北師大數(shù)學(xué)七下復(fù)習(xí)階梯訓(xùn)練：相交線與平行線（優(yōu)生集訓(xùn)）含解析

相交線與平行線（優(yōu)生集訓(xùn)）一、綜合題1．對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題我們常會(huì)把它分解為基本問題來(lái)研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零，這是一種常見的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1．直線l1、l2被直線l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了對(duì)同旁內(nèi)角．（2）如圖2．平面內(nèi)三條直線l1，l2，l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A，B，C，圖中一共有對(duì)同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁內(nèi)角2．如圖，直線CD∥EF，點(diǎn)A，EF上（自左向右分別為點(diǎn)C，A，D和點(diǎn)E，B，F(xiàn)），∠ABF＝60°．射線AM自射線AB的位置開始，同時(shí)，射線BN自射線BE開始以每秒5°的速度繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，兩者均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為x秒．（1）如圖1，直接寫出下列答案：①∠BAD的度數(shù)是；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間x＝秒時(shí)，射線BN過(guò)點(diǎn)A；（2）如圖2，若AM∥BN，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)時(shí)間x的值．（3）若兩條射線AM和BN所在直線交于點(diǎn)P．①如圖3，若點(diǎn)P在CD與EF之間，且∠APB＝126°，求旋轉(zhuǎn)時(shí)間x的值；②若旋轉(zhuǎn)時(shí)間x＜24，求∠APB的度數(shù)（直接寫出用含x的代數(shù)式表示的結(jié)果）.3．已知，．（1）如圖1，若，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，求的大小，說(shuō)明你的理由；（2）如圖2，若的平分線與的外角平分線互相平行，求與的關(guān)系；4．（1）同題情境：如圖1，，，．求的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過(guò)作，．．．．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．（2）問題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，．①當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間時(shí)，，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．5．（1）問題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC＝．（2）問題遷移：如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．6．如圖1，點(diǎn)E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED.（1）探究猜想：①若∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，則∠AED的度數(shù)為▲；②若∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，則∠AED的度數(shù)為▲；③猜想圖a中∠AED、∠EAB、∠EDC之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，線段EF與長(zhǎng)方形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②分別是被線段EF隔開的兩個(gè)區(qū)域(不含邊界），點(diǎn)P是位于以上兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，連接PE，PF，猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關(guān)系(不要求寫出過(guò)程)．7．25．如圖，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分線．（1）若CM平分∠BCD，求∠MCN的度數(shù)；（2）若CM在∠BCD的內(nèi)部，且CM⊥CN于C，求證：CM平分∠BCD；（3）在(2)的條件下，連結(jié)BM，BN，且BM⊥BN，∠MBN繞著B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，∠BMC＋∠BNC是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．8．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線MN的兩側(cè)中，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且，其中，，，點(diǎn)E、F均落在直線MN上．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，求證：；聰明的小麗過(guò)點(diǎn)C作，并利用這條輔助線解決了問題．請(qǐng)你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過(guò)程．（2）將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2，求證：；（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)，畫出平移后的三角形DEF，并回答問題，若，則．（用含的代數(shù)式表示）9．閱讀第（1）題解答過(guò)程填理由，并解答第（2）題（1）已知：如圖1，AB∥CD，P為AB，CD之間一點(diǎn)，求∠B+∠C+∠BPC的大小．解：過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD，∴∠B+∠1＝180°，．