其次章第六節(jié)(下)正態(tài)分布,綜合

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其次章(第六節(jié)(下))正態(tài)分布

五、正態(tài)分布

歐拉-泊松積分

?????edx???x2。

?x2事實(shí)上，令I(lǐng)????eI2??dx，I??e?????y2dy，

??edx??e?????????x2???x2???y2dy

???????????????ex?rcos?y?rsin??e?y2dxdy???e?(x2?y2)dxdy

???0??2???0e?r2rdrd?

?2??01?r2(?e)?dr21?r2??1?2?(?e)|?2????022，.

?2于是，I????e???x2dx??0???0e?x2dx??2，???e?x2dx?；

1?()?2????0tedt

12?t1

?2?edt?2?t0??12???0e?x2dx??。

記號(hào)exp{y}?e.?????yexp{?x2}dx????.

12exp{?2x?2x?}dx例計(jì)算積分???31211??exp{?2(x?)??}dx??223??1??12?exp{}?exp{?2(x?)}dx

6??21??12?exp{6}???exp{?y}2dy11?exp{}???.

62(x??)2計(jì)算積分???exp{?2?2}dx

??12(x?)?y2

x???y2???????exp{?y2}2?dy

?2?????2?,

于是有

1(x??)2????2?exp{?2?2}dx?1,

??2

從而函數(shù)

1(x??)2f(x)?exp{?}22??2?是某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.

定義若?為連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為

1(x??)2f(x)?exp{?},???x??，22??2?其中??????,??0均常數(shù),

那么稱?為正態(tài)隨機(jī)變量，或稱?聽從參數(shù)為?,?的正態(tài)分布。

2記作?~N(?,?).

正態(tài)分布不管在概率統(tǒng)計(jì)理論中還是應(yīng)用中,都占有特別重要的地位.

大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與理論分析說明,測量誤差,在一致生產(chǎn)條件下生產(chǎn)的一批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如燈泡的壽命、鋼筋的斷裂強(qiáng)度、青磚的抗壓強(qiáng)度、棉花的纖維長度等);半導(dǎo)體中的熱噪聲電流、電壓等,都可以看作或近似看作是聽從正態(tài)分布

3

的.

正態(tài)分布密度曲線具有如下性質(zhì)：（a）曲線關(guān)于直線x??對

當(dāng)x??時(shí)，f(x)達(dá)到最大值

1f(?)?；

?2?（b）當(dāng)x???時(shí),f(x)?0，即曲線以

x軸為漸近線；

（c）曲線在x????或?－?處有拐

點(diǎn).

六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

參數(shù)??0,??1的正態(tài)分布，即N(0,1)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別用?(x)和?(x)表示（專用記號(hào)），即有

1xexp{?}?(x)?22?2，

4

???x???，

?(x)是偶函數(shù)，

?(x)??x??1?(t)dt?2??x??texp{?}dt.

22標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)?(x)的性質(zhì):（1）?(0)?????(t)dt

1?2?t21???exp{?2}dt?2；

00(2)?(x)??(?x)?1,???x???。事實(shí)上,由于證法一

?(?x)???(t)dt???(?u)(?du)

?????xt??ux????(u)du???(u)du???(t)dt,

??xxx????故?(x)??(?x)???(t)dt???(t)dt???(t)dt?1;證法二

由[?(x)??(?x)]????(x)???(?x)(?1)??(x)??(?x)(?1)??(x)??(x)?0,

??x????x??又?(0)??(0)?1,lim[?(x)??(?x)]?1,

x???5

得?(x)??(?x)?1；證法三

可從圖形的對稱性上看出證明。

(3)??(x)??(x)?0,?(x)在區(qū)間(??,??)上嚴(yán)格單調(diào),x與?(x)是一一對應(yīng)的;?(x)的函數(shù)值可從附表二中查到,也可由?(x)的函數(shù)值查到x的值.要求平日會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)?(x)值表.(考試時(shí)列出告訴有關(guān)函數(shù)值).

七、一般正態(tài)分布N(?,?)的分布函數(shù)F(x)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)?(x)之間有以下關(guān)系:

2F(x)??(事實(shí)上,

F(x)??t??x???),???x???.

x??1f(t)dt??2?x??(t??)2???exp{?2?2}dt

x

?1??2??y????y2exp{?}?dy

26

1?2?x??x??????y2exp{?}dy

2?????(y)dy??(?).

?x??特別地,

F(?)??(???1)??(0)?.?2

設(shè)?~N(?,?),?2?0，則有

P{???}?F(?)?1,

2P{???}?1?P{???}

?1?F(?)?1?11?,22P{|???|???}?P{???????????}?F(????)?F(????)

??(????????????)??()????(?)??(??)

??(?)?[1??(?)]?2?(?)?1,

P{|???|???}

?1?P{|???|???}

?1?[2?(?)?1]?2[1??(?)].

7

八、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的?分位點(diǎn)

定義5設(shè)X是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，X~N(0,1)，?(x)?P{X?x}，

給定?,0???1，存在唯一z?，使得

?(z?)??，

(即由函數(shù)值?(x)??,找自變量z?,滿足?(z?)??)

稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的（下側(cè)）?分位點(diǎn)（或?分位數(shù)），簡稱分位點(diǎn)。即

P{X?z?}??(z?)??，

?t2?(z?)?exp{?}dt??.?22???1z?顯然z0???,z0.5?0,z1???。分位點(diǎn)的性質(zhì):(0??(1)z???z1??;

(2)P{X?z1??}??;(3)P{|X|?z1??}??

2?1)

或P{|X|?z1??}?1??.

2

8

事實(shí)上,?(z?)?P{X?z?}??,

?(z1??)?P{X?z1??}?1??,?(z1??)?P{X?z1??}?1?2;

22?(1)由?(z?)??(?z?)?1,

?(z?)??(z1??)???(1??)?1,得?(?z?)??(z1??),于是?z??z1??,z???z1??;

(2)P{X?z1??}?1?P{X?z1??}?1??(z1??)?1?(1??)??;(3)P{|X|?z1??}?P{?z1??2?X?z21??2}

??(z1??2)??(?z1??2)??(z??)??(z)??1??.???1?1?22221?P{|X|?z?2}?1?P{|X|?z1??2}

?1?(1??)??.

例3設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,4),

(1)求P{?3?X?5};(2)求a,使

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P{|X?a|?a}?0.7583.

解(1)P{?3?X?5}?F(5)?F(?3)

5?2?3?2)??()??(44??(0.75)??(?1.25)?0.7734?0.1056?0.6678;

(2)

P{|X?a|?a}?1?P{|X?a|?a}?1?P{?a?X?a?a}