流體力學(xué) 【課件】Chapter9-邊界層流動(dòng)

邊界層流動(dòng)在低雷諾數(shù)的緩慢流動(dòng)中，由于粘性力遠(yuǎn)大于慣性力，因此慣性力項(xiàng)可以從運(yùn)動(dòng)方程中略去，從而得到斯托克斯方程。對(duì)于高雷諾數(shù)的勢流流動(dòng)，由于慣性力遠(yuǎn)大于粘性力，可以將粘性力忽略，從而得到歐拉方程。不適用于固體壁面附近。為什么在勢流流動(dòng)中，在壁面附近不能忽略粘性力的影響？如何正確處理壁面附近大雷諾數(shù)的流體流動(dòng)問題呢？——由1904年普朗特（Prandtl）提出的邊界層理論來解決。邊界層理論闡明了大雷諾數(shù)下，粘性力對(duì)流體流動(dòng)的影響。流體在壁面附近的流動(dòng)也稱邊界層流動(dòng)。問題的引入：普朗特邊界層理論一、普朗特邊界層理論的要點(diǎn)流體在壁面附近存在很薄的一個(gè)流體層，稱為邊界層。在邊界層內(nèi)垂直于流動(dòng)方向上的速度梯度很大，剪應(yīng)力也較大，所以不能忽略粘性力的作用。在邊界層以外的區(qū)域，流體的速度梯度則很小，幾乎可視為零，此時(shí)粘性力可以忽略，可以將其視為理想流體的無旋流動(dòng)。u0u0u0Axcδ平板上邊界層的形成u0u0u0Axcδ大雷諾數(shù)的流動(dòng)邊界層——邊界層理論外流區(qū)——?dú)W拉方程二、邊界層的形成與發(fā)展

所謂邊界層就是流體速度分布明顯受到壁面影響的區(qū)域，亦即壁面附近速度梯度較大的薄流體層。1、邊界層的形成：u0u0u0Axcδ平板上邊界層的形成u0u0u0Axcδ2、邊界層的發(fā)展由層流邊界層開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚拥木嚯x稱為臨界距離(xc)。

xc的大小與壁面前緣的形狀、壁面的粗糙度、流體的性質(zhì)以及流速等因素有關(guān)。壁面愈粗糙、前緣愈鈍，則xc愈短。對(duì)于平板壁面上的流動(dòng)，雷諾數(shù)的定義為實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于光滑的平板壁面，邊界層由層流開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯呐R界雷諾數(shù)范圍為（2×105～3×106）。u0u0u0層流邊界層湍流邊界層層流內(nèi)層Axcδ平板上邊界層的發(fā)展u0u0u0層流邊界層湍流邊界層層流內(nèi)層Axcδ平板上當(dāng)一粘性流體以均勻流速流進(jìn)水平圓管時(shí)，由于流體的粘性作用在管內(nèi)壁面處形成邊界層并逐漸加厚。在距管進(jìn)口某一段距離，邊界層在管中心匯合，此后便占據(jù)管的全部截面，邊界層厚度即維持不變。據(jù)此可將管內(nèi)的流動(dòng)分為兩個(gè)區(qū)域：一是邊界層匯合以前的區(qū)域，稱之為進(jìn)口段流動(dòng)；另一是邊界層匯合以后的流動(dòng)，稱為充分發(fā)展的流動(dòng)。將入口至邊界層匯合處的距離L稱為進(jìn)口段長度。管內(nèi)流動(dòng)邊界層的形成和發(fā)展，與平板邊界層相似。如下圖所示，u∞uu∞∞uu∞xcδδδd圓管進(jìn)口處層流邊界層的發(fā)展u∞uu∞∞uu∞xcδδδd圓管進(jìn)口處層流邊界層的發(fā)展