∴∠C+∠2＝180°∵∠BPC＝∠1+∠2∴∠B+∠C+∠BPC＝360°（2）我們生活中經(jīng)常接觸小刀，如圖2小刀刀柄外形是一個(gè)直角梯形挖去一個(gè)小半圈，其中AF∥EG，∠AEG＝90°，刀片上、下是平行的（AB∥CD），轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否會(huì)隨刀片的轉(zhuǎn)動(dòng)面改變，如不改變，求出其大?。蝗绺淖?，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．已知：如圖1，，．（1）判斷圖中平行的直線，并給予證明；（2）如圖2，，，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．在四邊形中，，，點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．（2）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是．12．已知：直線∥，A為直線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上．D，E為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，連接AD，AE，滿足∠AED＝∠DAE．點(diǎn)M在上，且在點(diǎn)B的左側(cè)．（1）如圖1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接寫出∠ABM的度數(shù)；（2）射線AF為∠CAD的角平分線．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，用等式表示∠EAF與∠ABD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°時(shí)，直接寫出∠EAF的度數(shù)．13．綜合與探究【問題情境】王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）如圖1，EF∥MN，點(diǎn)A、B分別為直線EF、MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）【問題遷移】如圖2，射線OM與射線ON交于點(diǎn)O，直線m∥n，直線m分別交OM、ON于點(diǎn)A、D，直線n分別交OM、ON于點(diǎn)B、C，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)P在A、B（不與A、B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P不在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．14．如圖，，.點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn).（1）求的度數(shù).（2）求的度數(shù).（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律；若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.15．【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，直線AB∥CD，E是AB與CD之間的一點(diǎn)，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C＝∠BEC．（1）請(qǐng)把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥CD（），∴∠C＝∠CEF（），∵EF∥AB（作圖），∴∠B＝▲，（），∴∠B+∠C＝_▲（等量代換），即∠B+∠C＝∠BEC．（2）【拓展探究】如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：∠B，∠C，∠BEC之間的關(guān)系是（3）【解決問題】如圖③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，請(qǐng)求出∠A的度數(shù)．16．一個(gè)小區(qū)的路面規(guī)劃示意圖如圖所示，已知AD⊥EF，CE⊥EF，∠2+∠3=180°（1）判斷∠1與∠BDC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若∠1=70°，DA平分∠BDC，試求∠FAB的度數(shù)17．先閱讀材料，再解決問題．在同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD外部，則有∠B=∠BOD．又因?yàn)椤螧OD是△POD的外角，則有∠BOD=∠BPD+∠D，所以∠BPD=∠B-∠D（1）將點(diǎn)P移到AB，CD內(nèi)部，其余條件不變，如圖2，以上結(jié)論是否仍成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出∠BPD，∠B，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）在圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，請(qǐng)借助(1)中的圖形與結(jié)論，找出圖3中∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由18．在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三條平行線m，n，l（即始終滿足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，展翅組把三角尺ABC的邊BC放在l上，三角尺DEF的頂點(diǎn)F與頂點(diǎn)B重合，邊EF經(jīng)過(guò)AB，頂點(diǎn)E恰好落在m上，頂點(diǎn)D恰好落在n上，邊ED與n相交所成的一個(gè)角記為∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖2，受到展翅組的啟發(fā)，高遠(yuǎn)組把直線m向下平移后使得兩個(gè)三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)A、D分別落在m和l上，頂點(diǎn)C恰好落在n上，邊AC與l相交所成的一個(gè)角記為∠2，邊DF與m相交所成的一個(gè)角記為∠3，請(qǐng)你說(shuō)明∠2﹣∠3＝15°；結(jié)論應(yīng)用（3）老師在點(diǎn)評(píng)高遠(yuǎn)組的探究操作時(shí)提出，在（2）的條件下，若點(diǎn)N是直線n上一點(diǎn)，CN恰好平分∠ACB時(shí)，∠2與∠3之間存在一個(gè)特殊的倍數(shù)關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出它們之間的倍數(shù)關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．