定積分在幾何學上的應用

定積分在幾何學上的應用541第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四542學習指導熟練運用定積分計算直角坐標系和極坐標系中平面圖形的面積；熟練運用定積分計算旋轉體的體積和平行截面為已知的空間立體的體積；熟練運用定積分計算平面曲線的長度。第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四543注意事項直角坐標系中求平面圖形的面積時可能選X作為積分變量，也可能選Y作為積分變量，需視具體情況而定；求旋轉體的體積時要注意旋轉軸和積分變量；要注意平面曲線的數學表達式的具體形式，相應的計算曲線長度的公式有所不同，需區(qū)分清楚。

第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四544一、平面圖形的面積1、直角坐標情形2、極坐標情形第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四545曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標系情形第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四546面積元素例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四547兩曲線的交點解選為積分變量第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四548解先求兩曲線的交點。第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四549如果曲邊梯形的曲邊為參數方程曲邊梯形的面積第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5410一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數方程

給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數值則曲邊梯形面積第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5411例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5412例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5413小結第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5414第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5415第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54162.極坐標情形在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對(ρ,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。極坐標是二維坐標系

x=r*cosθ,y=r*sinθ,極坐標簡介第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54172.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5418第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5419第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5420對應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54212a例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5422例7.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5423立體體積的計算1、旋轉體體積計算方法2、平行截面面積為已知的立體體積第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5424圓柱圓錐圓臺1、旋轉體體積計算方法旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體.直線叫做旋轉軸.第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5425旋轉體的體積為第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5426第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5427第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5428例1解第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5429第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5430

解

軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體.

旋轉橢球體的體積為

例2

計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積.

第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5431

例3

計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.

解所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5432

例3

計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,

直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.

解

設曲線左半邊為x=x1(y),右半邊為x=x2(y).

所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為63a3

.

第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5433體積元素為例4*解第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54342、平行截面面積為已知的立體體積如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5435

設立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,

b],

立體內垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積元素為

立體的體積為A(x)dx.第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5436截面面積為A(x)的立體體積：

例5

一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心,

并與底面交成角.

計算這平面截圓柱所得立體的體積.

建立坐標系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.

所求立體的體積為

解

立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形,其面積為第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5437

例6

求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.

建立坐標系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.于是所求正劈錐體的體積為截面面積為A(x)的立體體積：

解

立體中過點x且垂直于x軸的截面面積為第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5438三、平面曲線的弧長1、平面曲線弧長的概念2、平面曲線弧長的計算第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54391、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)則稱第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5440弧長元素(弧微分):因此所求弧長2、平面曲線弧長的計算（1）直角坐標情形:曲線弧由直角坐標方程給出第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5441曲線弧由參數方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長（2）參數方程情形第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5442（3）極坐標方程情形:曲線弧由極坐標方程給出第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5443所求弧長為例1解第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5444例2解積分上限函數的性質第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5445例3.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線,求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5446例4證第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5447根據橢圓的對稱性知故原結論成立.第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5448

弧長元素為從而,所求弧長例5解第48頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5449例6解第49頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四5450例7解第50頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四54511、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標為積分變量；四、小結2、參數方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標面積計算公式經積分變量替換得到；3、極坐標方程給出的平面圖形的面積一般以極坐標為積分