數(shù)學(xué)（江蘇A卷）：2023年高考第二次模擬考試卷（全解全析）

年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷數(shù)學(xué)·全解全析注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．全集，集合，集合，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解分式不等式以及對數(shù)不等式，得出集合，再結(jié)合集合的運算，即可得出答案.【詳解】解：由，得，解得，由，得，解得，所以，所以,所以=故選：C【點睛】本題主要考查了集合的基本運算，涉及了解分式不等式以及對數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，i是虛數(shù)單位，且是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算得到，再由純虛數(shù)的概念得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的定義即可求解.【詳解】因為，是虛數(shù)單位，所以，又是純虛數(shù)，則，解得：，所以，故選：A.3．的展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，則實數(shù)（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】賦值法求系數(shù)和，令和，兩式相減得奇數(shù)次冪項的系數(shù)的關(guān)系，解a即可.【詳解】設(shè)，令得，①，令得，②，①-②得，，解得.故選：B.【點睛】求展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)次冪項系數(shù)和與偶數(shù)次冪項系數(shù)和問題的關(guān)鍵是賦值法應(yīng)用.若，則展開式中：(1)各項系數(shù)之和為；(2)；(3).4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡所求表達式，結(jié)合已知條件得出正確選項.【詳解】因為，故選：C.【點睛】本小題主要考查利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題5．中，角A，B，C所對的邊長分別為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理化簡已知等式可得a＝b，根據(jù)已知可求c＝b，利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：∵∴由正弦定理可得：，可得：a＝b，∴c＝2b﹣a＝b，∴cosB＝＝＝．故選：A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．若是正項遞增等比數(shù)列，表示其前項之積，且，則當(dāng)取最小值時，的值為A．9 B．14 C．19 D．24【答案】B【詳解】試題分析：因為，所以，即，又數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以當(dāng)取最小值時，的值為，故選B.考點：等比數(shù)列的定義與性質(zhì).【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì);中檔題;等比數(shù)列的性質(zhì)是高考考查的熱點問題,解決等比數(shù)列問題一是用基本量法,即用首項與公比表示題中條件,列出方程求出首項與公比;二是利用等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)求解,如本題就是利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解的.7．拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．9【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何圖形求解.【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準線為，過作于，過作于，因為，所以當(dāng)，，三點共線時，取得最小值，故的最小值為．故選:A.8．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】設(shè)，則可根據(jù)的幾何意義求出滿足的關(guān)系，從而可得正確的選項，也可利用輔助角公式求出函數(shù)的最值.【詳解】法1：，故的定義域為，當(dāng)時，，此時，.當(dāng)時，，設(shè)，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，又的幾何意義為圓上的動點與連線的斜率，而的軌跡為如圖所示的兩條射線，對于給定的，分別過的切線的斜率的較大者、較小者，設(shè)切線斜率為，則切線的方程為：，整理得到：，故，整理得到，故，故A正確，B錯誤.而，因，故，故CD錯誤.故選：A.法2：設(shè)，則，整理得到：，若，，此時，.若，則，其中因，故，故，整理得到：①，此時，故①的解為，其中為方程的根，故，故A正確，B錯誤.而,因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故排除CD.綜上，，故選：A.【點睛】思路點睛：對于同時含有的分式函數(shù)，應(yīng)該從代數(shù)式的幾何意義分析轉(zhuǎn)化，從而簡化問題的討論，當(dāng)然也可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用輔助角公式求出函數(shù)的最值.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中錯誤的是（

）A．中位數(shù)可以準確地反映出總體的情況B．平均數(shù)可以準確地反映出總體的情況C．眾數(shù)可以準確地反映出總體的情況D．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準確地反映出總體的情況【答案】ABC【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點即可進行判斷.【詳解】中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，對極端值的不敏感也會成為缺點；故A錯誤；平均數(shù)較好地反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但是樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量較差時使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置就會可能與實際情況產(chǎn)生較大差異.；故B錯誤；眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但對其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得無法客觀反映總體特征；故C錯誤.由以上理由可知D正確.故選：ABC.10．設(shè)為兩個非零向量，且=0，那么下列四個等式，其中正確等式有（

）A．||=|| B．| C． D．【答案】BD【解析】即，A選項顯然不正確，再依次分析，轉(zhuǎn)化可判斷B；可判斷C；可判斷D【詳解】由題意，即，故A選項顯然不正確；B選項，由于，即，故B選項正確；C選項，，故C不正確；D選項，，故D正確故選：BD【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算率的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知兩點到直線的距離相等，則的值可能為（