19．綜合與實(shí)踐閱讀下面內(nèi)容，并解答問題已知：如圖1，，．求證：．老師要求學(xué)生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對(duì)圖形進(jìn)行變式，繼續(xù)做拓展探究，看看有什么新發(fā)現(xiàn)？（1）小穎首先完成了對(duì)這道題的證明，在證明過(guò)程中她用到了平行線的一條性質(zhì)，小穎用到的平行線性質(zhì)可能是．（2）接下來(lái)，小穎用《幾何畫板》對(duì)圖形進(jìn)行了變式，她先畫了兩條平行線、，然后在平行線間畫了一點(diǎn)，連接，后，用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)，分別得到了圖①②③，小穎發(fā)現(xiàn)圖②正是上面題目的原型，于是她由上題的結(jié)論猜想到圖①和③中的、與之間也可能存在著某種數(shù)量關(guān)系．于是她利用《幾何畫板》的度量與計(jì)算功能，找到了這三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你在小穎操作探究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)完成下面的問題：①猜想圖①中、與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②利用圖③探究，在拖動(dòng)點(diǎn)至的上方或的下方時(shí)，、與之間還存在其它數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系：▲（寫出一種即可）．（3）學(xué)以致用：一個(gè)小區(qū)大門欄桿的平面示意圖如圖2所示，垂直地面于，平行于地面，若，則度數(shù)為．20．已知，直線，E為、間的一點(diǎn)，連接、．（1）如圖（1），若，，則°．（2）如圖（2），若，，則．（3）如圖（3），若，，則，與之間有何等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．21．如圖，直線PQ∥MN，點(diǎn)C是PQ、MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖甲，寫出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明原因；（2）若把一塊三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)；（3）將圖乙中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖丙，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．22．已知直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B、C為平面內(nèi)兩點(diǎn)，AC⊥BC于點(diǎn)C．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在直線MN上，點(diǎn)C在直線MN上方時(shí)，延長(zhǎng)CB交直線PQ于點(diǎn)D，則∠CAB和∠CDP之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線MN上且在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)B在直線MN與PQ之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB交直線PQ于點(diǎn)D．為探究∠ABC與∠BDP之間的數(shù)量關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)B作BF∥MN．請(qǐng)根據(jù)他的思路，寫出∠ABC與∠BDP的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠ABD的平分線交直線MN于點(diǎn)E，當(dāng)∠AEB＝2∠ABC時(shí)，直接寫出∠ABC的度數(shù)．（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在直線MN上且在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)B在直線PQ下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB交直線PQ于點(diǎn)D．作∠ABD的平分線交直線MN于點(diǎn)E，當(dāng)∠BDP＝2∠BEN時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)充圖形并直接寫出∠ABC的度數(shù)．23．綜合與探究：將三角形紙板如圖放置，點(diǎn)P是邊AB邊上一點(diǎn)，DF∥CE，∠PCE＝∠α，∠PDF＝∠β，（1）探究：如果α＝30°，β＝40°，則∠DPC＝．（2）猜想：當(dāng)點(diǎn)P在E、F兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DPC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）拓展：如果點(diǎn)P在E、F兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、E、F四點(diǎn)不重合），上述（2）中的結(jié)論是否還成立？并說(shuō)明理由．24．已知：如圖（1）直線AB、CD被直線MN所截，∠1＝∠2．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖（2），點(diǎn)E在AB，CD之間的直線MN上，P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，則∠PEQ和∠PFQ之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，過(guò)P點(diǎn)作PH∥EQ交CD于點(diǎn)H，連接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度數(shù)．25．如圖，已知AB∥CD，∠ACD的平分線與AB交于點(diǎn)E．（1）求證：∠ACE＝∠AEC；（2）若點(diǎn)F為射線CE上一點(diǎn)．①連接FA，探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②點(diǎn)G為線段CE上一點(diǎn)且∠CAG＝3∠EAG，當(dāng)∠GAF+∠AEC＝90°時(shí)，求的值．