若來流速度較小，邊界層在管中心匯合時(shí)流動(dòng)為層流，則管內(nèi)流動(dòng)繼續(xù)保持層流，即維持充分發(fā)展的層流流動(dòng)；若來流速度較大，則在進(jìn)口段內(nèi)首先形成層流邊界層，然后逐漸過渡到湍流邊界層，再在管中心匯合后形成充分發(fā)展的湍流，如下圖所示。層流時(shí)湍流時(shí)在管內(nèi)流動(dòng)充分發(fā)展后，流體的流動(dòng)型態(tài)將不再隨流動(dòng)距離x變化，此時(shí)以x定義的雷諾數(shù)已不再具有湍動(dòng)程度的表征意義。因此對(duì)于充分發(fā)展的管內(nèi)流動(dòng)，判別流動(dòng)型態(tài)的雷諾數(shù)定義為式中，d為管內(nèi)徑；um為流體在管內(nèi)的平均流速或主體流速。當(dāng)Re<2000時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)為層流流動(dòng)。進(jìn)口段長度可由下式計(jì)算當(dāng)Re>4000時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)為湍流。對(duì)湍流流動(dòng)，進(jìn)口段長度計(jì)算尚無可靠的公式，一般可用下式估計(jì)由于湍流時(shí)邊界層厚度增長較快，所以其進(jìn)口段要比層流時(shí)短。近似計(jì)算時(shí)，通常取Le=50d。通常將流體速度為來流速度99%時(shí)的流層距壁面的法向距離定義為邊界層的厚度，以δ表示。用公式可表示為三、邊界層的厚度y為垂直于流動(dòng)方向上的距離邊界層厚度隨流體的性質(zhì)（如密度與粘度）、來流速度以及流動(dòng)距離而變化。在板的前緣處，δ=0；隨著距離的增加，邊界層逐漸增厚。對(duì)于管內(nèi)流動(dòng)，在邊界層未匯合以前，邊界層厚度的定義和影響因素與平板壁面相同。但流動(dòng)充分發(fā)展后，邊界層厚度為管的內(nèi)半徑，即通常，邊界層厚度約在10-3m的量級(jí)。四、邊界層的基本特征實(shí)驗(yàn)研究表明，對(duì)于大雷諾數(shù)下的流體流動(dòng)，邊界層具有以下兩個(gè)基本特征：（2）邊界層內(nèi)的粘性力與慣性力量級(jí)相同。這是因?yàn)檫吔鐚觾?nèi)速度梯度很大，即使流體的粘度很小，但作為速度梯度與粘度的乘積——粘性力仍然不可忽略。（1）邊界層厚度δ

要比流場流動(dòng)的特征尺寸L小的多，即δ<<L。普朗特邊界層方程一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

為了簡單起見，在此僅考察不可壓縮流體在無限大平板壁面上作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的情形。u0u0u0層流邊界層湍流邊界層層流內(nèi)層Axcδ平板上邊界層流動(dòng)u0u0u0層流邊界層湍流邊界層層流內(nèi)層Axcδ平板上xy假設(shè)流體自平板前緣至臨界距離xc內(nèi)所形成的邊界層為二維層流流動(dòng)。以流動(dòng)方向?yàn)閤方向，以與壁面相垂直的方向?yàn)閥方向。上一章講過對(duì)于二維的平面流動(dòng)，連續(xù)性方程可以簡化為（4-1）上面的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程即為普朗特邊界層方程。（4-2）（4-3）運(yùn)動(dòng)方程可以簡化為方程(4-1)、(4-2)和(4-3)構(gòu)成了一個(gè)二階非線性偏微分方程組，方程組中有3個(gè)方程，3個(gè)未知數(shù)。從理論上來講方程是可以求解的，但實(shí)際上，由于方程的非線性及原函數(shù)的復(fù)雜性，方程不經(jīng)簡化實(shí)際上無法直接求解。二、普朗特邊界層方程的簡化因?yàn)榉匠痰倪吔鐥l件中不出現(xiàn)壓力項(xiàng)，所以可以采用以動(dòng)壓力梯度來表示的運(yùn)動(dòng)方程：（4-2a）（4-3a）方程的邊界條件：下面根據(jù)邊界層流動(dòng)的特征，采用數(shù)量級(jí)分析（簡稱量階分析）的方法對(duì)普朗特邊界層方程進(jìn)一步簡化。在進(jìn)行量級(jí)分析之前，首先作兩點(diǎn)說明：（1）數(shù)量級(jí)分析需要預(yù)先選取標(biāo)準(zhǔn)量階，其它物理量的量階都是相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量階而言的，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)量階改變以后，其它物理量的量階也隨之改變。（2）所謂量階不是指該物理量的具體數(shù)值，而是該物理量在整個(gè)區(qū)域內(nèi)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量階的數(shù)量級(jí)。在對(duì)邊界層流動(dòng)的分析中，選取如下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階：①取流動(dòng)距離x作為距離的標(biāo)準(zhǔn)量階，以來流速度u0作為速度的標(biāo)準(zhǔn)量階，用符號(hào)O來表示，寫成O(x)=1，O(u0)=1，這也意味著這兩個(gè)物理量的量階相當(dāng)。②取邊界層厚度δ

