8-7空間向量的應(yīng)用（一） 平行與垂直

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第八章8.7第7課時(shí)

課時(shí)作業(yè)（四十五）

一、選擇題

→＝(2,4,5)，CD→＝(3，x，y)，若AB→∥CD→，則()

1．已知AB

15

A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝2

15

C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝2答案D

→∥CD→，∴3＝x＝y(tǒng)，∴x＝6，y＝15.

解析∵AB

2452

2．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是()

333333A．(3，3，－3)B．(3，－3，3)333333

C．(－3，3，3)D．(－3，－3，－3)答案D

→＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)

解析AB

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)?－x＋y＝0∴?－x＋z＝0?

令x＝1，則y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)

333n

單位法向量為：±＝±(，，|n|333)．

3．設(shè)點(diǎn)C(2a＋1，a＋1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)確定的平面上，則a等于()

A．16B．4C．2D．8答案A

→→＝(6，－1,4)．根據(jù)共面向量定理，設(shè)PC→＝xP→

解析PA＝(－1，－3,2)，PBA

→(x、y∈R)，則＋yPB

(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，

?2a－1＝－x＋6y，∴?a＋1＝－3x－y，?2＝2x＋4y，

解得x＝－7，y＝4，a＝16.

4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線OM()

A．是AC和MN的公垂線

B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．與AC、MC都不垂直答案A

解析建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量運(yùn)算可得．5．(2023·中山模擬)△ABC的頂點(diǎn)分別為A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD等于()

A．5B.41C．4D．25答案A

→＝λAC→，D(x，y，z)，∴由AC→·→＝0，解析設(shè)ADBD

4→＝(－4，9，12)，∴|BD→|＝5.

得λ＝－5，∴BD

55

6．(2023·XX揚(yáng)州)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在

21

A1D、AC上，且A1E＝3A1D，AF＝3AC，則()

A．EF至多與A1D、AC之一垂直B．EF是A1D，AC的公垂線C．EF與BD1相交D．EF與BD1異面答案B

解析設(shè)AB＝1，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

1121

則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，0，)，F(xiàn)(，，0)，B(1,1,0)，

3333

1→→→11→

D1(0,0,1)，A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝(，，－)，BD1＝(－1，333

1→→→→＝AC→·→＝0，

－1，1)，EF＝－3BD1，AEFEF1D·

從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.

→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，

7．已知AB且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為()

33154015A.7，－7，4B.7，－7，44040

C.7，－2,4D．4，7，－15答案B

→⊥BC→，∴AB→·→＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面

解析∵ABBC

→＝(3,1,4)，

ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，BC

?x－1?＋5y＋6＝0，則?解得??3?x－1?＋y－12＝0，

40??x＝7，15y＝－??7.

二、填空題

8．設(shè)平面α與向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量b＝(2,3,1)垂直，則平面α與β位置關(guān)系是________．

答案垂直

解析由已知a，b分別是平面α，β的法向量．∵a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.

9．若|a|=17，b＝(1,2，－2)，c＝(2,3,6)，且a⊥b，a⊥c，則a＝________.

181181

答案(－5，2，5)或(5，－2，－5)解析設(shè)a＝(x，y，z)，∵a⊥b，∴x＋2y－2z＝0.①∵a⊥c，∴2x＋3y＋6z＝0.②∵|a|＝17.∴x2＋y2＋z2＝17.③∴聯(lián)立①②得x＝－18z，y＝10z，

1

代入③得425z2＝17，z＝±5.

181181

∴a＝(－5，2，5)或(5，－2，－5)．

212

10．設(shè)a＝(1,2,0)，b＝(1,0,1)，則“c＝(3，－3，－3)〞是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量〞的________．(將正確的序號(hào)填上)．

①充要條件

②充分不必要條件③必要不充分條件

④既非充分條件也非必要條件答案②

212

解析當(dāng)c＝(3，－3，－3)時(shí)，c⊥a，c⊥b且c為單位向量，反之則不成立．三、解答題

11．棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在一點(diǎn)P使B1D⊥平面PAC?

解析

以D為原點(diǎn)建立如下圖空間直角坐標(biāo)系

→＝(－a,0，z)，AC→＝(－a，a,0)，DB→＝(a，a，a)．

設(shè)存在點(diǎn)P(0,0，z)，AP1∵B1D⊥平面PAC，→·→＝0，DB→·→＝0.∴DBAPAC∴－a＋az＝0.

∴z＝a，即點(diǎn)P與D1重合．

∴存在一點(diǎn)P，即點(diǎn)P與D1重合時(shí)，DB1⊥平面PAC.12.

12

1

(2023·鄭州質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，試在棱CC1上求一點(diǎn)P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

解析如下圖，以D為原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，CP＝a，

1

則P(0,1，a)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、E(2，1,0)、C1(0,1,1)，

→

∴A→B＝(0,1,0)，AP＝(－1,1，a－1)，

11

1

→＝(1，1,0)，DC→＝(0,1,1)．DE1

2

設(shè)平面A1B1P的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)，?A→?n1·?y1＝0，1B1＝0，則?即?

→－x＋y＋(a－1)z＝0.?111?A1P＝0?n1·

令z1＝1，得x1＝a－1，∴n1＝(a－1,0,1)．

設(shè)平面C1DE的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

1→＝0，???x2＋y2＝0，DE?n2·

則???2

→??DC1＝0?n2·?y2＋z2＝0.

令x2＝－2，y2＝1，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1)．∵面A1B1P⊥面C1DE，

1

∴n1·n2＝0?－2(a－1)－1＝0，得a＝2.

∴當(dāng)P為C1C的中點(diǎn)時(shí)，平面A1B1P⊥平面C1DE.

13．已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．

(1)求證：BE⊥平面PCD；

(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BDE?

解析(1)證明以AD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)AB＝AD＝2，

則有B(1,2,0)，C(－1,4,0)，

13

D(－1,0,0)，P(0,0，3)，E(－2，2，2)，→＝(－3，0，3)，PC→＝(－1,4，－3)，∴BE

22

→＝(0，－4,0)，CD

→·→＝(－3，0，3)·∴BEPC

22(－1,4，－3)＝0，

→·→＝(－3，0，3)·BECD

22(0，－4,0)＝0.

即BE⊥PC，BE⊥CD.

又PC∩CD＝C，∴BE⊥平面PCD.

(2)解析設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，

→，n⊥DE→，∴n·→＝0，n·→＝0，∵n⊥BEBEDE33?－x＋?22z＝