高中數(shù)學(xué)(人教版A版必修一)全冊課時練習(xí)及期末測試題(含答案)

第一章集合與函數(shù)概念§1.1集合1．1.1集合的含義與表示第1課時集合的含義課時目標1.通過實例了解集合的含義，并掌握集合中元素的三個特性.2.體會元素與集合間的“從屬關(guān)系”.3.記住常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用．1．元素與集合的概念(1)把________統(tǒng)稱為元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(簡稱為集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有構(gòu)成兩個集合的元素是______的，才說這兩個集合是相等的．4．元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果________的元素，就說a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果________中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A5.常用數(shù)集及表示符號：名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號________________________一、選擇題1．下列語句能確定是一個集合的是()A．著名的科學(xué)家B．留長發(fā)的女生C．2010年廣州亞運會比賽項目D．視力差的男生2．集合A只含有元素a，則下列各式正確的是()A．0∈AB．a(chǎn)?AC．a(chǎn)∈AD．a(chǎn)＝A3．已知M中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長，則此三角形一定不是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為(A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由實數(shù)x、－x、|x|、eq\r(x2)及－eq\r(3,x3)所組成的集合，最多含有()A．2個元素B．3個元素C．4個元素D．5個元素題號123456答案二、填空題7．由下列對象組成的集體屬于集合的是______．(填序號)①不超過π的正整數(shù)；②本班中成績好的同學(xué)；③高一數(shù)學(xué)課本中所有的簡單題；④平方后等于自身的數(shù)．8．集合A中含有三個元素0,1，x，且x2∈A，則實數(shù)x的值為________．9．用符號“∈”或“?”填空－eq\r(2)_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答題10．判斷下列說法是否正確？并說明理由．(1)參加2010年廣州亞運會的所有國家構(gòu)成一個集合；(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；(3)1,0.5，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)組成的集合含有四個元素；(4)高一(三)班個子高的同學(xué)構(gòu)成一個集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三個元素組成的，且－3∈A，求能力提升12．設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，P中含有0,2,5三個元素，Q中含有1,2,6三個元素，定義集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，則P＋Q中元素的個數(shù)是多少？13．設(shè)A為實數(shù)集，且滿足條件：若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；(2)集合A不可能是單元素集．1．考查對象能否構(gòu)成一個集合，就是要看是否有一個確定的特征(或標準)，能確定一個個體是否屬于這個總體，如果有，能構(gòu)成集合，如果沒有，就不能構(gòu)成集合．2．集合中元素的三個性質(zhì)(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于不屬于這個集合是確定的．要么是該集合中的元素要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．(3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合．這個性質(zhì)通常用來判斷兩個集合的關(guān)系．第一章集合與函數(shù)概念§1.1集合1．1.1集合的含義與表示第1課時集合的含義知識梳理1．(1)研究對象小寫拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素組成的總體大寫拉丁字母A，B，C，…2.確定性互異性無序性3．一樣4.a是集合Aa不是集合A5.NN*或N＋ZQR作業(yè)設(shè)計1．C[選項A、B、D都因無法確定其構(gòu)成集合的標準而不能構(gòu)成集合．]2．C[由題意知A中只有一個元素a，∴0?A，a∈A，元素a與集合A的關(guān)系不應(yīng)用“＝”，故選C.]3．D[集合M的三個元素是互不相同的，所以作為某一個三角形的邊長，三邊是互不相等的，故選D.]4．C[因A中含有3個元素，即a2,2－a,4互不相等，將選項中的數(shù)值代入驗證知答案選C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，則m2－3m＋2＝0，這與m2－3m＋2≠若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3當m＝0時，與m≠0相矛盾，當m＝3時，此時集合A＝{0,3,2}，符合題意．]6．A[方法一因為|x|＝±x，eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x，所以不論x取何值，最多只能寫成兩種形式：x、－x，故集合中最多含有2個元素．方法二令x＝2，則以上實數(shù)分別為：2，－2,2,2，－2，由元素互異性知集合最多含2個元素．]7．①④解析①④中的標準明確，②③中的標準不明確．故答案為①④.8．－1解析當x＝0,1，－1時，都有x2∈A，但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故答案為－1.9．∈∈??10．解(1)正確．因為參加2010年廣州亞運會的國家是確定的，明確的．(2)不正確．因為高科技產(chǎn)品的標準不確定．(3)不正確．對一個集合，它的元素必須是互異的，由于0.5＝eq\f(1,2)，在這個集合中只能作為一元素，故這個集合含有三個元素．(4)不正確．因為個子高沒有明確的標準．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5∴a＝－1或a＝－eq\f(3,2).則當a＝－1時，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互異性，故a＝－1當a＝－eq\f(3,2)時，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，∴a＝－eq\f(3,2).12．解∵當a＝0時，b依次取1,2,6，得a＋b的值分別為1,2,6；當a＝2時，b依次取1,2,6，得a＋b的值分別為3,4,8；當a＝5時，b依次取1,2,6，得a＋b的值分別為6,7,11.由集合元素的互異性知P＋Q中元素為1,2,3,4,6,7,8,11共8個．13．證明(1)若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A.又∵2∈A，∴eq\f(1,1－2)＝－1∈A.∵－1∈A，∴eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A.∵eq\f(1,2)∈A，∴eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.∴A中另外兩個元素為－1，eq\f(1,2).(2)若A為單元素集，則a＝eq\f(1,1－a)，即a2－a＋1＝0，方程無解．∴a≠eq\f(1,1－a)，∴A不可能為單元素集．第2課時集合的表示課時目標1.掌握集合的兩種表示方法(列舉法、描述法).2.能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．1．列舉法把集合的元素____________出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為__________．不等式x－7<3的解集為__________．所有偶數(shù)的集合可表示為________________．一、選擇題1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列舉法可表示為()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．點(x，y)C．平面直角坐標系中的所有點組成的集合D．函數(shù)y＝2x－1圖象上的所有點組成的集合3．