作為另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階，由于δ

很小，故以符號(hào)O(δ)=δ來表示。顯然，標(biāo)準(zhǔn)量階δ與另外一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階1不在一個(gè)水平上，通常1是δ

的103倍。當(dāng)選擇了標(biāo)準(zhǔn)量階以后，可以將其它物理量的量階與標(biāo)準(zhǔn)量階相比較（4）y。由于在邊界層范圍內(nèi)，y由壁面處的零值變化至邊界層外緣處的δ

，故y的量階為y=O(δ)。（7）。（1）ux。ux由壁面處的零值變化至邊界層外緣處的u0，故其量階與u0或x的量階相同，即O(ux)=1。（2）。將寫成差分形式，即（3）。（5）uy。由不可壓縮流體的二維連續(xù)性方程可知，由于的量階為O(1)，故的量階亦必為O(1)，所以u(píng)y的量階是O(δ)。（6）。將以上各式代入式（4-4），并進(jìn)行量階比較(1)(1)(δ)(1/δ)(1)(1/δ2)通過量階比較可知，上式右側(cè)括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的量階遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于第二項(xiàng)的量階，故可將第一項(xiàng)從方程中消去。

由于(4-10)左側(cè)兩個(gè)慣性力的量階均為O(1)，而在邊界層內(nèi)粘性力和慣性力同階，故右側(cè)粘性力項(xiàng)故這時(shí)方程可以簡化為（4-10）(1)(δ)(δ)(1)(δ2)[(δ)(1/δ)]根據(jù)量階分析可知，等號(hào)右邊中括號(hào)中第一項(xiàng)的量階遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于第二項(xiàng)的量階，因此可以將第一項(xiàng)忽略，這樣y方向上的普朗特邊界層方程可簡化為(1)(δ)(δ)(1)(δ2)(1/δ)（4-11）下面在來看一下y方向上的普朗特邊界層方程中各項(xiàng)的量階由（4-11）式可知，動(dòng)壓力梯度項(xiàng)的量階不可能超過δ

階，即另外，由于y方向上的普朗特邊界層方程（4-11）中每一項(xiàng)的量階均為O(δ)階，而x方向上普朗特邊界層方程（4-10）中的每一項(xiàng)量階均為O(1)階。由此可見，y方向上的普朗特邊界層方程可以忽略。因此x方向上的運(yùn)動(dòng)方程（4-10）中，動(dòng)壓力梯度項(xiàng)就可以從方程中略去（4-10）(1)(1)<δ2(1)（4-10a）這樣，普朗特邊界層方程經(jīng)簡化后只剩下了x方向上的運(yùn)動(dòng)方程但僅（4-10a）一個(gè)方程解不出兩個(gè)未知數(shù)ux和uy。？這時(shí)可以考慮將（4-10a）與連續(xù)性方程（4-1）聯(lián)立求解。即，（4-10a）x方向上簡化的普朗特邊界層方程（4-1）連續(xù)性方程這是一個(gè)二階非線性偏微分方程組，含有兩個(gè)因變量(ux和uy)和兩個(gè)因變量(x和y)，求解起來比較困難，因此可以考慮利用流函數(shù)Ψ可以將其化為一個(gè)偏微分方程。（4-10a）三、普朗特邊界層方程的求解根據(jù)流函數(shù)Ψ的定義，將其帶入式（4-10a）中，有由于流函數(shù)Ψ自動(dòng)滿足連續(xù)性方程，因此（4-1）就已經(jīng)隱含在式（4-12）中了。（4-12）這樣由式（4-1）和式（4-10）構(gòu)成的二階非線性偏微分方程組就簡化為一個(gè)三階非線性偏微分方程。利用流函數(shù)的概念雖然將由(4-1)式和(4-10)式構(gòu)成的二階非線性偏微分方程組簡化為一個(gè)三階非線性偏微分方程(4-12)，但要單純利用數(shù)學(xué)方法求該方程仍然是非常困難的。方程的邊界條件：為此，需要通過相似變換的方法將偏微分方程進(jìn)一步化簡為常微分方程。下面簡要介紹一下相似變換法的求解思路。相似變換的基本思想是：找到一個(gè)無因次位置變量η