答案解析部分【解析】【解答】解：（1）如圖，

如圖1．直線l1、l2被直線l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成的同旁內(nèi)角有∠DAB和∠ABE；∠CAB和∠ABF，一共2對(duì)；

故答案為：2.

（2）如圖，

圖形中的同旁內(nèi)角有：∠DAB和∠ABG；∠CAB和∠CBA；∠ACB和∠BAC；∠AHC和∠ACM；∠FBC和∠BCE；∠ABC和∠ACB；一共有6對(duì)

故答案為：6.

(3)平面內(nèi)四條直線兩兩相交，交點(diǎn)最多為6個(gè)，最多可以形成4×(4-1)×(4-2)=24(對(duì))同旁內(nèi)角．

故答案為：24.【分析】（1）兩條直線被第三條直線所截時(shí)，夾在兩條直線的內(nèi)部，且在截線同側(cè)的兩個(gè)角互為同旁內(nèi)角；觀察圖1，可得到這個(gè)基本圖形中，同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù).

（2）觀察圖2，可知直線AB和BC被直線AC所截；直線BC，AC被直線AB所截；直線AC，AB被直線BC所截；由此可得圖中同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù).

（3）利用（1）（2）的規(guī)律可知：平面內(nèi)四條直線兩兩相交，交點(diǎn)最多為6個(gè)，可得到形成的同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù).【解析】【解答】解：（1）①∵CD∥EF，

∴∠ABF+∠BAD=180°，

∵∠ABF=60°，

∴∠BAD=120°；

②∵∠ABF=60°，

∴∠ABE=120°，

∴120÷5=24（秒），

故答案為：120°，24；

【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)（同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即可求解；

②先根據(jù)鄰補(bǔ)角的的性質(zhì)求出∠ABE的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)題意即可求解；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠BAM=∠ABN，再結(jié)合題意得到∠ABN=120°-5x，∠BAM=x，進(jìn)而列出方程，解出x即可求解；

（3）①根據(jù)題意得到∠ABN=5x-120°，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理列出方程即可求解；

②觀察圖形直接求解即可.【解析】【分析】（1）求出∠ABG=∠DCG，再利用角平分線，可得出∠DCE=∠EBD，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，從而求出的大小；

（2）作∠ACD的平分線，交BE于P，由∠A+∠ABG=∠BPC+∠PCG，∠BPH+∠PBH=∠D+∠DCH，得出α+∠ABG=90°+∠PCG，①。90°+∠PBH=β+∠DCH，②因?yàn)锽E平分∠ABD，CH平分∠ACD，得出∠ABG=∠PBH，∠DCH=∠PCG，兩式相減即可?！窘馕觥俊痉治觥浚?）過(guò)作，可得PE∥CD，∠APE=180°-∠PAB=50°，從而可求∠CPE=180°-∠PCD=60°，利用∠APC=∠APE+∠CPE即可求出結(jié)論；

（2）①，理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，可得PE∥BC，利用平行線的性質(zhì)可得，，從而得出；

②分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)分別解答即可.【解析】【解答】解：?jiǎn)栴}情境：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為110°；【分析】（1）先求出PE∥AB∥CD，再求出∠APE=50°，∠CPE=60°，最后計(jì)算求解即可；

（2）先求出AD∥PE∥BC，再求出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，最后證明求解即可；

（3）分類討論，利用圖形求解即可?！窘馕觥俊痉治觥浚?）①根據(jù)∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，計(jì)算求解即可；

②根據(jù)∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，計(jì)算求解即可；

③先求出AB∥EF∥CD，再求出∠2＝∠EDC，∠1＝∠EAB，最后證明求解即可；

（2）分類討論，求解即可?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由角平分線的定義得出BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCD，由于∠MCN＝∠BCN＋∠BCM＝∠BCE＋∠BCD＝(∠BCE＋∠BCD)，利用補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直的定義得出∠MCN＝90°，即∠BCN＋∠BCM＝90°，利用等式的性質(zhì)得出2∠BCN＋2∠BCM＝180°，結(jié)合角平分線的定義得出∠BCD＝2∠BCM，據(jù)此即得結(jié)論；

（3）∠BMC＋∠BNC＝180°，理由：延長(zhǎng)AB至F，過(guò)N，M分別作NG∥AB，MH∥AB，則有NG∥AB∥MH∥CD，利用平行線的性質(zhì)得出∠BNG＝∠ABN，∠CNG＝∠ECN，∠BMH＝∠FBM，∠CMH＝∠DCM，由垂直的定義得出∠MBN＝∠MCN＝90°，從而求出∠ABN＋∠FBM＋∠ECN＋∠DCM＝180°，利用角平分線的定義即得結(jié)論.【解析】【解答】解：（3）如圖三角形DEF即為所求作三角形．∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，∵，∴∠ACB=，∴，∴∠A=180°-=．故答案為為：．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，，再根據(jù)，，得到，進(jìn)而得出，最后證明；

（2）先證明，再證明，得到，問題得證；

（3）根據(jù)題意得到，由（2）得，∠DEF=∠ECA=，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓海?）過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），∴∠B+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠BPC＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BPC＝360°．故答案為：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得；

（2）先過(guò)E作EF//AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出答案?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求出∠AMN+∠2=180°，根據(jù)平行線的判定推出AB∥CD即可；根據(jù)平行線性質(zhì)和已知求出∠AEF=∠EF1L，根據(jù)平行線的判定推出即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理，∠MQN=∠QMB+∠QND，同理，∠MPN=∠PMB+∠PND，代入求出即可。【解析】【分析】（1）由∠BAD=∠BCD，AB//DC，可得到AD∥BC，再根據(jù)EF//AD，得出EF∥BC，最后根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，與（1）的證明方法一樣，證出EF∥BC，再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”得到結(jié)論。【解析】【解答】解：（1）設(shè)在上有一點(diǎn)N在點(diǎn)A的右側(cè)，如圖所示：∵∴，∴∴（2）②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖：由①得：又∵∴∵∴當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)，E在B右側(cè)時(shí)，如圖：∵為的角平分線∴∵∴，∵∴∴∵∴又∵∴∴當(dāng)點(diǎn)D和F在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，設(shè)在上有一點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)如圖：此時(shí)仍有，∴∴綜合所述：或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而可得∠ABM=；