將集合表示成列舉法，正確的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)}，則有()A．－1∈AB．0∈AC.eq\r(3)∈AD．2∈A6．方程組的解集不可表示為()A．B．C．{1,2}D．{(1,2)}題號123456答案二、填空題7．用列舉法表示集合A＝{x|x∈Z，eq\f(8,6－x)∈N}＝______________.8．下列各組集合中，滿足P＝Q的有________．(填序號)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各組中的兩個集合M和N，表示同一集合的是________．(填序號)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，eq\r(3)，π}，N＝{π，1，|－eq\r(3)|}．三、解答題10．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑息俜匠蘹(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它們?nèi)齻€集合相等嗎？試說明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三個集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，若x0∈M，則x0與N的關(guān)系是()A．x0∈NB．x0?NC．x0∈N或x0?ND．不能確定1．在用列舉法表示集合時應(yīng)注意：①元素間用分隔號“，”；②元素不重復(fù)；③元素無順序；④列舉法可表示有限集，也可以表示無限集，若元素個數(shù)比較少用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示．2．在用描述法表示集合時應(yīng)注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集合、還是其他形式？(2)元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2課時集合的表示知識梳理1．一一列舉2.描述法{x|x<10}{x∈Z|x＝2k，k∈Z}作業(yè)設(shè)計1．B[{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]2．D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y滿足的關(guān)系式為y＝2x－1，因此集合表示的是滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x－1的點組成的集合，故選D.]3．B[解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,2x－y＝1.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))所以答案為{(2,3)}．]4．B[方程x2－2x＋1＝0可化簡為(x－1)2＝0，∴x1＝x2＝1，故方程x2－2x＋1＝0的解集為{1}．]5．B6．C[方程組的集合中最多含有一個元素，且元素是一對有序?qū)崝?shù)對，故C不符合．]7．{5,4,2，－2}解析∵x∈Z，eq\f(8,6－x)∈N，∴6－x＝1,2,4,8.此時x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．8．②解析①中P、Q表示的是不同的兩點坐標；②中P＝Q；③中P表示的是點集，Q表示的是數(shù)集．9．④解析只有④中M和N的元素相等，故答案為④.10．解①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解為0和－1，∴解集為{0，－1}；②{x|x＝2n＋1，且x<1000，n∈N}；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因為三個集合中代表的元素性質(zhì)互不相同，所以它們是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，滿足條件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，滿足條件y＝x2＋3中y的取值范圍是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，這是個點集，這些點在拋物線y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是拋物線y＝x2＋3上的點}．12．C[由集合的含義知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1組成的集合，故選C.]13．A[M＝{x|x＝eq\f(2k＋1,4)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k＋2,4)，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一個奇數(shù)，k＋2(k∈Z)是一個整數(shù)，∴x0∈M時，一定有x0∈N，故選A.]1.1.2課時目標1.理解集合之間包含與相等的含義.2.能識別給定集合的子集、真子集，并能判斷給定集合間的關(guān)系.3.在具體情境中，了解空集的含義．1．子集的概念一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作______(或______)，讀作“__________”(或“__________”)．2．Venn圖：用平面上______曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．3．集合相等與真子集的概念定義符號表示圖形表示集合相等如果__________，就說集合A與B相等A＝B真子集如果集合A?B，但存在元素__________，稱集合A是B的真子集AB(或BA)4.空集(1)定義：______________的集合叫做空集．(2)用符號表示為：____.(3)規(guī)定：空集是任何集合的______．5．子集的有關(guān)性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的子集，即________．(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么___________________________．一、選擇題1．集合P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}，集合Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}，則P與Q的關(guān)系是()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝?2．滿足條件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的個數(shù)是()A．3B．6C．7D．3．對于集合A、B，“A?B不成立”的含義是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一個元素不屬于BD．B中至少有一個元素不屬于A4．下列命題：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，則A≠?.其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．5．下列正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的Venn圖是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之間的關(guān)系是(A．SPMB．S＝PMC．SP＝MD．P＝MS題號123456答案二、填空題7．已知M＝{x|x≥2eq\r(2)，x∈R}，給定下列關(guān)系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正確的有________．(填序號)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是________．9．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1個奇數(shù)，則這樣的集合共有________個．三、解答題10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求實數(shù)a的取值范圍．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B?A，求實數(shù)m的取值范圍能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求滿足A?B的實數(shù)a的取值范圍．13．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合有________個.