，使之與x和y兩個(gè)自變量同時(shí)關(guān)聯(lián)起來。這樣就將Ψ與x,y之間的函數(shù)關(guān)系表示為Ψ與η之間的函數(shù)關(guān)系——f這樣就可以把

Ψ關(guān)于兩個(gè)自變量x，y

的偏微分方程轉(zhuǎn)變成關(guān)于一個(gè)自變量η

的常微分方程。

Ψ

ηfx

y其中令這樣，Ψ的各階導(dǎo)數(shù)為（4－13）（4－14）（4－15）（4－16）（4－17）將Ψ

的各階導(dǎo)數(shù)帶入（4－12），并化簡得（4－18）相應(yīng)的邊界條件化為這樣三階非線性偏微分方程（4－12）就化為了三階非線性常微分方程（4－18），該方程雖然從形式上看十分簡單，但由于方程的非線性，仍無法得到封閉形式的解析解。布拉修斯采用級(jí)數(shù)銜接法近似地求出了式（4-18）的解，其后又許多研究者采用數(shù)值積分的方法求出了該方程的數(shù)值。在此僅給出數(shù)值積分的結(jié)果Blasius方程由此可解得不同的η

值所對(duì)應(yīng)的f、f'和f"值，也就得到了各處的速度分布。ηff'f"ηff'f"00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.84.04.24.400.006640.026560.059740.106110.165570.237950.322980.420320.529520.650030.781200.922301.072521.23.991.396821.569111.746961.929542.116052.305762.498062.6923800.066410.132770.198940.264710.329790.393780.456270.516760.574770.629770.681320.728990.772460.811520.846050.876090.901770.923330.941120.955520.966960.975870.332060.331990.331470.330080.327390.323010.316590.307870.296670.282930.266750.248350.228090.206460.184010.161360.139130.117880.098090.080130.064240.050250.038974.64.85.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.07.27.47.67.88.08.28.48.68.82.888263.085343.283293.481893.680943.880314.079904.279644.479484.679384.879315.079285.279265.479255.679245.879246.079236.279236.479236.679236.879237.079230.982690.987790.991150.994250.996160.997480.998380.998980.999370.999610.999770.999870.999920.999960.999980.999991.000001.000001.000001.000001.000001.000000.029480.021870.015910.011340.007930.005430.003650.002400.001550.000980.000610.000370.000220.000130.000070.000040.000020.000010.000010.000000.000000.00000為應(yīng)用方便，將上式各對(duì)應(yīng)值列成表格形式，如下表所示。四、普朗特邊界層方程的應(yīng)用2、求邊界層的厚度由邊界層厚度的定義可知，當(dāng)時(shí)ux/u0=0.99時(shí)，壁面的法向距離y即為邊界層厚度δ。參見上表，當(dāng)時(shí)ux/u0=f'=0.99115時(shí)，η=5.0。所以有將上式寫成無因次形式（4-21）1、求邊界層速度將流函數(shù)的定義式帶入（4-13）和（4-16）式得（4-19）（4-20）由此可得3、求流動(dòng)阻力流體的流動(dòng)阻力來自于壁面的剪應(yīng)力，根據(jù)牛頓粘性定律，壁面剪應(yīng)力而根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，有根據(jù)阻力系數(shù)的定義，可得距平板前緣x處的局部摩擦阻力系數(shù)為于是有（4-22）（4-23）將壁面剪應(yīng)力的公式（4-22）帶入，并積分得平均阻力系數(shù)CD為上述結(jié)果稱為布拉修斯解。其在層流范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得很好，但在平板前沿處不成立。?不成立的原因是量級(jí)關(guān)系δ<<x在該處不成立。（4-24）（4-25）當(dāng)流體在一寬度為b、長度為L的平板壁面上流過時(shí)，流體對(duì)板面施加的總曳力Fd(主要由摩擦曳力構(gòu)成)可表示為在平板前緣處，平板邊界層的阻力系數(shù)需要利用高階邊界層理論加以修正，我國力學(xué)家郭永懷研究得出的修正公式為：該公式的適用范圍：5<ReL<100。例：25℃的空氣在常壓下以6m/s的速度流過一平板壁面。試求距平壁前緣0.15m處的邊界層厚度，并計(jì)算在該處距平壁壁面1mm處的ux，uy及速度梯度?ux/?y?？諝獾倪\(yùn)動(dòng)粘度為1.55×10-5m2/s，空氣的密度為1.185kg/m3。解：首先計(jì)算一下距平板前緣0.15m處的雷諾數(shù)，以確定流型（1）計(jì)算邊界層的厚度由（4-21）得（2）計(jì)算距平壁壁面1mm處的ux，uy及速度梯度?ux/?y。先求η于是，由此可見，uy<<ux，因此y方向上的流動(dòng)可以忽略。查表得，當(dāng)η

