邊分別為8cm,8cm,6cm，滿足兩邊之和大于第三邊，若腰長為7cm,則三邊分別為6cm，6cm,8cm，也成立。解：這個等腰三角形的周長為22cm或20cm。2、已知：△ABC的周長為11，AB=4，CM是△ABC的中線，△BCM的周長比△ACM的周長大3，求BC和AC的長。

分析：由已知△ABC的周長=AB+AC+BC=11，AB=4，可得BC+AC=7。

又△BCM的周長-△ACM的周長=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，故BC-AC=3，解方程組可求BC與AC的長。

略解：∵△ABC的周長=AB+BC+CA=11，AB=4

∴BC+AC=11-4=7

又CM是△ABC的中線（已知）

∴AM=MB（三角形中線定義）

又△BCM的周長-△ACM的周長=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=BC-AC=3解得：BC=5AC=2

專題檢測1、1.指出下列每組線段能否組成三角形圖形

（1）a=5,b=4,c=3

（2）a=7,b=2,c=4

（3）a=6,b=6,c=12

（4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的兩邊長分別為11cm和5cm，求它的周長。3.已知等腰三角形的底邊長為8cm，一腰的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長2cm，求這個三角形的腰長。4、三角形三邊為3，5，a，則a的范圍是。5、三角形兩邊長分別為25cm和10cm，第三條邊與其中一邊的長相等，則第三邊長為。

6、等腰三角形的周長為14，其中一邊長為3，則腰長為7、一個三角形周長為27cm，三邊長比為2∶3∶4，則最長邊比最短邊長。

8、等腰三角形兩邊為5cm和12cm，則周長為。9、已知：等腰三角形的底邊長為6cm，那么其腰長的范圍是10、已知：一個三角形兩邊分別為4和7，則第三邊上的中線的范圍是11、下列條件中能組成三角形的是（）

A、5cm,7cm,13cmB、3cm,5cm,9cm

C、6cm,9cm,14cmD、5cm,6cm,11cm

12、等腰三角形的周長為16，且邊長為整數(shù)，則腰與底邊分別為（）

A、5，6B、6，4C、7，2D、以上三種情況都有可能

13、一個三角形兩邊分別為3和7，第三邊為偶數(shù)，第三邊長為（）

A、4，6B、4，6，8C、6，8D、6，8，10

14、已知等腰三角形一邊長為24cm，腰長是底邊的2倍。

求這個三角形的周長。

三角形角的性質(zhì)

（1）三角形內(nèi)角和定理

1）定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

2）表達式：△ABC中

∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和定理）

（2）三角形內(nèi)角和定理及推論的作用

1）在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理，已知兩角求第三角或已知各角之間的關(guān)系求各角。

2）在直角三角形中，已知一個銳角利用推論1求另一個銳角或已知兩個銳角的關(guān)系，求這兩個銳角。另外，推論1常與同角（等角）的余角相等結(jié)合來證角相等。

3）利用推論3證三角形中角的不等關(guān)系。

4）、三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形具有不穩(wěn)定性。

（3）三角形按角分類說明：三角形有兩種分類方法，一種是按邊分類，另一種是按角分類，兩種分類方法分辯清楚。復習鞏固，引入新課1、三角形的兩邊為7cm和5cm，則第三邊x的范圍是2、如果三角形的兩邊長分別為７和２，且它的周長為偶數(shù)，那么第三邊的長為3、已知一個等腰三角形的兩邊分別是8cm和6cm，則它的周長是______cm。4、下列條件中能組成三角形的是（）

A、5cm,7cm,13cmB、3cm,5cm,9cm

C、6cm,9cm,14cmD、5cm,6cm,11cm

三角形三個內(nèi)角的關(guān)系三角形三個內(nèi)角的和等于180°證明思路：通過添加輔助線，把三角形三個分散的角，全部或適當?shù)丶衅饋?，利用平角定義或兩直線平行，同旁內(nèi)角互補來證明。

下面是幾種輔助線的添置方法，請同學們自己分析證明。

1、作BC的延長線CD，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊，畫∠1=∠A。

2、作BC的延長線CD，過C點作CE∥AB。

3、過A點作DE∥BC。

4、過A點作射線AD∥BC。

5、在BC上任取點D，過D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。

（2）三角形內(nèi)角和定理的推論

推論1：直角三角形的兩個銳角互余。

表達式：∵在Rt△ACB中，∠C=90°（已知）

∴∠A+∠B=90°（直角三角形的兩個銳角互余）

推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

表達式：△ACB中，∠ACD=∠A+∠B∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B

練習1、三角形的三個內(nèi)角中最多有個銳角，最多有個直角，個鈍角。2、一個三角形的最大內(nèi)角不能超過度，最小內(nèi)角不能大于度。3、已知△ABC①若∠A=50°，∠B=60°，則∠C=。②若∠A=50°，∠B=∠C，則∠C=，∠B=。③若∠A=50°，∠B-∠C=10°，則∠B=，∠C=。④若∠A+∠B=130°，∠A-∠C=25°，則∠A=，∠B=，∠C=。⑤若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠A=，∠B=，∠C=，這個三角形是三角形。例題講解已知：如圖02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分線AD、BE交于點O，求：∠AOB的度數(shù)。

解二：同上可得到∠1+∠2=45°∴∠3=∠1+∠2=45°（三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）∵∠AOB+∠3=180°（平角定義）∴∠AOB=180°-∠3=180°-45°=135°∴∠AOB=135°例2．AB與CD相交于點O，求證：∠A+∠C=∠B+∠D思路分析：在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形內(nèi)角定理）在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代換）∵∠AOC=∠BOD（對頂角相等）∴∠A+∠C=∠B+∠D這道幾何題是一對對頂三角形組成的幾何圖形．因為我們發(fā)現(xiàn)了兩個三角形，所以便聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理，探索思路，使問題解決了．可是這道題的應用價值很值得開發(fā)，它是一類幾何題打開思路的“橋梁”，借助它可順利到達“彼岸”，請看實例．變式：如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．揭示思路：從圖形中觀察出現(xiàn)對頂三角形，此時便使我們設法把5個分散的角轉(zhuǎn)化在一個圖形中，在這種想法趨使下，使我們想到對頂三角形這“橋梁”．結(jié)合圖形，連CD，立即可發(fā)現(xiàn)，∠B+∠E=∠1+∠2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形內(nèi)角和定理）專題檢測1、直角三角形的兩個銳角相等，則每一個銳角等于度。2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，這個三角形是三角形。3、國旗上的五角星中，五個銳角的和等于度。4、在△ABC中

（1）已知：∠A=32.5°，∠B=84.2°，求∠C的度數(shù)。

（2）已知：∠A=50°，∠B比∠C小15°，求∠B的度數(shù)。

（3）已知：∠C=2∠B，∠B比∠A大20°，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)。

5、已知，在△ABC中與最大的內(nèi)角相鄰的外角是120°，則這個三角形一定是（）

A、不等邊三角形B、鈍角三角形C、等邊三角形D、等腰直角三角形6、、△ABC中，∠B=∠C=50°，AD平分∠BAC，則∠BAD=7、、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B還大30°，則∠C的外角為度，這個三角形是三角形8、、△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，則與∠C相鄰的外角等于9、、△ABC中，∠A