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含義是：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為當A＝?時，A?B，但A中不含任何元素；又當A＝B時，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，這兩種情況都有A?B.拓展當A不是B的子集時，我們記作“AB”(或BA)．2．對元素與集合、集合與集合關(guān)系的分析與拓展(1)元素與集合之間的關(guān)系是從屬關(guān)系，這種關(guān)系用符號“∈”或“?”表示．(2)集合與集合之間的關(guān)系有包含關(guān)系，相等關(guān)系，其中包含關(guān)系有：含于(?)、包含(?)、真包含于()、真包含()等，用這些符號時要注意方向，如A?B與B?A是相同的．1．1.2集合間的基本關(guān)系知識梳理1．任意一個A?BB?AA含于BB包含A2.封閉3．A?B且B?Ax∈B，且x?A4.(1)不含任何元素(2)?(3)子集5.(1)A?A(2)A?C作業(yè)設(shè)計1．B[∵P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}∴PQ，∴選B.]2．C[M中含三個元素的個數(shù)為3，M中含四個元素的個數(shù)也是3，M中含5個元素的個數(shù)只有1個，因此符合題意的共7個．]3．C4．B[只有④正確．]5．B[由N＝{－1,0}，知NM，故選B.]6．C[運用整數(shù)的性質(zhì)方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整數(shù)集，集合S表示成被6整除余1的整數(shù)集．]7．①②解析①、②顯然正確；③中π與M的關(guān)系為元素與集合的關(guān)系，不應(yīng)該用“”符號；④中{π}與M的關(guān)系是集合與集合的關(guān)系，不應(yīng)該用“∈”符號．8．a(chǎn)≥2解析在數(shù)軸上表示出兩個集合，可得a≥2.9．6解析(1)若A中有且只有1個奇數(shù)，則A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；(2)若A中沒有奇數(shù)，則A＝{2}或?.10．解A＝{－3,2}．對于x2＋x＋a＝0，(1)當Δ＝1－4a<0，即a>eq\f(1,4)時，B＝?，B?A成立；(2)當Δ＝1－4a＝0，即a＝eq\f(1,4)時，B＝{－eq\f(1,2)}，B?A不成立；(3)當Δ＝1－4a>0，即a<eq\f(1,4)時，若B?A成立，則B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.綜上：a的取值范圍為a>eq\f(1,4)或a＝－6.11．解∵B?A，∴①若B＝?，則m＋1>2m－1，∴m②若B≠?，將兩集合在數(shù)軸上表示，如圖所示．要使B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3，))∴2≤m≤3.由①、②，可知m≤3.∴實數(shù)m的取值范圍是m≤3.12．解(1)當a＝0時，A＝?，滿足A?B.(2)當a>0時，A＝{x|eq\f(1,a)<x<eq\f(2,a)}．又∵B＝{x|－1<x<1}，A?B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≥－1，,\f(2,a)≤1，))∴a≥2.(3)當a<0時，A＝{x|eq\f(2,a)<x<eq\f(1,a)}．∵A?B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≥－1，,\f(1,a)≤1，))∴a≤－2.綜上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.13．5解析若A中有一個奇數(shù)，則A可能為{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2個奇數(shù)，則A＝{1,3}．1.1.3第1課時并集與交集課時目標1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用．1．并集(1)定義：一般地，________________________的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作________．(2)并集的符號語言表示為A∪B＝________________________________________________________________________.(3)并集的圖形語言(即Venn圖)表示為下圖中的陰影部分：(4)性質(zhì)：A∪B＝________，A∪A＝____，A∪?＝____，A∪B＝A?________，A____A∪B.2．交集(1)定義：一般地，由________________________元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作________．(2)交集的符號語言表示為A∩B＝________________________________________________________________________.(3)交集的圖形語言表示為下圖中的陰影部分：(4)性質(zhì)：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩?＝____，A∩B＝A?________，A∩B____A∪B，A∩B?A，A∩B?B.一、選擇題1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，則集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，則A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B＝{參加北京奧運會比賽的男運動員}，集合C＝{參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是()A．A?BB．B?CC．A∩B＝CD．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N為()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．設(shè)集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則a＋b等于(A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，則()A．N∈MB．M∪N＝MC．M∩N＝MD．M>N題號123456答案二、填空題7．設(shè)集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，則t＝________.8．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a＝________.9．設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，則a＝______，b＝______.三、解答題10．已知方程x2＋px＋q＝0的兩個不相等實根分別為α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝?.求p，q的值．11．設(shè)集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和為()A．0B．2C．3D．613．設(shè)U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，則稱(M，N)為一個“理想配集”，求符合此條件的“理想配集”的個數(shù)(規(guī)定(M，N)與(N，M)不同)．1．對并集、交集概念全方面的感悟(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分．特別地，當集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2．集合的交、并運算中的注意事項(1)對于元素個數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”、“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．(2)對于元素個數(shù)無限的集合，進行交、并運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點值取到與否．拓展交集與并集的運算性質(zhì)，除了教材中介紹的以外，還有A?B?A∪B＝B，A?B?A∩B＝A.這種轉(zhuǎn)化在做題時體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，十分有效．1．1.3集合的基本運算第1課時并集與交集知識梳理一、1.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧A∪B2.{x|x∈A，或x∈B}4.B∪AAAB?A?二、1.屬于集合A且屬于集合B的所有A∩B2.{x|x∈A，且x∈B}4.B∩AA?A?B?作業(yè)設(shè)計1．A2．