（2）①設(shè)，，得出，利用角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而求出，繼而得出②分三種情況：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)，E在B右側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D和F在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，據(jù)此分別解答即可.【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG∥EF，∴∠PAF+∠APG=180°，

∵EF∥MN，

∴PG∥MN，

∴∠PBN+∠BPG=180°，

∴∠PAF+∠APG+∠PBN+∠BPG=360°，

∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；

（2）②如備用圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD，交ON于點(diǎn)E，

∴∠DPE=，

∵AD∥BC，

∴PE∥BC，

∴∠CPE=，

∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=，

如備用圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BO之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD，交ON于點(diǎn)E，

∴∠DPE=，

∵AD∥BC，

∴PE∥BC，

∴∠CPE=，

∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=.【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG∥EF，根據(jù)平行公理得出PG∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PAF+∠APG=180°，∠PBN+∠BPG=180°，即可得出∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①過(guò)P作PF∥AD交CD于E，根據(jù)平行公理得出PG∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，利用∠CPD=∠DPE+∠CPE，即可得出∠CPD=；

②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在BO之間時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD，交ON于點(diǎn)E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DPE=，∠CPE=，再利用∠CPD、∠DPE、∠CPE之間的關(guān)系，即可得出答案.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠ABN=180°，即可求出∠ABN的度數(shù)；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠CBP=∠ABP，∠PBD=∠PBN，再利用∠CBD=∠CBP+∠PBD=∠ABN，即可得出答案；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，根據(jù)角平分線的定義得出∠PBN=2∠DBN，進(jìn)而得出∠APB=2∠DBN.【解析】【解答】解：【拓展探究】：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C+∠CEF=180°，∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°,

故答案為：∠B+∠C+∠BEC=360°.

【分析】【問題發(fā)現(xiàn)】根據(jù)平行公理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

【拓展探究】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行公理得出EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，從而得出∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，即可得出答案；

【解決問題】作EF∥AB，根據(jù)平行公理得出EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠C+∠CEF=180°，∠BAE=∠AEF，從而求出∠CEF=60°，∠AEF=20°，即可求出∠BAE=20°.【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義即可得到AD∥CE，繼而由平行線的性質(zhì)得到∠ADC+∠3=180°，即可得到AB∥CD，得到答案即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠BDC=∠1=70°，繼而由DA平分∠BDC得到∠ADC的度數(shù)，求出∠2的度數(shù)，由∠FAB=∠FAD-∠2得到結(jié)論即可?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)平行線的性質(zhì)，計(jì)算得到答案即可；（2）根據(jù)題意，由等量代換求出答案即可。【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠DBC＝∠BDN，可求出∠BDN=∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，根據(jù)∠1=90°-∠BDN即可求解；

（2）過(guò)B點(diǎn)作BG∥直線m，可得BG∥l∥m，利用平行線的性質(zhì)可得∠3＝DBG，∠LAB＝∠ABG，從而求出∠3+∠LAB＝∠DBA＝75°，由余角的定義可得∠LAB＝90°﹣∠2，繼而得解；

（3）∠2＝3∠3．理由：由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠BCN＝∠CAN＝22.5°=∠2，利用（2）中結(jié)論求出∠3的度數(shù)，繼而得解.

【解析】【解答】解：（1）證明：∵∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．（2）②當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)至的上方時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)D作∵∴∵∴∴∵∴；當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)至的下方時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)D作∵∴∵∴∴∵∴；故答案為：或（寫出一種即可）．（3）過(guò)點(diǎn)B作∵，∴∴∵∴∵，∴∴，故答案為：．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答即可；

（2）①證明：如下圖，過(guò)D作，可得CD∥EF，利用平行線的性質(zhì)可得，，從而得出；

②分兩種情況：當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)至的上方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)至的下方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)分別求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)B作，可得，利用平行線的性質(zhì)可求出∠CBG=30°，，根據(jù)即可求解.【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．（1）如圖（1）∵∠A=