）A． B． C． D．1【答案】AD【分析】直接利用兩點距離公式列方程計算即可.【詳解】兩點到直線的距離相等，，解得或.故選：AD.12．下列不等關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷各選項，可得出合適的選項.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則.對于A選項，，即，即，可得，又因為，所以，，A對；對于B選項，，即，即，可得，在中，令，則，化簡得，故，所以，即，所以，，故，B對；對于C選項，因為，則，故，故，C錯；對于D選項，因為，即，則，即，所以，，又，因此，，D對.故選：ABD.【點睛】思路點睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在2022年新冠肺炎疫情期間，長葛市組織市民進行核酸檢測，某個檢測點派出了3名醫(yī)生，6名護士．把這9名醫(yī)護人員分成三組，每組1名醫(yī)生2名護士，則醫(yī)生甲與護士乙分在一組的概率為______．【答案】【分析】根據(jù)排列組合知識求得基本事件的個數(shù)后，由概率公式計算．【詳解】由題意每組1名醫(yī)生2名護士的分法總數(shù)是，醫(yī)生甲與護士乙分在一組的方法，所以所求概率為．故答案為：．14．在銳角三角形中，，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】銳角三角形中，角都是銳角，求出角的取值范圍.由正弦定理可得，化簡，即求求得的取值范圍.【詳解】銳角中，，即，.在中，由正弦定理，可得，即.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、二倍角公式、余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.15．設(shè)橢圓的左?右焦點分別為.已知點，線段交橢圓于點P，O為坐標原點.若，則該橢圓的離心率為___________.【答案】##【分析】由橢圓定義和題干中的可得到，進而得出點P的坐標，代入橢圓方程化簡可得到離心率.【詳解】根據(jù)橢圓定義知，又，，由三角形為直角三角形可得點P是的中點，，把點P代入橢圓方程中得.故答案為：.16．若實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為___________.【答案】8【分析】由給定條件可得，再變形配湊借助均值不等式計算作答.【詳解】由得：，又實數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，由解得：，所以當(dāng)時，取最小值8.故答案為：8【點睛】思路點睛：在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的的最大值.【答案】（1）證明見解析，；（2）的最大值為.【分析】（1）利用與的關(guān)系可得出，利用定義可證明出數(shù)列為等差數(shù)列，確定等差數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；（2）化簡得出，利用裂項求和法可求得，然后解不等式可得出正整數(shù)的最大值.【詳解】（1）.當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由，可得，上述兩式相減得，即，等式的兩邊同時乘以，得，即，所以，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，即，；（2）由（1）可得，所以，，由可得，即，.因此，正整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，同時也考查了裂項求和法以及數(shù)列不等式的求解，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.18．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為棱長為2的菱形，，，．（1）求證：面面；（2）求直線與面所成角．【答案】（1）見解析（2）．【分析】（1）連結(jié)交于點，連結(jié)，通過菱形的性質(zhì)得出，，得出為等邊三角形，根據(jù)三邊關(guān)系得出，則，而，根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，而平面，從而可證出平面平面；（2）由面面垂直的性質(zhì)得出面，則即為與面所成角，通過幾何法求得，即可求出直線與面所成角．【詳解】解：（1）證明：連結(jié)交于點，連結(jié)，因為為菱形，，所以，，則為等邊三角形，即可得，又，所以在中，，∴，即，又知，，且平面，平面，所以平面，平面，即平面平面.（2）由（1）知平面平面，因為，平面平面，所以面，則即為與面所成角，在中，，，∴，∴，所以直線與面所成角為．【點睛】本題考查線面、面面垂直的判定和性質(zhì)，以及通過幾何法求線面夾角，考查邏輯推理能力.19．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求的最大值.【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）利用正弦定理及和角公式可得，進而即得；（2）利用余弦定理及基本不等式即得.【詳解】（1），∴由正弦定理得，∵，∴，又,，即，又，所以；（2）由余弦定理可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最大值為4.20．（12分）已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：與具有相同的單調(diào)性；(2)令，討論的極值點個數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）分別對與求導(dǎo)，觀察比較兩導(dǎo)數(shù)的解析式，易得兩者符號相同，由此得證；（2）對求導(dǎo)，先求得的正負情況，再分類討論與兩種情況，的正負情況，從而可判斷得的極值點個數(shù).【詳解】（1）由，得，由，得，因為，所以與的符號相同，所以與具有相同的單調(diào)性.（2）由（1）知，，令，則，且，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取極小值，且有1個極小值點，無極大值點；②當(dāng)時，，令，解得，，由，得，于是：當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，有2個極值點.綜上：當(dāng)時，函數(shù)有1個極值點，當(dāng)時，函數(shù)有2個極值點.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．21．（12分）已知橢圓的短軸長為，右焦點與拋物線的焦點重合，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)、是橢圓上的不同兩點，點，且滿足，若，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題設(shè)可直接得到的值，從而得到的值，據(jù)此可得橢圓的方程.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消去，利用韋達定理和向量關(guān)系得到的關(guān)系式，最后利用的范圍得到的取值范圍.【詳解】（1）由已知得，所以,橢圓的方程為.（2）∵，∴三點共線，而，且直線的斜率一定存在，所以設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得，由，得設(shè)，①又由得：，∴②.將②式代入①式得:消去得，當(dāng)時，是減函數(shù)，所以，∴，解得，又因為，所以，即或，∴直線的斜率的取值范圍是.【點睛】求橢圓的標準方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、范圍問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、范圍問題.22．（12分）由個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有行和列.每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為，放紅球的概率為q，.(1)若，，記表示100輪放球試驗中“每一列至少一個紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：n12345y7656423026求y關(guān)于n的回歸方程，并預(yù)測時，y的值；（精確到1）(2)若，，，，記在每列都有白球的條件下，