D[由交集定義得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．]3．D[參加北京奧運會比賽的男運動員與參加北京奧運會比賽的女運動員構(gòu)成了參加北京奧運會比賽的所有運動員，因此A＝B∪C.]4．D[M、N中的元素是平面上的點，M∩N是集合，并且其中元素也是點，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))]5．C[依題意，由A∩B＝{2}知2a＝2所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3，故選C.]6．B[∵NM，∴M∪N＝M.]7．0或1解析由A∪B＝A知B?A，∴t2－t＋1＝－3①或t2－t＋1＝0②或t2－t＋1＝1③①無解；②無解；③t＝0或t＝1.8．1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.9．－12解析∵B∪C＝{x|－3<x≤4}，∴A(B∪C)∴A∩(B∪C)＝A，由題意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2.10．解由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，即方程x2＋px＋q＝0的兩個實根為1,3.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＝－p,1×3＝q))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－4,q＝3)).11．解∵A∩B＝B，∴B?A.∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.當B＝?時，方程ax＋1＝0無解，此時a＝0.當B≠?時，此時a≠0，則B＝{－eq\f(1,a)}，∴－eq\f(1,a)∈A，即有－eq\f(1,a)＝－2，得a＝eq\f(1,2).綜上，得a＝0或a＝eq\f(1,2).12．D[x的取值為1,2，y的取值為0,2，∵z＝xy，∴z的取值為0,2,4，所以2＋4＝6，故選D.]13．解符合條件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3個．第2課時補集及綜合應(yīng)用課時目標1.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.2.熟練掌握集合的基本運算．1．全集：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為________，通常記作________．2．補集自然語言對于一個集合A，由全集U中________________的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作________符號語言?UA＝____________圖形語言3.補集與全集的性質(zhì)(1)?UU＝____；(2)?U?＝____；(3)?U(?UA)＝____；(4)A∪(?UA)＝____；(5)A∩(?UA)＝____.一、選擇題1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，則?UA等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，則?UM等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，則A∩(?UB)等于()A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．設(shè)全集U和集合A、B、P滿足A＝?UB，B＝?UP，則A與P的關(guān)系是()A．A＝?UPB．A＝PC．APD．AP5．如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩?ISD．(M∩P)∪?IS6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪BB．A∩BC．?U(A∩B)D．?U(A∪B)題號123456答案二、填空題7．設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數(shù)m＝________.8．設(shè)全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，則?UA＝____________________，?UB＝________________，?BA＝____________.9．已知全集U，AB，則?UA與?UB的關(guān)系是____________________．三、解答題10．設(shè)全集是數(shù)集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求實數(shù)a，b的值11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，設(shè)全集為U，若B∪(?UB)＝A，求?UB.能力提升12．已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．學(xué)校開運動會，某班有30名學(xué)生，其中20人報名參加賽跑項目，11人報名參加跳躍項目，兩項都沒有報名的有4人，問兩項都參加的有幾人？1．全集與補集的互相依存關(guān)系(1)全集并非是包羅萬象、含有任何元素的集合，它是對于研究問題而言的一個相對概念，它僅含有所研究問題中涉及的所有元素，如研究整數(shù)，Z就是全集，研究方程的實數(shù)解，R就是全集．因此，全集因研究問題而異．(2)補集是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．(3)?UA的數(shù)學(xué)意義包括兩個方面：首先必須具備A?U；其次是定義?UA＝{x|x∈U，且x?A}，補集是集合間的運算關(guān)系．2．補集思想做題時“正難則反”策略運用的是補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.第2課時補集及綜合應(yīng)用知識梳理1．全集U2.不屬于集合A?UA{x|x∈U，且x?A}3．(1)?(2)U(3)A(4)U(5)?作業(yè)設(shè)計1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素構(gòu)成?UA.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知?UB＝{1,3,4}．A∩(?UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝?UB，得?UA＝B.又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA.即P＝A，故選B.]5．C[依題意，由圖知，陰影部分對應(yīng)的元素a具有性質(zhì)a∈M，a∈P，a∈?IS，所以陰影部分所表示的集合是(M∩P)∩?IS，故選C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得?U(A∪B)＝{2,7}，故選D.]7．－3解析∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由題意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn圖表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．9．?UB?UA解析畫Venn圖，觀察可知?UB?UA.10．解∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.又b∈A，∴b∈U，由此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,b＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3))經(jīng)檢驗都符合題意．11．解因為B∪(?UB)＝A，所以B?A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.①若x2＝3，則x＝±eq\r(3).當x＝eq\r(3)時，A＝{1,3，eq\r(3)}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，eq\r(3)}，此時?UB＝{eq\r(3)}；當x＝－eq\r(3)時，A＝{1,3，－eq\r(3)}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－eq\r(3)}，此時?UB＝{－eq\r(3)}．②若x2＝x，則x＝0或x＝1.當x＝1時，A中元素x與1相同，B中元素x2與1也相同，不符合元素的互異性，故x≠1；當x＝0時，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，從而?UB＝{3}．綜上所述，?UB＝{eq\r(3)}或{－eq\r(3)}或{3}．12．