=1.6時(shí)，f=0.42,f'=0.516,f"=0.296卡門邊界層動(dòng)量積分方程

描述邊界層流動(dòng)的普朗特方程雖然比奈維-斯托克斯方程簡單，但由于方程的非線性及原函數(shù)的復(fù)雜性，使得求解過程非常復(fù)雜，并且只適用于少數(shù)幾種簡單的流動(dòng)情形。工程中遇到問題大多是很復(fù)雜的，直接求解普朗特邊界層方程相當(dāng)困難，為此人們不得不采用各種近似求解的方法。一、卡門邊界層動(dòng)量積分方程的推導(dǎo)為簡單起見，本節(jié)以不可壓縮流體沿壁面作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)為例進(jìn)行討論。

馮·卡門根據(jù)動(dòng)量守恒定律和邊界層的基本特點(diǎn)，避開奈維-斯托克斯方程，直接對(duì)邊界層進(jìn)行動(dòng)量微分衡算，并在此基礎(chǔ)上建立了邊界層動(dòng)量積分方程。如右圖所示，密度為ρ、粘度為μ的不可壓縮流體在光滑壁面上流動(dòng)，設(shè)邊界層外的來流速度為u0，距平板前緣位置x處的邊界層厚度為δ。在板的寬度方向取單位厚度（z＝1）。在距壁面前緣x

處，取微元控制體ABCDA。將動(dòng)量守恒定律應(yīng)用于此微元控制體，有：如果只考慮x方向上的受力情況，則有（4-24）（4-25）下面逐一考察微元體的4個(gè)面的動(dòng)量變化情況。（1）AB截面：在沿壁面的法向距離y處，取微分高度dy，則通過微元截面dy

·1流入的質(zhì)量流率為，而通過該微元截面流入的動(dòng)量流率為。因此，流入整個(gè)截面質(zhì)量流率和動(dòng)量流率分別為：（4-26）（4-27）（2）CD截面：從CD截面（x+dx處）流出的質(zhì)量流率和動(dòng)量流率可由在AB截面（x處）上的質(zhì)量流率和動(dòng)量流率的一階泰勒展開得到。