D[借助于Venn圖解，因為A∩B＝{3}，所以3∈A，又因為(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A，所以選D.]13.解如圖所示，設(shè)只參加賽跑、只參加跳躍、兩項都參加的人數(shù)分別為a，b，x.根據(jù)題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋x＝20，,b＋x＝11，,a＋b＋x＝30－4.))解得x＝5，即兩項都參加的有5人．§1.1習(xí)題課課時目標1.鞏固和深化對基礎(chǔ)知識的理解與掌握.2.重點掌握好集合間的關(guān)系與集合的基本運算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，則A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N等于()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．設(shè)集合A＝{x|x≤eq\r(13)}，a＝eq\r(11)，那么()A．a(chǎn)AB．a(chǎn)?AC．{a}?AD．{a}A4．設(shè)全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于()A．?B．gpbd68uC．{b，e}D．{a，c}5．設(shè)A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，則集合A與B的關(guān)系為____________．6．設(shè)A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(?A(B∪C))．一、選擇題1．設(shè)P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，則()A．P?QB．Q?PC．P??RQD．Q??RP2．符合條件{a}P?{a，b，c}的集合P的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．53．設(shè)M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，則下列關(guān)系正確的是()A．M＝PB．MPC．PMD．M與P沒有公共元素4．如圖所示，M，P，S是V的三個子集，則陰影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(?SP)D．(M∩P)∪(?VS)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，則能使A?B成立的實數(shù)a的范圍是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．?題號12345答案二、填空題6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范圍是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，當x∈A時，若x－1?A，x＋1?A，則稱x為A的一個“孤立元素”，則A中孤立元素的個數(shù)為____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，?UA＝{5}，則a＝9．設(shè)U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，則(?UM)∪(?UN)＝________________.三、解答題10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，滿足B∪C＝C，求實數(shù)a的取值范圍．11．某班50名同學(xué)參加一次智力競猜活動，對其中A，B，C三道知識題作答情況如下：答錯A者17人，答錯B者15人，答錯C者11人，答錯A，B者5人，答錯A，C者3人，答錯B，C者4人，A，B，C都答錯的有1人，問A，B，C都答對的有多少人？能力提升12．對于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一個“孤立元”，給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有幾個？13．設(shè)數(shù)集M＝{x|m≤x≤m＋eq\f(3,4)}，N＝{x|n－eq\f(1,3)≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定義b－a為集合{x|a≤x≤b}的“長度”，求集合M∩N的長度的最小值．1．在解決有關(guān)集合運算題目時，關(guān)鍵是準確理解交、并、補集的意義，并能將題目中符號語言準確轉(zhuǎn)化為文字語言．2．集合運算的法則可借助于Venn圖理解，無限集的交集、并集和補集運算可結(jié)合數(shù)軸，運用數(shù)形結(jié)合思想．3．熟記一些常用結(jié)論和性質(zhì)，可以加快集合運算的速度．4．在有的集合題目中，如果直接去解可能比較麻煩，若用補集的思想解集合問題可變得更簡單．§1.1習(xí)題課雙基演練1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故選C.]2．A[畫出數(shù)軸，將不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在數(shù)軸上表示出來，不難看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵?IM＝{d，e}，?IN＝{a，c}，∴(?IM)∩(?IN)＝{d，e}∩{a，c}＝?.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可見A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴?A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(?A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作業(yè)設(shè)計1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正確．]2．B[集合P內(nèi)除了含有元素a外，還必須含b，c中至少一個，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3個．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴MP.]4．C[陰影部分是M∩S的部分再去掉屬于集合P的一小部分，因此為(M∩S)∩(?SP)．]5．B[根據(jù)題意可畫出下圖．∵a＋2>a－1，∴A≠?.有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤3，,a＋2≥5.))解得3≤a≤4.]6．a(chǎn)≤2解析如圖中的數(shù)軸所示，要使A∪B＝R，a≤2.7．1解析當x＝1時，x－1＝0?A，x＋1＝2∈A；當x＝2時，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；當x＝3時，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A；當x＝5時，x－1＝4?A，x＋1＝6?A；綜上可知，A中只有一個孤立元素5.8．4解析∵A∪(?UA)＝U，由?UA＝{5}知，a2－2a－3＝5∴a＝－2，或a＝4.當a＝－2時，|a－7|＝9,9?U，∴a≠－2.a＝4經(jīng)驗證，符合題意．9．{x|x<1或x≥5}解析?UM＝{x|x<1}，?UN＝{x|x<0或x≥5}，故(?UM)∪(?UN)＝{x|x<1或x≥5}或由M∩N＝{x|1≤x<5}，(?UM)∪(?UN)＝?U(M∩N)＝{x|x<1或x≥5}．10．解(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)∵C＝{x|x>－eq\f(a,2)}，B∪C＝C?B?C，∴－eq\f(a,2)<2，∴a>－4.11.解由題意，設(shè)全班同學(xué)為全集U，畫出Venn圖，A表示答錯A的集合，B表示答錯B的集合，C表示答錯C的集合，將其集合中元素數(shù)目填入圖中，自中心區(qū)域向四周的各區(qū)域數(shù)目分別為1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素數(shù)目為32，從而至少錯一題的共32人，因此A，B，C全對的有50－32＝18人．12．解依題意可知，“孤立元”必須是沒有與k相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素．因此，符合題意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6個．13．解在數(shù)軸上表示出集合M與N，可知當m＝0且n＝1或n－eq\f(1,3)＝0且m＋eq\f(3,4)＝1時，M∩N的“長度”最?。攎＝0且n＝1時，M∩N＝{x|eq\f(2,3)≤x≤eq\f(3,4)}，長度為eq\f(3,4)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,12)；當n＝eq\f(1,3)且m＝eq\f(1,4)時，M∩N＝{x|eq\f(1,4)≤x≤eq\f(1,3)}，長度為eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).綜上，M∩N的長度的最小值為eq\f(1,12).§1.2函數(shù)及其表示1．2.1函數(shù)的概念課時目標1.理解函數(shù)的概念，明確函數(shù)的三要素.2.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集，表示簡單函數(shù)的定義域、值域.3.會求一些簡單函數(shù)的定義域、值域．1．函數(shù)(1)設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的__________，使對于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它對應(yīng)，那么就稱f：________為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作__________________．其中x叫做________，x的取值范圍A叫做函數(shù)的________，與x的值相對應(yīng)的y值叫做________，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的________．(2)值域是集合B的________．2．區(qū)間(1)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a<b，規(guī)定：①滿足不等式__________的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為________；②滿足不等式__________的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為________；③滿足不等式________或________的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為______________．(2)實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為__________，“∞”讀作“無窮大”，“＋∞”讀作“__________”，“－∞”讀作“________”．我們把滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實數(shù)x的集合分別表示為________，________，________，______.一、選擇題1．對于函數(shù)y＝f(x)，以下說法正確的有()①y是x的函數(shù)②對于不同的x，y的值也不同③f(a)表示當x＝a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量④f(x)一定可以用一個具體的式子表示出來A．1個B．2個C．3個D．4個2．設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()A．y＝x－1和y＝eq\f(x2－1,x＋1)B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)4．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝2x2－1，值域為{1,7}的“孿生函數(shù)”共有()A．10個B．9個C．8個D．4個5．函數(shù)y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定義域為()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函數(shù)y＝eq\r(x＋1)的值域為()A．[－1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，－1]題號123456答案二、填空題7．已知兩個函數(shù)f(x)和g(x)的定義域和值域都是{1,2,3}，其定義如下表：x123f(x)231x123g(x)132x123g[f(x)]填寫后面表格，其三個數(shù)依次為：____________.8．如果函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，則eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋eq\f(f4,f3)＋eq\f(f5,f4)＋…＋eq\f(f2011,f2010)＝________.9．已知函數(shù)f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，則函數(shù)f(x)的值域為______________．10．若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，則函數(shù)f(2x)＋f(x＋eq\f(2,3))的定義域為________．三、解答題11．已知函數(shù)f(eq\f(1－x,1＋x))＝x，求f(2)的值．能力提升12．如圖，該曲線表示一人騎自行車離家的距離與時間的關(guān)系．騎車者9時離開家，15時回家．根據(jù)這個曲線圖，請你回答下列問題：(1)最初到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？(2)何時開始第一次休息？休息多長時間？(3)第一次休息時，離家多遠？(4)11∶00到12∶00他騎了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分別是多少？(6)他在哪段時間里停止前進并休息用午餐？13．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°.(臨界狀態(tài)不考慮)(1)試將橫斷面中水的面積A(m2)表示成水深h(m)的函數(shù)；(2)確定函數(shù)的定義域和值域；(3)畫出函數(shù)的圖象．1．函數(shù)的判定判定一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)，關(guān)鍵是看對于數(shù)集A中的任一個值，按照對應(yīng)關(guān)系所對應(yīng)數(shù)集B中的值是否唯一確定，如果唯一確定，就是一個函數(shù)，否則就不是一個函數(shù)．2．由函數(shù)式求函數(shù)值，及由函數(shù)值求x，只要認清楚對應(yīng)關(guān)系，然后對號入座就可以解決問題．3．求函數(shù)定義域的原則：①當f(x)以表格形式給出時，其定義域指表格中的x的集合；②當f(x)以圖象形式給出時，由圖象范圍決定；③當f(x)以解析式給出時，其定義域由使解析式有意義的x的集合構(gòu)成；④在實際問題中，函數(shù)的定義域由實際問題的意義確定．§1.2函數(shù)及其表示1．2.1函數(shù)的概念知識梳理1．(1)對應(yīng)關(guān)系f任意一個數(shù)x唯一確定的數(shù)f(x)A→By＝f(x)，x∈A自變量定義域函數(shù)值值域(2)子集2．(1)①a≤x≤b[a，b]②a<x<b(a，b)③a≤x<ba<x≤b[a，b)，(a，b](2)(－∞，＋∞)正無窮大負無窮大[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)作業(yè)設(shè)計1．B[①、③正確；②不對，如f(x)＝x2，當x＝±1時y＝1；④不對，f(x)不一定可以用一個具體的式子表示出來，如南極上空臭氧空洞的面積隨時間的變化情況就不能用一個具體的式子來表示．]2．C[①的定義域不是集合M；②能；③能；④與函數(shù)的定義矛盾．故選C.]3．D[A中的函數(shù)定義域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故選D.]4．B[由2x2－1＝1,2x2－1＝7得x的值為1，－1,2，－2，定義域為兩個元素的集合有4個，定義域為3個元素的集合有4個，定義域為4個元素的集合有1個，因此共有9個“孿生函數(shù)”．]5．D[由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1.]6．B7．321解析g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1.8．2010解析由f(a＋b)＝f(a)f(b)，令b＝1，∵f(1)＝1，∴f(a＋1)＝f(a)，即eq\f(fa＋1,fa)＝1，由a是任意實數(shù)，所以當a取1,2,3，…，2010時，得eq\f(f2,f1)＝eq\f(f3,f2)＝…＝eq\f(f2011,f2010)＝1.故答案為2010.9．{－1,1,3,5,7}解析∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.10．[0，eq\f(1,3)]解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤1，,0≤x＋\f(2,3)≤1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,2)，,－\f(2,3)≤x≤\f(1,3)，))即x∈[0，eq\f(1,3)]．