（4-28）

（4-29）（3）AD截面：因?yàn)槭枪腆w壁面，所以AD截面上不存在流體質(zhì)量和動(dòng)量的流入與流出。（4）BC截面：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在穩(wěn)態(tài)下由此截面流入的質(zhì)量流率應(yīng)為CD截面流出的與AB截面流入的質(zhì)量流率之差，即由于該截面取在邊界層外緣處，故此處的流體均以速度u0流入控制體內(nèi)，于是從該截面流入的動(dòng)量流率為（4-30）（4-31）微元控制體內(nèi)的凈動(dòng)量變化速率為：“流入”－“流出”。即，（4-32）ΣFx=?作用于控制體上的力有壁面摩擦力和流體靜壓力，流體微元在各個(gè)面上的受力分析如下：（2）AB面：由于AB面與流動(dòng)方向垂直，因此只受到左側(cè)流體施加的正壓力，而不受摩擦剪應(yīng)力作用，壓力的大小為（3）CD面：同樣，由于CD面垂直于流動(dòng)方向，因此也只受到右側(cè)流體施加的正壓力，力的大小為“－”代表力的方向與流動(dòng)方向相反（1）AD面：由于是壁面，AD面僅受摩擦剪應(yīng)力的作用，即（4）BC面：因該截面與邊界層以外的流體沒有速度梯度，剪應(yīng)力為零，因此也僅受到周圍流體的正壓力作用，作用力的大小為：“－”代表力的方向與流動(dòng)方向相反所以流體微元受到的合外力為（4-33）將代入（4-34）式得（4-34）通過比較各項(xiàng)的量階，上式可以簡化為（4-35）

上式即為卡門邊界層動(dòng)量積分方程。在該方程的推導(dǎo)過程中并沒有規(guī)定邊界層內(nèi)流體流動(dòng)的型態(tài)，故無論對(duì)于層流邊界層還是湍流邊界層均適用。但求解時(shí)要分別代入層流分布或湍流速度分布方程。此外，該方程也可用于曲面物體邊界層。由于在邊界層內(nèi)

[(1)-(1)](1)(δ)≤δ3

δ2(1/δ)(1)二、卡門邊界層動(dòng)量積分方程的求解

從式（4-35）中可以看出，只要將速度分布，亦即ux～y之間的函數(shù)關(guān)系式帶入方程中，然后積分就可以得到卡門邊界層動(dòng)量積分方程的解析解。

從理論上講，邊界層的速度分布可以通過求解邊界層的運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)性方程得到，但這樣問題又回到了出發(fā)點(diǎn)，即普朗特邊界層方程的求解問題。

為了避開這一難題，可以預(yù)先假定一個(gè)速度分布，將其帶入（4-35）中進(jìn)行求解，然后在將其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相比較。如果二者吻合，說明所假定的速度分布是正確的，這種方法求得的近似解稱為實(shí)驗(yàn)逼近解。

邊界層內(nèi)的速度分布可以用n次多項(xiàng)式來逼近。多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)越多，就越接近原函數(shù)。實(shí)際上，對(duì)于層流邊界層，用四階多項(xiàng)式來逼近邊界層的速度分布就已經(jīng)很接近了。于是，可假定邊界層內(nèi)的速度分布為（4-36）壁面上流體不滑脫將上述邊界條件帶入（4-36）可以求得多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)于是，邊界層內(nèi)的速度分布可表示為（4-37）邊界條件：將速度分布方程式（4-37）帶入邊界層動(dòng)量積分方程式（4-35）（4-38）（4-39）于是有：（4-40）右側(cè)求微分得:（4-35）左側(cè)求積分得上式是一個(gè)一階常微分方程，對(duì)上式進(jìn)行積分，并將邊界條件x=0，δ

=0帶入得，（4-41）寫成無因次形式為（4-42）分離變量得（4-21）與求解普朗特邊界層方程得到的精確解相比，可見二者相當(dāng)接近二、卡門邊界層方程的應(yīng)用——求摩擦阻力和阻力系數(shù)摩擦阻力來自于壁面剪應(yīng)力τwx將（4-39)式和（4-41）式帶入牛頓粘性定律得距平板前緣x位置處的局部摩擦阻力系數(shù)CDx為流體流過長度為L、寬度為b的平板壁面所受的總阻力為所以，平均阻力系數(shù)為其中，注意：上述公式僅適用于流體在邊界層作層流流動(dòng)?例:常壓下溫度為20℃的空氣以的5m/s的流速流過一塊寬1m的平板壁面。試計(jì)算距平板前緣0.5m處的邊界層厚度及進(jìn)入邊界層的質(zhì)量流率，并計(jì)算該段平板壁面的阻力系數(shù)和承受的摩擦曳力。設(shè)臨界雷諾數(shù)Rexc=5×105。已知空氣在20℃和1atm下的密度和粘度分別為1.205kg/m3和1.81×10-5Pa·s。解：（1）判斷x=0.5m處邊界層的流