11．解由eq\f(1－x,1＋x)＝2，解得x＝－eq\f(1,3)，所以f(2)＝－eq\f(1,3).12．解(1)最初到達離家最遠的地方的時間是12時，離家30千米．(2)10∶30開始第一次休息，休息了半小時．(3)第一次休息時，離家17千米．(4)11∶00至12∶00他騎了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/時；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/時．(6)從12時到13時停止前進，并休息用午餐較為符合實際情形．13．解(1)由已知，橫斷面為等腰梯形，下底為2m，上底為(2＋2h)m，高為hm，∴水的面積A＝eq\f([2＋2＋2h]h,2)＝h2＋2h(m2)．(2)定義域為{h|0<h<1.8}．值域由二次函數(shù)A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函數(shù)A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的圖象可知，在區(qū)間(0,1.8)上函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域為{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，對稱軸為直線h＝－1，頂點坐標為(－1，－1)，且圖象過(0,0)和(－2,0)兩點，又考慮到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的圖象僅是拋物線的一部分，如下圖所示．1.2.2第1課時函數(shù)的表示法課時目標1.掌握函數(shù)的三種表示方法——解析法、圖象法、列表法.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當方法表示函數(shù)．函數(shù)的三種表示法(1)解析法——用____________表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；(2)圖象法——用______表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；(3)列表法——列出______來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．一、選擇題1．一個面積為100cm2的等腰梯形，上底長為xcm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示成x的函數(shù)為()A．y＝50x(x>0)B．y＝100x(x>0)C．y＝eq\f(50,x)(x>0)D．y＝eq\f(100,x)(x>0)2．一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水．則正確論斷的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3．如果f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，則當x≠0時，f(x)等于()A.eq\f(1,x)B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x)D.eq\f(1,x)－14．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋75．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝eq\f(1－x2,x2)，則f(eq\f(1,2))的值為()A．1B．15C．4D．6．在函數(shù)y＝|x|(x∈[－1,1])的圖象上有一點P(t，|t|)，此函數(shù)與x軸、直線x＝－1及x＝t圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系圖可表示為()題號123456答案二、填空題7．一個彈簧不掛物體時長12cm，掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例．如果掛上3kg物體后彈簧總長是13.5cm，則彈簧總長y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式為________________________________________________________________________．8．已知函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2f(eq\f(1,x))＋x，則f(x)的解析式為____________．9．已知f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)的解析式為__________________．三、解答題10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的兩根平方和為10，圖象過(0,3)點，求f(x)的解析式．11．畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比較f(x1)與f(x2)的大??；(3)求函數(shù)f(x)的值域．能力提升12．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于eq\o(6,\s\do4(·))時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()A．y＝[eq\f(x,10)]B．y＝[eq\f(x＋3,10)]C．y＝[eq\f(x＋4,10)]D．y＝[eq\f(x＋5,10)]13．設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)＝1，并且對任意實數(shù)x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．1．如何作函數(shù)的圖象一般地，作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點、連線．作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式(可能有的要表示為分段函數(shù))，再列表描出圖象，并在畫圖象的同時注意一些關(guān)鍵點，如與坐標軸的交點、分段函數(shù)的區(qū)間端點等．2．如何求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵是理解對應(yīng)關(guān)系f的本質(zhì)與特點(對應(yīng)關(guān)系就是對自變量進行對應(yīng)處理的操作方法，與用什么字母表示無關(guān))，應(yīng)用適當?shù)姆椒?，注意有的函?shù)要注明定義域．主要方法有：代入法、待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)．1．2.2函數(shù)的表示法第1課時函數(shù)的表示法知識梳理(1)數(shù)學(xué)表達式(2)圖象(3)表格作業(yè)設(shè)計1．C[由eq\f(x＋3x,2)·y＝100，得2xy＝100.∴y＝eq\f(50,x)(x>0)．]2．B[由題意可知在0點到3點這段時間，每小時進水量為2，即2個進水口同時進水且不出水，所以①正確；從丙圖可知3點到4點水量減少了1，所以應(yīng)該是有一個進水口進水，同時出水口也出水，故②錯；當兩個進水口同時進水，出水口也同時出水時，水量保持不變，也可由題干中的“至少打開一個水口”知③錯．]3．B[令eq\f(1,x)＝t，則x＝eq\f(1,t)，代入f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，則有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故選B.]4．B[由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，則x＝t－2，代入g(x＋2)＝2x＋3，則有g(shù)(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，故選B.]5．B[令1－2x＝eq\f(1,2)，則x＝eq\f(1,4)，∴f(eq\f(1,2))＝eq\f(1－\f(1,4)2,\f(1,4)2)＝15.]6．B[當t<0時，S＝eq\f(1,2)－eq\f(t2,2)，所以圖象是開口向下的拋物線，頂點坐標是(0，eq\f(1,2))；當t>0時，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(t2,2)，開口是向上的拋物線，頂點坐標是(0，eq\f(1,2))．所以B滿足要求．]7．y＝eq\f(1,2)x＋12解析設(shè)所求函數(shù)解析式為y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝eq\f(1,2).所以所求的函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)x＋12.8．f(x)＝－eq\f(x2＋2,3x)(x≠0)解析∵f(x)＝2f(eq\f(1,x))＋x，①∴將x換成eq\f(1,x)，得f(eq\f(1,x))＝2f(x)＋eq\f(1,x).②由①②消去f(eq\f(1,x))，得f(x)＝－eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)，即f(x)＝－eq\f(x2＋2,3x)(x≠0)．9．f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8解析設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,ab＋b＝8))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝－8)).10．解設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝c，,f4＝16a＋4b＋c，,f0＝f4，))得4a＋b＝0.又圖象過(0,3)點，所以c＝3.②設(shè)f(x)＝0的兩實根為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a).所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－eq\f(b,a))2－2·eq\f(c,a)＝10.即b2－2ac＝10a2由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.11．解因為函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的定義域為R，列表：x…－2－101234…y…－503430－5…連線，描點，得函數(shù)圖象如圖：(1)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當x1<x2<1時，有f(x1)<f(x2)．(3)根據(jù)圖象，可以看出函數(shù)的圖象是以(1,4)為頂點，開口向下的拋物線，因此，函數(shù)的值域為(－∞，4]．12．B[方法一特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以選B.方法二設(shè)x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6[eq\f(x＋3,10)]＝[m＋eq\f(α＋3,10)]＝m＝[eq\f(x,10)]，當6<α≤9時，[eq\f(x＋3,10)]＝[m＋eq\f(α＋3,10)]＝m＋1＝[eq\f(x,10)]＋1，所以選B.]13．解因為對任意實數(shù)x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.第2課時分段函數(shù)及映射課時目標1.了解分段函數(shù)的概念，會畫分段函數(shù)的圖象，并能解決相關(guān)問題.2.了解映射的概念．1．分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的____________的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的______；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．(3)作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)_____________________________________．2．映射的概念設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中____________確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的__________．一、選擇題1．已知，則f(3)為()A．2B．3C．4D．2．下列集合A到集合B的對應(yīng)中，構(gòu)成映射的是()3．一旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，發(fā)現(xiàn)每間客房每天的定價與住房率有如下關(guān)系：每間房定價100元90元80元60元住房率65%75%85%95%要使每天的收入最高，每間房的定價應(yīng)為()A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函數(shù)，使函數(shù)值為5的x的值是()A．－2B．2或－eq\f(5,2)C．2或－2D．2或－2或－eq\f(5,2)5．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米m元收費；用水超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為(A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示從P到Q的映射的是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)xB．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(2,3)xD．f：x→y＝eq\r(x)題號123456答案二、填空題7．已知，則f(7)＝____________.8．設(shè)則f{f[f(－eq\f(3,4))]}的值為________，f(x)的定義域是______________．9．已知函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，則f(x)的解析式是__________________．三、解答題10．已知，(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的定義域和值域．11．如圖，動點P從邊長為4的正方形ABCD的頂點B開始，順次經(jīng)C、D、A繞周界運動，用x表示點P的行程，y表示△APB的面積，求函數(shù)y＝f(x)的解析式．能力提升12．設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，則A∩B一定是()A．?B．?或{1}C．{1}D．?13．在交通擁擠及事故多發(fā)地段，為了確保交通安全，規(guī)定在此地段內(nèi)，車距d是車速v(公里/小時)的平方與車身長S(米)的積的正比例函數(shù)，且最小車距不得小于車身長的一半．現(xiàn)假定車速為50公里/小時，車距恰好等于車身長，試寫出d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式(其中S為常數(shù))．1．全方位認識分段函數(shù)(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函數(shù)的圖象應(yīng)分段來作，特別注意各段的自變量取區(qū)間端點處時函數(shù)的取值情況，以決定這些點的實虛情況．2．對映射認識的拓展映射f：A→B，可理解為以下三點：(1)A中每個元素在B中必有唯一的元素與之對應(yīng)；(2)對A中不同的元素，在B中可以有相同的元素與之對應(yīng)；(3)A中元素與B中元素的對應(yīng)關(guān)系，可以是：一對一、多對一，但不能一對多．3．函數(shù)與映射的關(guān)系映射f：A→B，其中A、B是兩個“非空集合”；而函數(shù)y＝f(x)，x∈A為“非空的實數(shù)集”，其值域也是實數(shù)集，于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射．由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射．第2課時分段函數(shù)及映射知識梳理1．(1)對應(yīng)關(guān)系(2)并集(3)分別作出每一段的圖象2．都有唯一一個映射作業(yè)設(shè)計1．A[∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]2．D3．C[不同的房價對應(yīng)著不同的住房率，也對應(yīng)著不同的收入，因此求出4個不同房價對應(yīng)的收入，然后找出最大值對應(yīng)的房價即可．]4．A[若x2＋1＝5，則x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，若－2x＝5，則x＝－eq\f(5,2)，與x>0矛盾，故選A.]5．A[該單位職工每月應(yīng)繳水費y與實際用水量x滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)6．C[如果從P到Q能表示一個映射，根據(jù)映射的定義，對P中的任一元素，按照對應(yīng)關(guān)系f在Q中有唯一元素和它對應(yīng)，選項C中，當x＝4時，y＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)?Q，故選C.]7．6解析∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4